張明亮, 楊新夢, 劉麗茹, 李明遠

(1. 石家莊鐵道大學 機械工程學院,石家莊 050043;2. 蘭州交通大學 光電技術與智能控制教育部重點實驗室,蘭州 730070)

磁懸浮列車按工作原理主要分為3種:常導電磁懸浮列車(electric magnetic suspension magnetic levitation,EMS Maglev)[1],低溫超導電動磁懸浮列車(electro dynamic suspension magnetic levitation,EDS Maglev)[2-3],高溫超導磁懸浮列車(high temperature superconducting magnetic levitation,HTS Maglev)[4-7],不同類型磁懸浮列車的建模及研究方法也各不相同[8]。EMS Maglev以德國為代表,EDS Maglev以日本為代表,而HTS Maglev則以中國為代表,且該類磁懸浮制式我國具有自主知識產(chǎn)權,故本文以高溫超導磁懸浮列車為研究對象。高溫超導磁懸浮列車利用高溫超導體的磁通釘扎效應,與永磁軌道產(chǎn)生宏觀的懸浮力使兩者保持穩(wěn)定懸浮狀態(tài)。西南交通大學建立了試驗樣車,可以測得高溫超導磁懸浮列車運行時超導體與永磁體之間的懸浮間隙和對應的懸浮力。2015年,王家素等[9]綜述了高溫超導磁懸浮列車的研究現(xiàn)狀和探討該類磁懸浮列車實現(xiàn)高速的可能性。2019年,馬光同等[10]系統(tǒng)闡釋了超導磁浮交通的研究進展,并指出了高溫超導磁懸浮的優(yōu)點和缺點。2020年,陳楠等[11]以實現(xiàn)大載重為目標,提出了一種高溫超導-永磁混合懸浮車系統(tǒng)概念及理論設計方法。同年,李家志等[12-13]論述了二代高溫超導線(帶)材、高溫超導塊材在超導磁懸浮列車上的應用形式和特點。上述研究表明了高溫超導磁懸浮列車的可行性及其可擴展性,并且論證了高溫超導磁懸浮列車是未來軌道交通的發(fā)展重點之一。

除了在軌道交通的應用,李楊等[14]提出高溫超導體用于電磁推進的設想。高策等[15]研究了高溫超導體用于在軌重構的磁通釘扎接口。Zhang等[16-17]提出了高溫超導體用于電磁對接機構,并研究了其控制性能和力學特性。韓樂等[18]以高溫超導塊材在同步直線電機應用為目標,試驗研究了所受電磁力和俘獲磁通隨充磁電流、電機初級三相交流電幅值與頻率等參數(shù)的變化規(guī)律。余志強等[19-20]研究了高溫超導軸承和飛輪儲能系統(tǒng)樣機的性能。

在高溫超導試驗仿真方面,蔣冬輝[21]建立了三維電-磁-熱多物理場耦合的高溫超導磁懸浮振動模型,研究了自由懸浮狀態(tài)下和運行狀態(tài)下高溫超導體的振動響應特性。武倩倩等[22]搭建了高溫超導磁懸浮列車的隔振系統(tǒng),研究了系統(tǒng)在不同激勵擾動下的動力學響應。江東等[23]利用磁懸浮振動測試系統(tǒng)的仿真模型,研究了該系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的邊界條件,并通過參數(shù)優(yōu)化使系統(tǒng)重新回到穩(wěn)定狀態(tài)。Che等[24]通過試驗研究,得到了場冷條件下高溫超導磁懸浮列車在曲線行駛時具有更加穩(wěn)定的結論。2022年,Zhang等[25]利用動力學軟件仿真分析了高溫超導磁懸浮列車在直線運行的性能,同年,該團隊又提出了一種等效處理高溫超導塊組合的方法,簡化了計算過程[26]。

