陶貴麗,李 爽,劉文強(qiáng)

(1.浙江傳媒學(xué)院媒體工程學(xué)院,浙江杭州 310018;2.浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院(薩塞克斯人工智能學(xué)院),浙江杭州 310018)

1 引言

多傳感器信息融合技術(shù)可以利用所有傳感器的信息,克服了單傳感器受時(shí)間和空間限制的缺陷,現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤、導(dǎo)航制導(dǎo)、信號(hào)處理等熱門領(lǐng)域[1].

近年來,網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的濾波問題受到廣泛關(guān)注[2-4].眾所周知,經(jīng)典Kalman濾波方法要求系統(tǒng)的模型參數(shù)和噪聲方差是精確已知的[5],但在實(shí)際應(yīng)用中,由于建模誤差或未建模動(dòng)態(tài)以及隨機(jī)擾動(dòng)等原因,導(dǎo)致系統(tǒng)模型是不確定的[6-17].當(dāng)系統(tǒng)模型中存在不確定性時(shí),Kalman濾波器的性能會(huì)嚴(yán)重變壞,甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散.解決這一問題的方法之一是設(shè)計(jì)魯棒Kalman濾波器,即針對(duì)由不確定性所描述的一族系統(tǒng)模型來設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器,使得對(duì)所有容許的不確定性,濾波器的實(shí)際濾波誤差方差確保有一個(gè)最小上界[17].

在網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中,信道中會(huì)不可避免地存在不確定性,例如隨機(jī)觀測滯后與丟包,估值器的性能會(huì)受其影響[18].這類不確定性的存在會(huì)導(dǎo)致估值器接收到的數(shù)據(jù)出現(xiàn)偏差.伯努利隨機(jī)變量序列是描述這類不確定性的常用工具[19-21].

隨機(jī)參數(shù)不確定性可以用乘性噪聲來描述,對(duì)確定性參數(shù)的隨機(jī)擾動(dòng)稱為乘性噪聲,包括狀態(tài)依賴和噪聲依賴乘性噪聲.在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中的白噪聲稱為狀態(tài)依賴乘性噪聲,在噪聲轉(zhuǎn)移矩陣中的白噪聲稱為噪聲依賴乘性噪聲.噪聲方差的不確定性可以通過確定的不確定性來描述,即噪聲方差是未知不確定的,但有已知的保守上界[14-17].近年來,對(duì)于帶乘性噪聲、不確定噪聲方差、隨機(jī)觀測滯后和丟包的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),魯棒或最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)問題已被廣泛研究[15-17,22-28].文獻(xiàn)[22]中,針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶乘性噪聲并具有多步隨機(jī)觀測滯后和丟包的不確定網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),通過射影理論,提出了最小方差意義下的最優(yōu)線性估值器.文獻(xiàn)[23]中，針對(duì)帶乘性噪聲、一步隨機(jī)觀測滯后和丟包的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),其中傳感器到估值器和控制器到執(zhí)行器的通道都受到乘性噪聲影響,利用射影理論推導(dǎo)出了最優(yōu)估值器.但文獻(xiàn)[22-23]的結(jié)果都局限于單傳感器系統(tǒng).

對(duì)于在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶乘性噪聲,并具有一步隨機(jī)傳輸時(shí)滯和丟包的混合不確定多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),文獻(xiàn)[24]基于矩陣加權(quán)融合算法提出了一種分布式融合濾波器.對(duì)于一類在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中存在乘性噪聲,并具有丟失觀測、隨機(jī)觀測滯后和丟包的不確定多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),應(yīng)用新息分析方法,文獻(xiàn)[25]提出了魯棒集中式融合以及降維觀測融合Kalman濾波器,但文獻(xiàn)[25]沒有考慮系統(tǒng)觀測矩陣中的乘性噪聲.文獻(xiàn)[26]中,針對(duì)帶隨機(jī)參數(shù)矩陣、一步隨機(jī)觀測滯后和丟包的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),提出了局部最小二乘線性估值器(濾波器和固定點(diǎn)平滑器),并利用矩陣加權(quán)融合算法得到了分布式融合濾波器和平滑器.然而,文獻(xiàn)[22-26]均沒有考慮噪聲依賴乘性噪聲,且都假定系統(tǒng)噪聲方差是精確已知的.

