馬國(guó)耀,蔣 奇?,宗西舉

(1.山東大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院,山東濟(jì)南 250061;2.濟(jì)南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東濟(jì)南 250022)

1 引言

大約1750年,Euler-Bernoulli梁方程被提出.隨著外層空間技術(shù)的不斷發(fā)展,人們愈發(fā)認(rèn)識(shí)到Euler-Bernoulli梁方程作為一個(gè)基準(zhǔn)系統(tǒng)對(duì)推動(dòng)科技發(fā)展的重要性.伴隨著理論研究發(fā)展的日趨成熟,許多有效方法被應(yīng)用于實(shí)現(xiàn)Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如Backstepping變換法[1-2]、Lyapunov能量方法[3]和頻域方法[4]等.但是,這些手段在求證偏微分系統(tǒng)穩(wěn)定上仍然存在計(jì)算困難等問(wèn)題.伴隨著Riesz基性質(zhì)和偏微分系統(tǒng)穩(wěn)定關(guān)系的確立,基于Riesz基求證偏微分系統(tǒng)穩(wěn)定性已成為一種趨勢(shì).在這個(gè)理論中,通過(guò)求解譜增長(zhǎng)條件,明確在該系統(tǒng)條件下Riesz基性質(zhì),即可實(shí)現(xiàn)偏微分方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明[5-7].但是,當(dāng)系統(tǒng)外部存在擾動(dòng)或出現(xiàn)內(nèi)部不確定性時(shí),文獻(xiàn)[5-7]將難以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定.

為解決該問(wèn)題,許多經(jīng)典算法被應(yīng)用到Euler-Bernoulli梁方程上,如未知參數(shù)的自適應(yīng)控制[8-9]、滑?？刂芠10-12]等方法.上述方法大都是以控制器的魯棒性對(duì)干擾進(jìn)行抵抗,或者說(shuō)是基于一種最壞情況下的反饋控制.這類(lèi)控制器通常過(guò)于保守且容易出現(xiàn)“抖振”問(wèn)題.

韓京清老師在1998年首次提出了自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)的概念[13].ADRC的突出優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)了一個(gè)擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器(extended state observer,ESO)來(lái)估計(jì)擾動(dòng),進(jìn)而使用其估計(jì)值補(bǔ)償系統(tǒng)回路中的各種不確定因素.隨著研究的不斷深入,將ADRC 引入到偏微分方程(partial diffrential equation,PDE)的理論正在逐步完善.文獻(xiàn)[14]針對(duì)帶有邊界擾動(dòng)的Kirchhoff板,設(shè)計(jì)了一類(lèi)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器.該狀態(tài)觀(guān)測(cè)器由無(wú)限多個(gè)常微分方程構(gòu)成,借助ADRC技術(shù),抵消了來(lái)自多維Kirchhoff板的時(shí)間和空間變化的邊界擾動(dòng),但隨著時(shí)間可變?cè)鲆娴牟粩嘣黾?其對(duì)高頻噪聲的魯棒性也會(huì)逐漸變差.文獻(xiàn)[15]針對(duì)熱方程系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制,構(gòu)建了兩個(gè)輔助系統(tǒng).一個(gè)用于分離擾動(dòng)和控制,另一個(gè)用來(lái)估計(jì)擾動(dòng),在ESO的幫助下,構(gòu)建了控制器,進(jìn)而消除了反饋回路中存在的干擾.文獻(xiàn)[16]借助文獻(xiàn)[15]的研究思路,基于波動(dòng)方程,實(shí)現(xiàn)了擾動(dòng)的估計(jì)和控制器的設(shè)計(jì).但是,無(wú)論是熱方程還是波動(dòng)方程,其階數(shù)和處理難度都弱于Euler-Bernoulli梁.隨著理論研究的不斷深入,在文獻(xiàn)[17-20]中,作者將上述狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的設(shè)計(jì)思想應(yīng)用到了帶有不確定性因素和外界擾動(dòng)的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)上.文獻(xiàn)[21]針對(duì)Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一個(gè)無(wú)限維估計(jì)器來(lái)估計(jì)擾動(dòng),并基于速度反饋和角速度反饋設(shè)計(jì)了兩種不同的控制器,最后利用Riesz基方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.2017年,文獻(xiàn)[22]整理了ADRC的一些新老結(jié)論,系統(tǒng)闡述了ADRC在偏微分方程上的應(yīng)用,并以Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)為例,詳細(xì)解釋了應(yīng)用過(guò)程中的注意事項(xiàng)和方法.文獻(xiàn)[23]在上述研究的基礎(chǔ)上,將帶有不確定性因素和外部干擾的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)應(yīng)用至多智能體系統(tǒng),并證明了其收斂性.但是,在文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[19-21]中,其Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)的4個(gè)邊界條件中有3個(gè)為0,這種邊界條件實(shí)際上簡(jiǎn)化了狀態(tài)觀(guān)測(cè)器和邊界控制器的設(shè)計(jì).在文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[23]中,其不確定性施加在邊界彎矩(關(guān)于x的二階偏導(dǎo))項(xiàng)上,在處理上相比于邊界剪切力(關(guān)于x的三階偏導(dǎo))更為直觀(guān)和容易.