除此之外,李曉龍等[27]研究分析PEMS(permanent and electrical magnetic suspension)型低速磁懸浮單點模型時,發(fā)現(xiàn)可以通過設置非線性飽和環(huán)節(jié)和動態(tài)調整飽和閾值,從而抑制車軌耦合振動來使系統(tǒng)達到穩(wěn)定的現(xiàn)象。張興義等[28]研究了零場冷和場冷條件下高溫超導塊懸浮力的時間弛豫特性,結果表明弛豫特性與超導體內部復雜的微觀結構有關。盡管上述研究取得了較為豐富的成果,但是目前對于高溫超導磁懸浮列車的垂向自由振動特性研究少有報道,本文根據(jù)懸浮力試驗數(shù)據(jù)構造懸浮力數(shù)學模型,建立垂向振動的動力學模型,研究其自由振動響應,根據(jù)磁懸浮標準分析參數(shù)的可行域,其研究規(guī)律對高溫超導磁懸浮列車的磁軌關系參數(shù)設計具有指導意義。

1 高溫超導磁懸浮列車的工作原理

高溫超導磁懸浮列車的工作原理依靠的是高溫超導體的磁通釘扎效應,如圖1所示。其操作步驟為:將高溫超導體與永磁體保持適當距離(一般以mm為單位),這時對應的距離為場冷高度。而后添加液氮使高溫超導體冷卻,待其溫度降低冷卻后,高溫超導體內部的釘扎點可以捕獲永磁體的部分磁場,這時高溫超導體與永磁體之間產(chǎn)生宏觀的磁力,該力為高溫超導磁懸浮列車需要的懸浮力,懸浮力使兩者呈現(xiàn)出一種非接觸的連接狀態(tài),從而保證高溫超導體穩(wěn)定懸浮在永磁體之上。

圖1 高溫超導體磁通釘扎特性原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of magnetic flux pinning effect of high temperature superconductors

2 懸浮力測量試驗

2.1 試驗裝置

高溫超導體和永磁軌道之間的懸浮力的大小、變化趨勢直接影響著列車的穩(wěn)定性,本文利用試驗裝置測試得到不同懸浮間隙下的懸浮力,其懸浮力試驗裝置如圖2所示,試驗裝置的測試原理如圖3所示。將高溫超導體固定在液氮低溫容器中,并固定在移動架上。位移傳感器位于高溫超導體移動架和基座之間,壓力傳感器位于永磁軌道和基座之間。高溫超導體在電機帶動下可做上下的往復移動,用位移傳感器測量高溫超導體和永磁軌道間的距離,用壓力傳感器采集懸浮力數(shù)據(jù),由測試系統(tǒng)對試驗數(shù)據(jù)進行處理,最后將懸浮力數(shù)據(jù)導出。

圖2 懸浮力試驗裝置Fig.2 Testing device of suspension force

圖3 懸浮力試驗裝置測試原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of suspension force test system

本次試驗采用的是雙峰永磁軌道,其材料為釹鐵硼,軌道長度為800 mm,實物如圖4所示,具體尺寸參數(shù)和磁化方向如圖5所示,其中充磁方向為箭頭方向,黑色兩邊采用純鐵,起著聚磁作用。為了形成較大的超導平面,高溫超導體利用多個高溫超導塊組合起來,簡稱高溫超導塊組合,具體采用10塊YBCO高溫超導塊,單塊尺寸為Φ30 mm×14 mm,按5×2的方式排列。

圖4 永磁軌道實物Fig.4 The diagram of permanent magnet track

圖5 永磁軌道橫截面圖(mm)Fig.5 Cross section diagram of permanent magnet track (mm)

2.2 試驗結果

本次試驗設置的場冷高度為22 mm,以懸浮間隙(z)為橫坐標,懸浮力(Fz)為縱坐標,得到不同懸浮間隙下的懸浮力,如圖6所示。

圖6 懸浮力和懸浮間隙的關系Fig.6 Relationship between levitation force and levitation gap

由圖6可知:在場冷高度處(22 mm)懸浮力為0,不受力,即這個位置為不受重力影響下的平衡點;在懸浮間隙大于場冷高度情況下,作用力小于0,表明作用力的方向與懸浮間隙方向z相反,該力使高溫超導塊組合和永磁軌道之間處于相互吸引的狀態(tài),防止兩者離開平衡位置和一旦離開平衡位置后具有恢復到平衡位置的能力。同時可觀察到懸浮力大小隨懸浮間隙的增大先增大后減小,懸浮力與懸浮間隙呈明顯的非線性關系。