針對(duì)在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶乘性噪聲,并帶丟包和不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),文獻(xiàn)[27]提出了加權(quán)狀態(tài)融合魯棒Kalman估值器.但文獻(xiàn)[27]中沒有考慮隨機(jī)觀測滯后不確定性.對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中存在乘性噪聲,并具有一步隨機(jī)觀測滯后和不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),文獻(xiàn)[28]提出了綜合協(xié)方差交叉融合魯棒Kalman估值器.文獻(xiàn)[15]針對(duì)在系統(tǒng)狀態(tài)與觀測矩陣中存在相同乘性噪聲,以及帶一步隨機(jī)觀測滯后、丟失觀測、以及不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),利用極大極小魯棒估計(jì)準(zhǔn)則,提出了魯棒矩陣加權(quán)和集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.文獻(xiàn)[16]中,針對(duì)帶乘性噪聲、兩步隨機(jī)觀測滯后、丟失觀測和不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),提出了魯棒集中式融合和加權(quán)觀測融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.文獻(xiàn)[15-16]提出的魯棒融合濾波方法可用于解決帶有色觀測噪聲的多傳感器單通道自回歸信號(hào)的魯棒融合濾波問題.但文獻(xiàn)[15-16,27-28]中均沒有考慮噪聲依賴乘性噪聲.對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)和過程噪聲轉(zhuǎn)移矩陣中帶乘性噪聲,并具有不確定噪聲方差、一步隨機(jī)觀測滯后和丟失觀測的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),文獻(xiàn)[29]提出了魯棒局部和5種融合時(shí)變Kalman估值器(預(yù)報(bào)器、濾波器和平滑器).但文獻(xiàn)[29]中沒有考慮系統(tǒng)觀測矩陣中的乘性噪聲,且文獻(xiàn)[15-16,28-29]都沒有考慮丟包.此外,與文獻(xiàn)[15-16]相比,文獻(xiàn)[28-29]中用到的增廣方法會(huì)使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有較大維數(shù).對(duì)一類系統(tǒng)所有參數(shù)矩陣中帶相同乘性噪聲,并帶一步隨機(jī)觀測滯后和不連續(xù)丟包的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),根據(jù)極大極小魯棒估計(jì)原理,文獻(xiàn)[17]提出了魯棒矩陣加權(quán)融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.但文獻(xiàn)[17]中沒有考慮丟包補(bǔ)償機(jī)制以及集中式融合濾波問題.基于上述分析,對(duì)于在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶相同狀態(tài)依賴乘性噪聲,并帶噪聲依賴乘性噪聲、不確定噪聲方差、一步隨機(jī)觀測滯后和丟包的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),其魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)濾波問題尚未見報(bào)道.因此,本文對(duì)此進(jìn)行研究.

本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下: 1)對(duì)于所研究的系統(tǒng)模型,給出了其集中式融合魯棒穩(wěn)態(tài)估值器存在的充分條件,并基于極大極小魯棒估計(jì)原理提出了集中式融合魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman估值器(預(yù)報(bào)器、濾波器和平滑器);2)應(yīng)用增廣方法、非負(fù)定矩陣分解方法和李雅普諾夫方程方法,證明了所提出的集中式融合估值器的魯棒性;3)給出了一個(gè)應(yīng)用于多傳感器多通道滑動(dòng)平均(moving average,MA)信號(hào)估計(jì)的例子,解決了帶隨機(jī)參數(shù)矩陣的多通道MA信號(hào)的集中式融合估計(jì)問題,得到了相應(yīng)的魯棒局部和集中式融合穩(wěn)態(tài)信號(hào)估值器.

