支 霞,馮紅銀萍

(1.山西警察學院網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)系,山西太原 030401;2.山西大學數(shù)學科學學院,山西太原 030006)

1 引言

由于動態(tài)反饋能更充分地利用系統(tǒng)的歷史信息,因此可能取得比靜態(tài)反饋更好的控制效果.動態(tài)反饋的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在兩個方面: 對干擾的魯棒性和不穩(wěn)定系統(tǒng)的處理.本文只關(guān)注積分控制對常數(shù)干擾的魯棒性.目前有很多處理干擾的控制技術(shù),例如:處理諧波干擾的自適應控制[1-2]、處理一般干擾的高增益技術(shù)[3]和估計/消除策略[4-5]以及處理動態(tài)已知干擾的內(nèi)模原理[6]等.

本文將用動態(tài)補償?shù)姆椒ㄌ幚沓?shù)干擾,由于考慮抽象系統(tǒng),因此研究具有廣泛的一般性.眾所周知,PID(proportion integral differential)控制可以消除靜態(tài)誤差,對常數(shù)干擾具有魯棒性.本文受此啟發(fā)來設(shè)計抽象系統(tǒng)的控制器.為了更清楚地說明積分作用對常數(shù)干擾的魯棒性,便于控制器設(shè)計,首先,考慮如下二階系統(tǒng):

其中:x1,x2是系統(tǒng)狀態(tài),u是控制,d∈R是常數(shù)干擾.考慮PID控制

其中kp,ki,kd是調(diào)節(jié)參數(shù).若令

則由系統(tǒng)(1)和反饋(2)組成的閉環(huán)系統(tǒng)為

如果我們選擇kp,ki,kd使得如下矩陣:

是Hurwitz陣,則由于閉環(huán)系統(tǒng)(4)的解滿足

則閉環(huán)系統(tǒng)(4)變成如下無干擾系統(tǒng):

由于矩陣(5)是Hurwitz陣,系統(tǒng)(8)的解滿足

綜合式(7)(9)可得收斂式(6).

受上述例子的啟發(fā),本文考慮一般正則線性系統(tǒng)的比例積分反饋鎮(zhèn)定器使其對常數(shù)干擾具有魯棒性.本文結(jié)構(gòu)安排如下: 第2節(jié)給出基本的預備知識和問題描述;第3節(jié)給出本文的主要結(jié)果;第4節(jié)將抽象結(jié)果應用于不穩(wěn)定熱方程;第5節(jié)給出數(shù)值模擬驗證理論結(jié)果;最后一節(jié)對本文做出總結(jié).

2 問題描述

設(shè)X是Hilbert空間,A:D(A)?X →X是稠定算子且滿足ρ(A)≠?.通過算子A可以定義兩個Hilbert空間: (D(A),‖·‖1)和([D(A?)]′,‖·‖-1),其中[D(A?)]′是以X為樞紐空間的D(A)的對偶空間,范數(shù)‖·‖1和‖·‖-1分別定義為

由于范數(shù)的等價性,Hilbert 空間(D(A),‖·‖1)和([D(A?)]′,‖·‖-1)不依賴于β ∈ρ(A)的選取.方便起見,在接下來的討論中,這兩個空間分別簡記為D(A)和[D(A?)]′.定義算子如下: 對?x∈X,y∈D(A?),

設(shè)C ∈L(D(A),R).定義C關(guān)于算子A的Λ-延拓為

設(shè)A:D(A)?X →X是Hilbert空間X上的稠定算子,B ∈L(R,[D(A?)]′),考慮如下抽象系統(tǒng):

其中:u是控制,d∈R是常數(shù)干擾.本文的目標是設(shè)計控制u鎮(zhèn)定系統(tǒng)(12).受PID控制(2)的啟發(fā),假設(shè)控制器u是滿足如下形式的動態(tài)反饋:

本文將選擇函數(shù)F和P使得閉環(huán)系統(tǒng)(14)的解滿足‖x(t)‖X →0,當t→+∞.控制器(14)是PID控 制在一般抽象正則系統(tǒng)的推廣,而PID控制在實際應用中有廣泛的應用.因此本文對實際應用有一定的指導意義.