本文針對(duì)帶有邊界擾動(dòng)、內(nèi)部不確定性和外部擾動(dòng)的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng),提出一種基于干擾觀(guān)測(cè)器的邊界輸出反饋控制.相比已有的研究成果,本文的創(chuàng)新點(diǎn)是: 1)系統(tǒng)邊界條件不同.本文所考慮的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)其邊界彎矩受邊界角速度影響,并且邊界剪切力受控制器和擾動(dòng)的影響;2)針對(duì)具有該邊界條件的系統(tǒng),使用擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器觀(guān)測(cè)到內(nèi)部不確定性和外部擾動(dòng)二者的總擾動(dòng)值,并且使用Riesz基方法,證明了與干擾觀(guān)測(cè)器相關(guān)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;3)利用估計(jì)值,在系統(tǒng)的邊界剪切力處設(shè)置邊界輸出反饋控制器,從而實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定.

本文的其余部分組織如下: 第2節(jié),給出本文研究系統(tǒng)的方程,同時(shí)作出一些定義和合理假設(shè).第3節(jié),給出參考系統(tǒng)和干擾觀(guān)測(cè)器的形式,同時(shí)證明相關(guān)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.第4節(jié),借助文獻(xiàn)[5]的部分結(jié)論,給出邊界輸出反饋控制器的形式,說(shuō)明該反饋控制器和干擾觀(guān)測(cè)器能夠相互結(jié)合并穩(wěn)定的原因.第5節(jié),介紹一些數(shù)值模擬,驗(yàn)證所提出觀(guān)測(cè)器和控制器的有效性.第6節(jié),對(duì)本文進(jìn)行總結(jié).

2 系統(tǒng)描述

在本文中,考慮以下帶有不確定影響的Euler-Bernoulli梁方程:

在系統(tǒng)(1)中,ω(x,t)表示梁在時(shí)間t和位置x的位移,(ω0(x),ω1(x))表示系統(tǒng)初始狀態(tài),ωt(x,t)和ωx(x,t)分別表示ω(x,t)關(guān)于變量t和變量x的導(dǎo)數(shù),d ∈L∞(0,∞)表示未知的外部干擾,f(ω(·,t),ωt(·,t)):(0,1)×L2(0,1)→R表示系統(tǒng)內(nèi)部的非線(xiàn)性映射,反映了系統(tǒng)的不確定性,ym表示可測(cè)量的輸出信號(hào),u0(t)表示設(shè)計(jì)的邊界控制輸入.

假設(shè)1對(duì)于不確定擾動(dòng)f(·)和外部干擾d(t),假設(shè)存在∈R+和∈R+使

定義1為方便下文討論,使用如下定義:

作為總干擾.

在系統(tǒng)(1)中,梁的一端是自由的,在另一端受梁的邊界角速度、控制輸入和未知擾動(dòng)影響,本質(zhì)上是受邊界角速度影響的單鉸鏈柔性機(jī)器人的振動(dòng)控制.本文的目的是基于測(cè)量值ym,設(shè)計(jì)一個(gè)總擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器和反饋控制器,利用擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器和控制器產(chǎn)生的信號(hào),使系統(tǒng)的狀態(tài)ω(x,t)以指數(shù)形式收斂到零.