3 高溫超導磁懸浮列車垂向動力學模型的建立

為了研究磁懸浮列車的振動特性,本文利用高溫超導塊組合和永磁軌道的磁軌關系(懸浮力),構造兩者的懸浮振動系統(tǒng)(簡稱為超導振子)。以重力的方向為負方向,平衡位置處為原點建立坐標系,其振子的模型如圖7所示。

圖7 高溫超導磁懸浮列車的超導振子模型Fig.7 Vibrator model of HTS Maglev

為了解析建模,需將測得的懸浮力與懸浮間隙之間的試驗數(shù)據(jù)進行擬合建立經(jīng)驗公式,本文采用的表達形式如下

Fz=k3zz3+k1zz+k0z

(1)

式中:z為高溫超導塊組合和永磁軌道之間的垂向間隙,mm;k3z為三次方的系數(shù),N/m3;k1z為一次方的系數(shù),N/m;k0z為常數(shù)項。

式(1)的平衡點為場冷高度位置,由于振子同時還受到重力的作用,故振子所受合力為

Fs=-mg+k3zz3+k1zz+k0z

(2)

式中,m為振子的質量,kg。

由式(2)可以觀察到振子的質量(包括凈重和載重)僅影響懸浮位置(平衡點),但不影響合力的線性和非線性剛度系數(shù)?？紤]到式(2)的平衡點不是0點(坐標原點),為研究方便,需根據(jù)坐標平移原理將非0平衡點移動到0點,假定其平衡點為zs,將垂向間隙z減去zs得到懸浮間隙u,u的表達式為

u=z-zs

(3)

將式(3)代入式(2),整理得到平衡點附近的合力與懸浮間隙的關系

-Fs=k1u+k3u3

(4)

式中:k1為線性剛度,N/m,由擬合結果得出;k3為非線性剛度,N/m3,由擬合結果得出。

根據(jù)式(4),可得平衡點附近合力與懸浮間隙的擬合關系和試驗數(shù)據(jù)對比結果,如圖8所示。

圖8 坐標平移后試驗數(shù)據(jù)及其擬合曲線Fig.8 Test data and fitting curve after coordinate translation

根據(jù)牛頓第二定律,建立超導振子的運動微分方程

(5)

由式(3)可得到

(6)

將式(4)和式(6)代入式(5),可得

(7)

式中,c為線性阻尼系數(shù),Ns/m。

超導振子的動力學模型包含線性阻尼力、線性彈簧力和三次方的非線性彈簧力,等效成Duffing振子,其一次近似求解可采用非線性動力學理論的多尺度法進行推導[29]。

4 超導振子模型的一次近似解

由于式(7)一般為強非線性系統(tǒng),為了能夠利用經(jīng)典的多尺度法求解其近似解析解,需對式(7)的微分方程進行無量綱尺度變換[30-31],將其變成弱非線性系統(tǒng)。本文引入長度和時間尺度,其表達式為

(8)

式中:p為長度尺度;q為時間尺度。

由式(8)可得

(9)

將式(9)代入式(7),對其進行整理可得

(10)

根據(jù)多尺度法求解的要求,非線性項和阻尼項必須是小量,需要對其進行約束變形,其表達式為

(11)

將式(11)代入式(10)可得到

(12)

(13)

根據(jù)多尺度法,式(12)的解的一般表達式為

(14)

將式(13)與式(14)代入式(12),對比ε同次冪系數(shù)得到線性偏微分方程如下

(15)

(16)

根據(jù)線性方程求解理論,易得式(15)的解為

(17)

式中:cc為前部分的共軛部分,將式(17)代入(16),為消除永年項,需滿足以下的關系

(18)

式中,B(T1)為A(T1)的共軛函數(shù)。

根據(jù)多尺度法,可將A(T1)表達為

(19)

聯(lián)立式(18)和式(19),分離實部與虛部,整理得到

(20)

