張涵雯,王軍民

(1.山西大學(xué)自動(dòng)化與軟件學(xué)院,山西太原 030006;2.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院&信息安全的數(shù)學(xué)理論與計(jì)算工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

1 引言

在機(jī)器人柔性機(jī)械手臂,渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)的葉片和天線等實(shí)際應(yīng)用的推動(dòng)下,柔性梁成為一個(gè)活躍的研究課題.在線性柔性梁模型中,Euler-Bernoulli梁是最簡(jiǎn)單的梁模型,而剪切梁模型是將剪切變形的影響添加到Euler-Bernoulli梁模型中得到的[1].

在沒有干擾的情況下,梁方程的鎮(zhèn)定問題已經(jīng)有不少的研究成果,例如,通過設(shè)計(jì)非同位控制,梁方程達(dá)到了穩(wěn)定[2];隨后,應(yīng)用Backstepping方法,輸出反饋控制被設(shè)置來鎮(zhèn)定剪切梁方程[3];通過將剪切梁方程轉(zhuǎn)化為具有反饋循環(huán)的2×2的一階運(yùn)輸方程與常微分方程(ordinary differential equation,ODE)的耦合系統(tǒng),狀態(tài)反饋控制被設(shè)置使得系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)穩(wěn)定[4];最近,通過內(nèi)模原理,不同的誤差反饋控制被設(shè)計(jì)來分別解決Timoshenko梁[5]和Euler-Bernoulli梁[6]的魯棒輸出調(diào)節(jié)問題.當(dāng)外部干擾從控制端進(jìn)入梁方程時(shí),Guo和Jin[7]分別采用自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)和滑模控制(sliding mode control,SMC)方法來設(shè)計(jì)邊界反饋控制,使得一維Euler-Bernoulli梁方程達(dá)到穩(wěn)定;Liu等人[8]運(yùn)用滑?？刂品椒ㄑ芯苛艘痪S剪切梁方程,獲得了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果.

當(dāng)外部干擾從空間域的內(nèi)部進(jìn)入系統(tǒng)時(shí),其對(duì)系統(tǒng)的影響通常很復(fù)雜.因此,引入了輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性的概念[9-10],以描述此類干擾對(duì)系統(tǒng)的影響.對(duì)于具有擾動(dòng)的一維拋物型偏微分方程,Karafyllis 和Krstic[11]給出了在不同范數(shù)下的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性結(jié)果.Mironchenko等人[12-13]應(yīng)用Lyapunov方法研究了無窮維系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性.Zhang等人[14]討論了所有通道帶有干擾的ODE和反應(yīng)擴(kuò)散方程耦合系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性.Kawan等人[15]應(yīng)用小增益定理研究了由非線性系統(tǒng)組成的無限網(wǎng)絡(luò)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性問題.然而,關(guān)于梁方程的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性的研究較少.因此,本文研究同時(shí)具有邊界和分布干擾的不穩(wěn)定剪切梁方程的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性問題.

本文的組織結(jié)構(gòu)如下: 在第2節(jié)中,首先介紹系統(tǒng)的模型,并通過一系列變換把原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價(jià)系統(tǒng),然后應(yīng)用Backstepping方法將2×2的一階運(yùn)輸方程與ODE的耦合系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)系統(tǒng),再采用自抗擾控制方法設(shè)計(jì)具有時(shí)變?cè)鲆娴臄U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器來估計(jì)干擾,最后設(shè)計(jì)控制來補(bǔ)償系統(tǒng)自身的不穩(wěn)定以及抵消匹配干擾;第3節(jié)致力于證明閉環(huán)系統(tǒng)的適定性;第4節(jié)證明閉環(huán)系統(tǒng)具有輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性;第5節(jié)給出數(shù)值仿真來驗(yàn)證控制器的有效性;第6節(jié)是小結(jié).

2 問題描述

本文研究具有邊界和分布干擾的剪切梁方程

本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在: 1)考慮了控制端和非控制端同時(shí)有干擾進(jìn)入梁方程的情況,針對(duì)控制端進(jìn)入的匹配干擾,通過使用ADRC方法來估計(jì),并進(jìn)一步消除它;針對(duì)非控制端進(jìn)入的干擾,研究其相應(yīng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性問題;2)本文通過設(shè)計(jì)具有時(shí)變?cè)鲆娴臄U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器使得干擾估計(jì)量可以指數(shù)地估計(jì)干擾.