2 問題描述

考慮如下線性離散不確定多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng):

其中:t是離散時(shí)間;x(t)∈Rn是被估狀態(tài);zi(t)∈Rmi是傳感器接收到的觀測;yi(t)∈Rmi是估值器接收到的觀測;w(t)∈Rr是過程噪聲;vi(t)∈Rmi是觀測噪聲且線性相關(guān)于w(t);αk(t)∈R1,k=1,···,nα是狀態(tài)依賴乘性噪聲;βk(t)∈R1,k=1,···,nβ是噪聲依賴乘性噪聲;Φ∈Rn×n,Φk∈Rn×n,?！蔙n×r,Γk∈Rn×r,Hi∈Rmi×n,Hik∈Rmi×n和Di∈Rmi×r是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常矩陣;Φk,Γk和Hik是擾動(dòng)方位矩陣;nα,nβ是相應(yīng)乘性噪聲的數(shù)目;L是傳感器的數(shù)目.

ξi(t)∈R1和ζi(t)∈R1,i=1,···,L是取值為0或1的各自不相關(guān)伯努利白噪聲,具有已知概率Prob(ξi(t)=1)=πi,Prob(ξi(t)=0)=1-πi,Prob(ζi(t)=1)=?i,Prob(ζi(t)=0)=1-?i,其中πi和?i是已知的,且0 ≤πi≤1,0 ≤?i≤1.ξi(t)和ζi(t)也不相關(guān)于其他隨機(jī)信號(hào).容易得到以下結(jié)論:

假設(shè)1w(t),ηi(t),αk(t)和βk(t)是具有零均值的互不相關(guān)白噪聲,它們的協(xié)方差為

注2在式(4)中,白噪聲ξi(t)和ζi(t)被用來描述一步隨機(jī)觀測滯后和丟包.如果ξi(t)=1,則yi(t)=zi(t)(沒有觀測滯后和丟包);如果ξi(t)=0且ζi(t)=1,則yi(t)=zi(t-1)(一步隨機(jī)觀測滯后);如果ξi(t)=0 且ζi(t)=0,則yi(t)=yi(t-1)(丟包),即觀測zi(t)丟失,但估值器在t-1時(shí)刻接收到的觀測yi(t-1)被用來作為t時(shí)刻的補(bǔ)償,這稱為保持輸入補(bǔ)償機(jī)制.這不同于文獻(xiàn)[17]中的零輸入補(bǔ)償機(jī)制,即如果當(dāng)前時(shí)刻傳感器觀測丟失,則估值器的觀測將被置為0.

3 模型轉(zhuǎn)換

3.1 增廣集中式融合系統(tǒng)

合并式(2)給出的所有傳感器輸出向量,得到如下增廣觀測輸出方程:

將式(2)代入式(4)中,然后合并所有由式(4)給出的估值器收到的觀測向量可得

應(yīng)用式(1)(7)-(8)可得如下增廣集中式融合系統(tǒng):

增廣集中式融合系統(tǒng)(9)-(10)可進(jìn)一步被轉(zhuǎn)化為帶常參數(shù)矩陣和乘性噪聲的系統(tǒng)形式,即

此外,利用式(5)可得

容易證得ξiz(t),ζiz(t)和γiz(t)是互不相關(guān)的白噪聲.

注3相比于文獻(xiàn)[28-29],由式(11)給出的增廣狀態(tài)xa(t)具有較小的維數(shù),如果采用文獻(xiàn)[28-29]中的方法,增廣狀態(tài)的維數(shù)為2n+2m,而式(11)給出的增廣狀態(tài)xa(t)的維數(shù)僅為n+2m.可見,本文方法可減少計(jì)算量.

3.2 實(shí)際和保守狀態(tài)二次非中心距

由式(12)可得xa(t)的保守二次非中心距為

引理2在假設(shè)3條件下,可得

證完全類似于文獻(xiàn)[15]中引理5的證明,容易證得引理2成立.證畢.

證如果ρ()<1,則類似于文獻(xiàn)[24,31]中的證明過程,通過直接應(yīng)用文獻(xiàn)[32-33]中的結(jié)果可證明引理3成立.證畢.