3 擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中,將利用系統(tǒng)輸出ym設(shè)計(jì)一個(gè)不使用高增益的總干擾估計(jì)器.受文獻(xiàn)[17][22]-[23]的啟發(fā),首先引入?yún)⒖枷到y(tǒng)(5),即

其中k1是和系統(tǒng)(1)相同的可調(diào)節(jié)系數(shù).顯然,該系統(tǒng)完全取決于原系統(tǒng)(1)的輸入和輸出,故系統(tǒng)(5)為一個(gè)完全已知的系統(tǒng).根據(jù)文獻(xiàn)[24],當(dāng)系統(tǒng)的控制輸入u0(t)≡0時(shí),系統(tǒng)(5)將以指數(shù)形式收斂到零.

系統(tǒng)(7)和系統(tǒng)(5)類(lèi)似,由文獻(xiàn)[24]可 知,當(dāng)F(t)≡0時(shí)系統(tǒng)(7)將指數(shù)收斂.另外,系統(tǒng)(7)具有一個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn),即其不受控制器u0(t)的影響,這就實(shí)現(xiàn)了控制與擾動(dòng)的分離.由上述分析可知,可以根據(jù)系統(tǒng)(7)進(jìn)行系統(tǒng)(1)總擾動(dòng)的估計(jì).

取系統(tǒng)(7)的狀態(tài)空間為H=(0,1)×L2(0,1),其中,(0,1)表示Sobolev空間下滿(mǎn)足邊界條件的函數(shù)f ∈L2(0,1)具有平方可積的一階和二階弱導(dǎo)數(shù).對(duì)?(fi,gi)T∈H(i=1,2)定義其內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)為

進(jìn)而系統(tǒng)(7)在狀態(tài)空間H中可被重寫(xiě)為

算子A的情況如下:

其中δ為狄拉克分布.

從系統(tǒng)(7)中不難發(fā)現(xiàn),算子A可生成一個(gè)C0-半群,算子B關(guān)于算子A生成的C0-半群是容許的[22].由于系統(tǒng)(7)的線(xiàn)性部分是指數(shù)穩(wěn)定的,并且與控制無(wú)關(guān),所以系統(tǒng)(7)的擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器的設(shè)計(jì)要比原始系統(tǒng)(1)容易得多.此外,由假設(shè)1知總擾動(dòng)F(t)是一致有界的,故系統(tǒng)(7)線(xiàn)性部分的指數(shù)穩(wěn)定性保證了所有參與估計(jì)的子系統(tǒng)都是有界的[22].從這個(gè)角度上講,系統(tǒng)(5)將總擾動(dòng)從原系統(tǒng)(1)中分離出來(lái),并將總擾動(dòng)引入到指數(shù)收斂的系統(tǒng)(7)中,這是本文設(shè)計(jì)總擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器重要的出發(fā)點(diǎn).

其中k1是和系統(tǒng)(1)、系統(tǒng)(5)相同的可調(diào)節(jié)系數(shù).對(duì)于擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器系統(tǒng)(8),它僅僅取決于ω(1,t),z(1,t),ωxt(1,t)以及zxt(1,t).ω(1,t),ωxt(1,t)與原系統(tǒng)的輸入和輸出有關(guān),z(1,t)和zxt(1,t)與設(shè)計(jì)的完全已知系統(tǒng)(5)相關(guān).

定理1通過(guò)選擇合適的k1>0,將能使系統(tǒng)(10)指數(shù)穩(wěn)定.

證定義Hilbert空間

在H1上,將系統(tǒng)(10)改寫(xiě)為如下發(fā)展方程:

基于式(13),定義算子A1的特征值

相關(guān)特征函數(shù)滿(mǎn)足

注意到,針對(duì)任意(f,g)T∈D(A1),

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算,易知算子A1是耗散的且對(duì)?λT∈σ(A1)都有Reλ≤0.又因?yàn)樗械奶卣髦稻怨曹椥问匠霈F(xiàn),故只需考慮落在第二象限的特征值,即λ=iρ2∈σ(A1)且≤argλ≤π.