為了更簡(jiǎn)便的設(shè)計(jì)控制,首先給出模型(1)的等價(jià)形式

設(shè)計(jì)如下控制U2(t)來抵消方程和邊界上的定積分項(xiàng):

進(jìn)一步得到如下偏微分方程:

下面,引入如下變換:

其逆變換為

變換(10)把系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦碌葍r(jià)形式:

此時(shí),系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有相反傳輸方向的2×2一階運(yùn)輸方程與不穩(wěn)定ODE的耦合系統(tǒng).

2.1 Backstepping變換

引入如下Backstepping變換:

對(duì)于任意(x,y)∈?={(x,y)∈R2|0 ≤y≤x≤1},核函數(shù)(k(x,y),l(x,y),m(x)),(p(x,y),q(x,y),n(x))在?×?×[0,1]中滿足如下方程組:

其中c>2a.因此,得到如下目標(biāo)系統(tǒng):

命題1方程組(20)-(21)分別具有光滑解

證通過特征線法和連續(xù)逼近方法[16]求解方程組(20)-(21),證明了方程組存在唯一解[4].證畢.

接下來設(shè)計(jì)控制U1如下:

其中U12是連續(xù)且待定的.把控制(30)代入系統(tǒng)(26),可得

2.2 自抗擾控制

下面使用自抗擾控制方法[17-19]來估計(jì)干擾.

定義線性算子Aξ:D(Aξ)→L2(0,1)如下:

系統(tǒng)(34)-(35)可以被寫為

其中:I是單位算子,Bξ=δ(x-1).通過直接計(jì)算得到Aξ的共軛算子

其中k(x)是測(cè)試函數(shù).特別地,取k(x)=x∈D(),系統(tǒng)(39)等價(jià)于

接下來設(shè)計(jì)系統(tǒng)(40)的具有時(shí)變?cè)鲆娴臄U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO),即

其中g(shù)(t)是一個(gè)時(shí)變?cè)鲆婧瘮?shù)并且滿足

對(duì)Vy(t)沿著系統(tǒng)(46)的解求導(dǎo),可得

因此,存在t0>0使得γ(t)>0,?t≥t0.結(jié)合式(49),有

由條件(45)可知,存在常數(shù)ε>0和μ1>0使得

這意味著g(t)是一個(gè)指數(shù)類型的函數(shù).不失一般性,假設(shè)g(t)=keνt,其中k>0,ν>μ≥0.將g(t)代入式(50)可得

接下來將式(55)代入式(53)有

因此,通過式(52)可得,存在一個(gè)常數(shù)M0使得

成立.進(jìn)而得到

根據(jù)引理1,設(shè)計(jì)如下反饋控制:

因此,系統(tǒng)(4)的閉環(huán)系統(tǒng)為

3 閉環(huán)系統(tǒng)的適定性

本節(jié)證明閉環(huán)系統(tǒng)(61)-(65)在空間H1=H1(0,1)×L2(0,1)×R2中存在唯一溫和解.利用誤差變量,和可逆變換(10)(18),得到系統(tǒng)(61)-(65)的等價(jià)系統(tǒng)如下:

在狀態(tài)空間H2=R×L2(0,1)×L2(0,1)中研究系統(tǒng)(67)-(71),其內(nèi)積定義為

定義系統(tǒng)(67)-(71)的算子A:D(A)→H2為

因此系統(tǒng)(67)-(71)可以寫為如下發(fā)展方程的形式:

定理1對(duì)于任給的T>0 以及初值(u(0,0),β(·,0),ξ(·,0))∈H2,系統(tǒng)(67)-(71)存在唯一解

證由定義(75)可得

因此A是耗散算子.下面證明A-1存在.對(duì)任意給定的(Y,f,k)∈H2,解A(X,h,g)=(Y,k,f)可得

由 式(80)有h(0)=g(0)+(a-c)X和g(1)=0.因此,(X,h,g)∈D(A)并且A-1存在.由Sobolev 嵌入定理知,A-1在H2上是緊的.根據(jù)Lumer-Phillips 定理[20]可得,算子A在H2上生成一個(gè)壓縮C0-半群eAt.

另一方面,通過命題1和式(78)可知B是一個(gè)有界算子.因此,為了獲得系統(tǒng)(67)-(71)的適定性,只需要證明算子B1和B2關(guān)于eAt都是可允許的.

考慮系統(tǒng)(67)-(71)的對(duì)偶系統(tǒng)

其中?0(x)是初始條件.通過計(jì)算,存在T>0,使得

對(duì)于CT≥1成立.