3.3 虛擬過程和觀測噪聲

增廣狀態(tài)方程(12)可被改寫為

其中wf(t)是虛擬過程噪聲,

容易證得wf(t)是零均值白噪聲,且它的保守穩(wěn)態(tài)方差為

增廣集中式融合觀測方程(13)可被改寫為

其中vf(t)是零均值虛擬觀測白噪聲,且vf(t)可表示為

虛擬噪聲wf(t)和vf(t)的保守穩(wěn)態(tài)相關(guān)矩陣為

4 魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器

4.1 魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman預(yù)報(bào)器

對(duì)于由式(20)(23)給出的帶已知保守噪聲統(tǒng)計(jì)Qf,Rf和Sf的最壞情形時(shí)不變集中式融合系統(tǒng),在假設(shè)1-4條件下,基于極大極小魯棒估計(jì)原理[30],應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波算法[5],可得保守最優(yōu)集中式融合穩(wěn)態(tài)一步Kalman預(yù)報(bào)器為

應(yīng)用式(31)可得保守集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman一步預(yù)報(bào)誤差方差,也滿足如下李雅普諾夫方程:

引理4[30]令Λ≥0,Λ∈Rr×r,設(shè)Λδ=(Λij)rL×rL,Λij=Λ,i,j=1,···,L,則Λδ≥0.

引理5在假設(shè)3條件下,可得如下矩陣不等式關(guān)系:≤Λf.

證明過程詳見附錄A.

引理6[34]考慮如下李雅普諾夫方程:U=CUCT+V,其中:U,C和V是n×n矩陣,V是對(duì)稱矩陣,C是穩(wěn)定矩陣(即它的所有特征值都在單位圓內(nèi)).如果V≥0,則U是對(duì)稱并唯一的,且U≥0.

定理1在假設(shè)1-4條件下,由式(27)給出的實(shí)際集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman預(yù)報(bào)器具有魯棒性,即對(duì)于所有容許的不確定性,實(shí)際預(yù)報(bào)誤差方差滿足如下關(guān)系:

證明過程詳見附錄B.

由式(27)給出的實(shí)際融合穩(wěn)態(tài)Kalman預(yù)報(bào)器為魯棒融合穩(wěn)態(tài)Kalman預(yù)報(bào)器,由式(34)給出的矩陣不等式關(guān)系稱為它的魯棒性.

4.2 魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器

利用式(38)可得保守穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差方差為

定理2在假設(shè)1-4條件下,由式(35)給出的實(shí)際集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器具有魯棒性,即對(duì)于所有容許的不確定性,相應(yīng)的所有實(shí)際估計(jì)誤差方差滿足如下關(guān)系:

證明過程詳見附錄C.

由式(35)給出的實(shí)際集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器被稱為魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器,由式(40)給出的矩陣不等式關(guān)系稱為它們的魯棒性.

且P(c)(N)是(c)(N)的最小上界.

推論2 完全類似于式(9)-(43)的推導(dǎo),容易得到原始系統(tǒng)(1)-(4)的魯棒局部穩(wěn)態(tài)Kalman 估值器(t|t+N),N=-1,N≥0,i=1,···,L,且它們的實(shí)際估計(jì)誤差方差(N)有相應(yīng)的最小上界Pi(N),即

注5利用射影理論可以證得

注6在注5中,被稱為相應(yīng)魯棒Kalman估值器的實(shí)際精度,trP(c)(N)和trPi(N)被稱為魯棒精度(或者全局精度).跡的值越小意味著精度越高.注5表明,估值器的實(shí)際精度都高于或等于它的魯棒精度,魯棒精度是最低的實(shí)際精度.集中式融合器的魯棒精度高于各局部估值器.

5 帶有色觀測噪聲和混合不確定性的多通道MA信號(hào)估計(jì)應(yīng)用實(shí)例

自回歸滑動(dòng)平均(autoregressive MA,ARMA)信號(hào)濾波問題經(jīng)常發(fā)生在信號(hào)處理、狀態(tài)估計(jì)、目標(biāo)跟蹤、反卷積以及時(shí)間序列分析等領(lǐng)域.考慮如下帶有色觀測噪聲和混合不確定性的多傳感器多通道MA信號(hào):

目的是為多傳感器多通道MA信號(hào)s(t)設(shè)計(jì)魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.