方便起見，本文給出如下假設(shè):

假設(shè)1設(shè)X是Hilbert空 間,A:D(A)?X →X是空間X上的稠定算子,B ∈L(R,[D(A?)]′),C ∈L(D(A),R).假設(shè)系統(tǒng)(A,B,C)是正則線性系統(tǒng),即: 系統(tǒng)(A,B,C)滿足如下條件[7]:

i)A在X上生成C0-半群eAt;

ii)B ∈L(R,[D(A?)]′)和C ∈L(D(A),R)關(guān)于eAt允許;

iii)存在s ∈ρ(A)使得(s-)-1BR?D(CΛ);

iv)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)=CΛ(s-)-1B在某個右半復平面有界.

3 主要結(jié)果

定理1在假設(shè)1之下,設(shè)系統(tǒng)(A,B)是能穩(wěn)的,且滿足

則對任意的d∈R和x(0)∈X,存在常數(shù)ω>0使得系統(tǒng)(14)存在唯一解滿足

其中算子P和F可按如下步驟選取:

1)選擇K ∈L(D(A),R)指數(shù)鎮(zhèn)定系統(tǒng)(A,B);

2)令

3)令

證由于系統(tǒng)(A,B)能穩(wěn),存在算子K,使A+BK生成X上指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群e(A+BK)t.注意到0∈ρ(A+BK),因此(A+BK)-1有意義.

記系統(tǒng)(A,B,C)和(A+BK,B,C)的傳遞函數(shù)分別為H(λ)和HK(λ).由于系統(tǒng)(A,B,C)是正則線性系統(tǒng),簡單計算可知

這說明H(λ)和HK(λ)有相同的零點.由定理假設(shè)(15)得

所以,令式(17)-(18)中P和F的定義有意義.

則閉環(huán)系統(tǒng)(14)變?yōu)?/p>

系統(tǒng)(24)可以寫成抽象形式

則直接計算可得

由于C0-半群e(A+BK)t指數(shù)穩(wěn)定且L<0,算子AS的分塊三角結(jié)構(gòu)意味著AS生成X×R上指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群eASt.注意算子相似性(26),算子A也生成X×R上指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群eAt.所以式(16)成立.

證畢.

4 不穩(wěn)定熱方程的應用

為了驗證定理1中的抽象結(jié)果,本節(jié)考慮如下不穩(wěn)定熱方程:

其中:u是控制,d是常數(shù)干擾.將設(shè)計形如式(13)的控制器u來鎮(zhèn)定系統(tǒng)(29).該系統(tǒng)的狀態(tài)空間選為X=L2(0,1).定義

其中δ(·)是Dirac分布.利用算子A和B,系統(tǒng)(29)可以在[D(A?)]′中寫成抽象形式(12).

定義C ∈L(D(A),R)為

由Backstepping方法[8],如下算子K:X →R可以指數(shù)鎮(zhèn)定系統(tǒng)(A,B): 對任意的f ∈D(A),

其中c1>0是調(diào)節(jié)參數(shù).簡單計算可得

注意到式(17)-(18)以及式(30)-(34),控制器(13)中的算子P和F可選為:對任意的f ∈D(A),

其中L<0 是調(diào)節(jié)參數(shù).于是動態(tài)反饋(13)變?yōu)?/p>

其中c1>0和L<0是調(diào)節(jié)參數(shù).由定理1,閉環(huán)系統(tǒng)(29)-(37)存在唯一解且滿足

其中ω>0是常數(shù).

5 數(shù)值仿真

本節(jié)將對閉環(huán)系統(tǒng)(29)-(37)做數(shù)值模擬,用來更直觀地驗證抽象理論的正確性.本文采用有限差分的離散方法,時間離散步長和空間離散步長分別選為5×10-4和0.05.閉環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)和干擾選為

控制器調(diào)節(jié)參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)選為

系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)值模擬見圖1,控制器和干擾的數(shù)值模擬見圖2.從圖1和圖2可以看出,控制器有效地補償了常數(shù)干擾,并使得系統(tǒng)狀態(tài)收斂到零,因此本文的控制器是有效的.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)w(x,t)Fig.1 System state w(x,t)

圖2 控制器u(t)Fig.2 Controller u(t)

6 結(jié)論

本文研究帶有常數(shù)干擾的正則線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.由于本文關(guān)注的是抽象系統(tǒng),因此研究結(jié)果具有廣泛的一般性.本文給出的動態(tài)反饋規(guī)則可以有效地補償常數(shù)干擾并指數(shù)鎮(zhèn)定系統(tǒng).抽象結(jié)果被成功地應用于帶有常數(shù)干擾的不穩(wěn)定熱方程的鎮(zhèn)定.結(jié)果表明,本文的抽方法是非常有效的.