對(duì)系統(tǒng)(15)直接計(jì)算,可得

代入邊界f′′(1)的限制條件,ρ需滿(mǎn)足下列特征方程:

當(dāng)Re(ρ)→∞且Im(ρ)是有界時(shí),式(19)具有以下漸進(jìn)形式:

其中O表示同階無(wú)窮小.式(20)的形式將導(dǎo)致cosρ=

根據(jù)算子A1的耗散性,只需證明對(duì)?λ ∈σ(A1),Re(λ)≠0.根據(jù)式(14)-(15),有下式成立:

式(23)也能說(shuō)明Re(λ)≤0.現(xiàn)在證明,式(22)不會(huì)存在虛軸上的解,即對(duì)?λ ∈σ(A1),Re(λ)≠0.

假設(shè)Re(λ)=0.這里式(14)依然成立,但注意ρ此時(shí)設(shè)為一個(gè)大于0的實(shí)數(shù).將式(14)代入式(23),有

將式(25)的邊界條件代入式(18),考慮到f(x)非零,有

顯然,式(26)對(duì)于ρ>0無(wú)解.由式(22)和式(26)知,不會(huì)存在以0為聚點(diǎn)的特征值,故式(22)不會(huì)存在虛軸上的解.

綜上所述,通過(guò)選擇合適的k1>0,能夠使λn的實(shí)部為負(fù)數(shù),且對(duì)任意模充分大的本征值都是幾何單的.

定理1得證.證畢.

定理2若A1由式(13)定義,則A1能在H1上生成一個(gè)C0-半群eA1t.

證 顯然,存在A1的廣義特征函數(shù)構(gòu)成H1的Riesz基.參考文獻(xiàn)[23]Lemma 3.2的證明方法,由本文式(16)可知

定理2得證.證畢.

根據(jù)定理2,算子A1能夠在H1中生成一個(gè)壓縮的C0-半群,故存在常數(shù)LA1和ωA1>0使得[22-23]

且定義的Φ(τ)滿(mǎn)足

簡(jiǎn)單計(jì)算有

根據(jù)式(28)(30),易從式(31)中得到

其中:T>0是任意給定的常數(shù),C0為一個(gè)和初始條件有關(guān)的正數(shù).由(32)可知,當(dāng)t→∞,xxx(1,t)→0,即

定理3得證.證畢.

推論1系統(tǒng)(8)實(shí)際上是作為系統(tǒng)(7)的一個(gè)輸入觀(guān)測(cè)器.從式(9)的定義可以看出

將系統(tǒng)(7)和系統(tǒng)(8)放在一起

可得完整的擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器(34).這樣做的優(yōu)點(diǎn)是沒(méi)有考慮總誤差F(t)的各階導(dǎo)數(shù),不會(huì)引入求導(dǎo)過(guò)程中所帶來(lái)的誤差,尤其是與系統(tǒng)狀態(tài)(ω(·,t),ωt(·,t))相關(guān)的非線(xiàn)性求導(dǎo)誤差,同時(shí),該觀(guān)測(cè)器的設(shè)計(jì)也不會(huì)帶來(lái)高增益問(wèn)題.

4 反饋控制器設(shè)計(jì)

觀(guān)察發(fā)現(xiàn),當(dāng)F(t)≡0時(shí),若設(shè)計(jì)u0(t)=k2ωt×(1,t)[5],k2>0,可使系統(tǒng)(1)穩(wěn)定.定理1-3以及式(28)表明,系統(tǒng)(10)將以指數(shù)形式收斂,即