對式(20)進行求解,可以得到

(21)

式中:c1為常數(shù)1;c2為常數(shù)2。

對式(21)的初始條件進行賦值,即可得到c1和c2,采用常取的初始條件(初始位移和初始速度)的取值如下

可得

根據(jù)尺度變換式(8)和坐標平移原理可得超導振子垂向自由振動情況下的一次近似解為

(22)

為驗證一次近似解表達式的正確性,將式(22)進行求導得到速度表達式。將解析解(位移和速度)響應與數(shù)值解響應進行對比,對比結果如圖9所示,仿真分析參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

圖9 解析解與數(shù)值解對比圖Fig.9 Comparison between analytical solution and numerical solution

由圖9可知,超導振子的位移和速度都隨著時間的增加呈現(xiàn)震蕩衰減的趨勢,并且解析解在位移和速度兩個方面與數(shù)值解吻合較好,從而證明解析解的正確性。因此可利用解析解表達式研究面向高溫超導磁懸浮列車的超導振子垂向振動的動態(tài)特性。

5 超導振子的響應特性和參數(shù)可行域分析

5.1 安全性指標

在振動過程中,假定高溫超導體初始時刻振動達到允許最大安全振幅(距離平衡點zs的最大距離)為zstr,該值由磁懸浮標準決定,且令zstr>0?？傻?/p>

|z0(0)-zs|=zstr

將上述代入式(22)整理得到

(23)

將式(23)代入式(22)整理可得

(24)

后續(xù)研究均在式(24)的約束前提下進行,即在滿足初始時刻處在允許最大安全振幅的要求下進行系統(tǒng)參數(shù)的影響和可行域研究。

5.2 舒適性指標

為了使列車乘客乘坐感受更舒適,需要對最大加速度進行約束。將式(24)進行兩次求導并整理,得到振子模型的加速度表達式

(25)

其中

將式(25)的上限設定為最大加速度amax,可得

(26)

為了研究方便,將單位質量的阻尼定義為比阻尼αcm,單位質量的剛度定義為比剛度αk1m,可得

(27)

將式(27)代入式(24),可得

(28)

利用式(28)可研究在滿足安全性指標的前提下系統(tǒng)參數(shù)比阻尼和比剛度對最大加速度的影響,為了定量分析其影響規(guī)律,將式(28)對比阻尼和比剛度求偏導,得到其偏導數(shù)關系。根據(jù)舒適性要求設定列車允許的最大加速度為amax,str(大于0),根據(jù)式(28)得到在舒適性的要求下系統(tǒng)參數(shù)需滿足的條件如下

f(αcm,αk1m)=amax-amax,str≤0

(29)

利用式(29)可探尋系統(tǒng)參數(shù)的可行區(qū)域。

5.3 分析與討論

由式(28)和偏導數(shù)關系可知最大加速度受比阻尼和比剛度的綜合影響,表現(xiàn)非線性規(guī)律。為了研究其變化規(guī)律,給定一定范圍,對其進行可視化分析。根據(jù)磁懸浮安全標準,可得允許最大安全振幅設置為zstr=5 mm,根據(jù)多尺度法常取數(shù)值a0=1,μ=1,由式(28)可得最大加速度與系統(tǒng)參數(shù)的關系,如圖10所示。

圖10 系統(tǒng)參數(shù)對最大加速度的影響規(guī)律Fig.10 Effect of system parameters on maximum acceleration

由圖10(a)和圖10(b)可知,最大加速度隨著比阻尼與比剛度的增大而增大,并且比阻尼對其影響更顯著;由圖10(c)可知,曲線呈向下凹的趨勢,表明隨著比阻尼的增大,最大加速度增加程度越來越快。由多條不同比剛度曲線分布特點知:增大比剛度會使其較為均勻地增大;由圖10(d)可知,曲線呈上凸的趨勢,表明隨著比剛度的增大,最大加速度增加程度越來越慢。由多條不同比阻尼曲線分布特點知:隨著比阻尼增大,最大加速度增大程度逐漸變快。經(jīng)過上述分析,比阻尼是影響系統(tǒng)最大加速度的重要因素,次要因素是比剛度。為了限制最大加速度,比阻尼和比剛度應取較小值。