由式(53)-(54)可得

帶隨機(jī)參數(shù)矩陣的多通道MA信號(hào)模型(49)可被轉(zhuǎn)換為如下等價(jià)的狀態(tài)空間模型[5]:

將Bk(t)=Bk+Υk(t)代入Γs(t),并應(yīng)用式(56)得

有色觀測噪聲r(shí)(t)有等價(jià)的狀態(tài)空間模型為[5]

將Ak(t)=Ak+Λk(t)代入Φr(t)和Hr(t),并應(yīng)用式(56)得

這里Φrk,k=1,···,p是m×mp矩陣,它的第(1,k)個(gè)塊矩陣為單位矩陣Im,其余位置均為(0)m×m.Hrk,k=1,···,p是m×mp矩陣,它的第(1,k)個(gè)塊矩陣為-Im,其余位置均為(0)m×m.

于是可得如下增廣系統(tǒng)模型:

應(yīng)用式(59)和式(62)可將增廣系統(tǒng)(63)-(65)轉(zhuǎn)換為如下帶常參數(shù)的系統(tǒng):

因此,應(yīng)用狀態(tài)空間方法和增廣方法,多通道MA信號(hào)模型(49)-(54)被轉(zhuǎn)換成帶乘性噪聲、一步隨機(jī)觀測時(shí)滯、丟包和不確定噪聲方差的狀態(tài)空間模型式(52)(66)-(68).

由式(58)可得s(t)=[Hs(0)m×mp]x(t),于是,魯棒融合信號(hào)估計(jì)問題可以通過魯棒融合狀態(tài)估計(jì)來解決,應(yīng)用射影理論[5]可得

信號(hào)s(t)的實(shí)際和保守集中式融合穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差方差分別為

這里,上角標(biāo)“s”表示信號(hào).

注7對(duì)系統(tǒng)(52)(66)-(68),當(dāng)取m=1時(shí),MA信號(hào)s(t)是單通道信號(hào),此時(shí)系統(tǒng)(52)(66)-(68)可視為系統(tǒng)(1)-(4)的一種特殊情況,其中:

6 仿真實(shí)例

由于信號(hào)s(t)∈R1,所以估計(jì)誤差方差的跡值等于相應(yīng)的估計(jì)誤差方差值.表1給出了實(shí)際和保守局部與集中式融合穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差方差的比較,這驗(yàn)證了由式(43)-(46)給出的穩(wěn)態(tài)精度關(guān)系.表1中N=-1表示預(yù)報(bào)器,N=0表示濾波器,N=1 表示一步平滑器,N=2表示兩步平滑器.

表1 信號(hào)s(t)的穩(wěn)態(tài)魯棒和實(shí)際精度比較Table 1 Comparison of steady-state robustness and actual accuracy of signal s(t)

圖1 信號(hào)s(t)和它的實(shí)際局部和集中式融合一步平滑器Fig.1 Signal s(t)and its actual local and centralized fusion one-step smoothers

圖2 信號(hào)s(t)和它的集中式融合估值器Fig.2 Signal s(t)and its centralized fusion estimator

圖3 P(c)s(0)隨著λ1和λ2增加時(shí)的變化情況Fig.3 Changes of P(c)s(0)with the increase of λ1 and λ2

7 結(jié)論

針對(duì)在系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣中帶相同狀態(tài)依賴乘性噪聲,并帶噪聲依賴乘性噪聲、不確定噪聲方差、一步隨機(jī)觀測滯后和丟包的多傳感器網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),應(yīng)用增廣方法、去隨機(jī)化方法和虛擬噪聲技術(shù)將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為僅帶不確定噪聲方差的集中式融合系統(tǒng).轉(zhuǎn)換之后系統(tǒng)的過程噪聲和觀測噪聲是相同的,這可避免求解它們的相關(guān)矩陣.根據(jù)極大極小魯棒估計(jì)原理,提出了魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器(預(yù)報(bào)器、濾波器和平滑器).應(yīng)用增廣噪聲方法、非負(fù)定矩陣分解方法和李雅普諾夫方程方法,證明了估值器的魯棒性.所提出的方法可用于解決帶隨機(jī)參數(shù)矩陣、不確定噪聲方差和網(wǎng)絡(luò)化隨機(jī)不確定性的多傳感器多通道MA信號(hào)的魯棒融合Kalman濾波問題.仿真實(shí)驗(yàn)證明了所提出方法的可應(yīng)用性與正確性.

附錄A

附錄B

附錄C