定義系統(tǒng)(81)的能量函數(shù)為

對(duì)E?(t)關(guān)于時(shí)間t沿著系統(tǒng)(81)的解求導(dǎo)可得

另一方面,對(duì)于任意給定的(θ,Φ,Ψ)∈H2,有

最后,通過系統(tǒng)(61)-(65)與系統(tǒng)(67)-(73)的等價(jià)性,可以得到系統(tǒng)(61)-(65)的適定性.

定理2對(duì)任意T>0以及初值(u(·,0),ut(·,0),(0),(0))∈H1,系統(tǒng)(61)-(65)存在唯一溫和解

4 輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性

下面考慮系統(tǒng)(61)-(63)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性.

定理3假設(shè)時(shí)變?cè)鲆鎔(t)滿足條件(45),那么,對(duì)于任意的干擾d1,d4∈(0,∞;L2(0,1)),d2,d3,d5∈(0,∞),以及t0時(shí)刻的值(u(·,t0),ut(·,t0))∈H3=H1(0,1)×L2(0,1),系統(tǒng)(61)-(63)是輸入-狀態(tài)穩(wěn)定的,即存在與干擾無關(guān)的正常數(shù)Ei(i=1,2,3,4,5,6),使得

對(duì)于?t>t0成立.特別地,當(dāng)di(i=1,2,4,5)=0時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)(61)-(63)是指數(shù)穩(wěn)定的.

證系統(tǒng)(67)-(71)的能量為

定義Lyapunov-Krasovskii泛函為

其中λ,ρ,r,σ>0是設(shè)計(jì)參數(shù).利用Cauchy-Schwarz不等式和Young’s不等式,有

對(duì)V(t)關(guān)于t沿著系統(tǒng)(67)-(71)的解求導(dǎo)可得

對(duì)于足夠大的ρ,σ>0和足夠小的λ>0成立.

進(jìn)一步,由于Di(i=1,2,3)是依賴于di(i=1,2,4,5)的干擾,存在正常數(shù)Ai>0(i=1,2,3,4)使得

那么,對(duì)于?t>t0,有

則存在常數(shù)A5>0,使得

其中σ=min{η,κ}.因此,

由于變換(18)的有界可逆性,存在常數(shù)ci(i=1,2,3,4,5,6)使得

進(jìn)一步由變換(10)-(11)可得

根據(jù)式(105)(108)可得

最后,當(dāng)di(i=1,2,4,5)=0時(shí),通過式(109)可知,閉環(huán)系統(tǒng)(61)-(63)是指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

5 數(shù)值仿真

本節(jié)給出主要結(jié)論的數(shù)值模擬結(jié)果.使用空間步長(zhǎng)為0.02以及時(shí)間步長(zhǎng)為0.002的有限差分方法來離散方程.系統(tǒng)參數(shù)取為a=0.9,b=0.6.設(shè)計(jì)參數(shù)取為c=8,k1=3,ν=0.3.假設(shè)干擾為

由開環(huán)仿真圖1(a)可以看出,對(duì)于選取的參數(shù),系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.另一方面,若不抵消匹配干擾,即不通過ADRC方法對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì),則在控制(30)和(60)的作用下,系統(tǒng)(4)的狀態(tài)如圖1(b)所示.然而,如果利用ADRC方法對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)一步通過控制消除它,那么具有干擾的系統(tǒng)(4)在控制(30)和控制(60)的作用下的狀態(tài)呈現(xiàn)在圖1(c).圖2表明干擾估計(jì)器很好地跟蹤到了干擾D4的真實(shí)值.

圖1 系統(tǒng)(4)的狀態(tài)Fig.1 The state of system(4)

圖2 干擾D4(t)、干擾估計(jì)量(t)以及誤差Fig.2 Disturbance D4(t),its estimation(t)and the error

6 小結(jié)

本章考慮了具有外部干擾的不穩(wěn)定剪切梁的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性,其中梁的一端受到局部的范德華力.由于范德華力對(duì)于系統(tǒng)的作用導(dǎo)致開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,因此,本文通過在梁的控制端構(gòu)造反饋控制使得系統(tǒng)自身達(dá)到指數(shù)鎮(zhèn)定.對(duì)于外部的匹配干擾,構(gòu)造了具有時(shí)變?cè)鲆娴臄U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器用于估計(jì)干擾并在反饋環(huán)節(jié)進(jìn)行消除.最后證明了系統(tǒng)在外部干擾下的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性.