由式(28)可以得到最大加速度變化率與比剛度和比阻尼的關系,如圖11所示。

圖11 最大加速度隨系統(tǒng)參數(shù)的變化率Fig.11 Rate of change of maximum acceleration with system parameters

由圖11(a)可知,隨著比阻尼增大,最大加速度的變化率為正并且逐漸增大,表明最大加速度的增速逐漸變快,且比剛度增大對最大加速度的影響逐漸減弱;由圖11(b)可知,隨著比剛度的增大,最大加速度的變化率為正并且逐漸降低,表明最大加速度增速逐漸變慢,且更大的比阻尼會使其變化率整體增大,即比阻尼對其變化率影響最顯著,這與前面得到的比阻尼是影響最大加速度重要因素的結論相同。

由式(29)可以得到滿足舒適性指標下比阻尼和比剛度應滿足的條件,且兩者的關系為耦合的非線性關系。根據(jù)式(29)當允許的最大加速度取2.5 m/s2經(jīng)計算比阻尼超過25.7 s-1,比剛度超過500 s-2,f(αcm,αk1m)將大于0,即系統(tǒng)不滿足舒適性要求。

為了研究其變化規(guī)律,給定一定范圍,對其進行可視化分析。由式(29)可得判斷函數(shù)f(αcm,αk1m)與系統(tǒng)參數(shù)關系,如圖12所示。圖12(a)中的曲面在0橫截面(黑色橫截面)以下對應的橫縱坐標參數(shù)范圍滿足系統(tǒng)要求,圖12(b)中黑色虛線是0標準線,其滿足的關系式為

圖12 舒適加速度范圍Fig.12 Comfortable acceleration range

(30)

由圖12可知,當比阻尼大于25.7 s-1或比剛度大于500 s-2時,系統(tǒng)一定不滿足舒適性指標。需要說明的是當比阻尼小于25.7 s-1,比剛度參數(shù)不合適時,仍有可能不滿足舒適性指標;同理當比剛度小于500 s-2,比阻尼參數(shù)不合適時,仍有可能不滿足舒適性指標。更為重要的是系統(tǒng)參數(shù)的可行域呈現(xiàn)近似的三角形區(qū)域,系統(tǒng)參數(shù)要想滿足舒適性指標,必須處在式(30)曲線的下方,即陰影部分。從舒適性指標的角度分析,比阻尼和比剛度宜取較小值。

6 結 論

本文將高溫超導列車的懸浮力擬合成經(jīng)驗公式,建立了其動力學模型,采用多尺度法推導了一次近似解形式,利用近似解研究了列車自由振動的特性,確定了系統(tǒng)參數(shù)的可行域,主要結論如下:

(1) 通過試驗裝置測得不同懸浮間隙下的懸浮力,通過試驗數(shù)據(jù)擬合得到磁軌關系;基于牛頓第二定律建立了高溫超導磁懸浮列車的運動微分方程,利用無量綱化方法將其處理成弱非線性系統(tǒng),采用多尺度法得到一次近似解析解表達式,并驗證其正確性。

(2) 利用解析解表達式得到自由振動下系統(tǒng)的最大加速度表達式。在滿足安全性指標的前提下分析了比阻尼和比剛度對最大加速度的影響,研究表明隨著比阻尼和比剛度的增大,最大加速度增大,且發(fā)現(xiàn)比阻尼對最大加速度的影響更顯著。

(3) 根據(jù)列車舒適性指標提出了一種判斷系統(tǒng)參數(shù)可行域的解析方法,給出比阻尼大于25.7 s-1或比剛度大于500 s-2時系統(tǒng)一定不滿足舒適性指標的結論,研究表明可行域呈現(xiàn)近似的三角形區(qū)域(陰影部分),且比阻尼和比剛度宜取較小值。

本文的研究揭示了高溫超導磁懸浮列車自由振動的動力學行為,為該類磁懸浮列車的系統(tǒng)參數(shù)設計提供了理論依據(jù)。