設(shè)計(jì)控制器u0(t)=k2ωt(1,t)-xxx(1,t),此時(shí)完整的閉環(huán)控制系統(tǒng)為

由定理3分析可知

5 仿真分析

為直觀(guān)展示本文所介紹的反饋控制器以及擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器,本節(jié)采用有限差分法,利用MATLAB進(jìn)行了一些數(shù)值模擬分析.空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)分別為dx=0.05,dt=0.0001,外部干擾d(t)=sint,內(nèi)部不確定項(xiàng)f(·)=0.5 cos(ω(1,t)).初始值設(shè)置為:ω(x,0)=sin(2πx)cos(1.5πx),ωt(x,0)=-0.2x,(x,0)=(x,0)=0,(x,0)=(x,0)=-0.1x,k1=1,k2=8.系統(tǒng)(35)的解決方案繪制在圖1-3中,總擾動(dòng)及其估計(jì)值繪制在圖4中,控制器u0(t)繪制在圖5中.圖中各參數(shù)的含義分別為:x表示梁的位置,t表示時(shí)間,F(t)和xxx(1,t)分別指總擾動(dòng)和其估計(jì)值,誤差Error=F(t)-xxx(1,t),控制律u0(t)=k2ωt(1,t)-xxx(1,t).

圖1 梁的位移ω(x,t)Fig.1 The displacement of the beam ω(x,t)

由圖1可以看出,ω(x,t)最終指數(shù)收斂至0,符合預(yù)期要求.圖2和圖3證明了所選參考系統(tǒng)和擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器是有界的,并且能夠?qū)倲_動(dòng)起到觀(guān)測(cè)作用.圖4表明擾動(dòng)被有效地估計(jì)出來(lái),并且估計(jì)誤差也在允許范圍內(nèi).圖5展示了邊界反饋控制器的輸出,可以看出隨時(shí)間的不斷變化,控制器整體輸出較為平穩(wěn).

圖2 參考系統(tǒng)(x,t)Fig.2 The reference system(x,t)

圖3 擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器(x,t)Fig.3 The disturbance estimator(x,t)

圖4 擾動(dòng)及其估計(jì)值Fig.4 The disturbances and their estimates

圖5 控制律u0(t)Fig.5 The control law u0(t)

6 總結(jié)

本文針對(duì)一類(lèi)具有邊界擾動(dòng)、未知外部干擾和內(nèi)部非線(xiàn)性擾動(dòng)的Euler-Bernoulli梁方程,設(shè)計(jì)了干擾觀(guān)測(cè)器,基于文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器.該控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程包括與擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器相關(guān)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論證明、Riesz基理論和無(wú)擾動(dòng)情況下輸出反饋控制律3個(gè)部分.本文設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀(guān)測(cè)器無(wú)需對(duì)干擾求導(dǎo),也不會(huì)引入高增益所帶來(lái)的種種問(wèn)題.整個(gè)系統(tǒng)的應(yīng)用僅利用了原系統(tǒng)的輸出信號(hào)ym,通過(guò)控制梁在位置x和時(shí)間t即可使整個(gè)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.但是,受篇幅限制,一些理論并未展開(kāi)敘述,詳細(xì)的推導(dǎo)方法類(lèi)似于文獻(xiàn)[25].

未來(lái),筆者將繼續(xù)針對(duì)Euler-Bernoulli梁方程進(jìn)行研究,并擴(kuò)展其在實(shí)際領(lǐng)域中的應(yīng)用.例如,研究帶有某些未知參數(shù)的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng),利用輸入-輸出關(guān)系或二值信息辯識(shí)系統(tǒng)的未知參數(shù),進(jìn)而根據(jù)狀態(tài)構(gòu)造伺服系統(tǒng),設(shè)計(jì)控制器最終實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié).另一方面,結(jié)合文獻(xiàn)[26-28],該控制理論可考慮應(yīng)用至手術(shù)機(jī)器人領(lǐng)域.由于人體腔道的復(fù)雜性,柔性機(jī)器人在未來(lái)一定是手術(shù)機(jī)器人的不二選擇.本文所討論的Euler-Bernoulli梁作為一個(gè)基礎(chǔ)梁系統(tǒng),下一步可根據(jù)機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)、力學(xué)特性和運(yùn)動(dòng)特征,構(gòu)建更加完善的動(dòng)力學(xué)模型,進(jìn)而設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器和邊界輸出反饋控制器,從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人在人體腔道內(nèi)安全穩(wěn)定運(yùn)行.