梅占東,竺 迪

(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西西安 710049)

1 引言

由于建模的不確定性(如未建模的參數(shù)、模型誤差)和環(huán)境干擾(如風(fēng)、噪聲和溫度),在實(shí)際工業(yè)控制系統(tǒng)中通常會(huì)出現(xiàn)不確定性干擾.干擾的存在通常使穩(wěn)定的邊界輸出反饋控制器失效,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3].因此,如果出現(xiàn)干擾,重新設(shè)計(jì)魯棒穩(wěn)定控制器是必要的;處理不確定性是現(xiàn)代控制理論中重要的問(wèn)題之一.處理干擾的控制方法有很多,如內(nèi)模原理[4-5]、Lyaponov方法[1,3,6]、滑?？刂芠1,7-9]和自適應(yīng)控制[10-13],其中,自適應(yīng)控制方法和內(nèi)模原理的核心思想是實(shí)時(shí)估計(jì)/抵消.受這種思想的啟發(fā),韓京清[14]首先發(fā)展了常微分方程的自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)方法.由于把干擾當(dāng)作一個(gè)整體、利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)出來(lái)、并在反饋環(huán)節(jié)中抵消掉,ADRC能處理相當(dāng)一般的干擾,該法幾乎不依賴(lài)于系統(tǒng)模型.隨后,ADRC應(yīng)用于偏微分方程[1-3,8-9,15-19].在早期偏微分方程(partial differential equation,PDE)自抗擾控制[1,3,8-9,18]中,作者通過(guò)引入一些特殊的測(cè)試函數(shù)把干擾轉(zhuǎn)移到某個(gè)常微分方程(ordinary differential equation,ODE)中,從而應(yīng)用ODE自抗擾控制來(lái)處理.這使得擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO)必須采用高增益,并且外部干擾的導(dǎo)數(shù)需要有界.為了突破上述限制,文獻(xiàn)[16]開(kāi)發(fā)了一種新的具有外部干擾的一維反穩(wěn)定波動(dòng)方程的無(wú)窮維干擾估計(jì)器來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的ODE擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器.利用這種方法,他們?cè)谖墨I(xiàn)[5]中考慮具有外部擾動(dòng)的熱方程的輸出反饋穩(wěn)定性.在文獻(xiàn)[15-16]激勵(lì)下,文獻(xiàn)[19-20]研究了其他類(lèi)具有邊界控制匹配擾動(dòng)的波動(dòng)方程,其中既考慮內(nèi)部不確定性,也考慮外部擾動(dòng).文獻(xiàn)[17,21]中作者研究了一類(lèi)邊界力矩控制匹配內(nèi)部不確定性和外部干擾的一維梁方程.類(lèi)似的方法也同樣適用于具有邊界剪切控制且匹配內(nèi)部不確定性和外部干擾的Euler-Bernoulli 梁方程的指數(shù)穩(wěn)定化[2].受到文獻(xiàn)[2,15-17,19-20]的啟發(fā),本文考慮邊界帶控制匹配非線(xiàn)性干擾的一維反穩(wěn)定波方程的輸出反饋指數(shù)穩(wěn)定性,方程描述如下:

其中:w(x,t)是波在位置x和時(shí)間t的位移,1≠q>0,u(t)是控制輸入,總干擾F(t)=f(w(·,t),wt(·,t))+d(t),f(w(·,t),wt(·,t))是內(nèi)部不確定性,d(t)是外部干擾,y(t)是輸出(測(cè)量).對(duì)于系統(tǒng)(1)的物理解釋,本文參考文獻(xiàn)[12].為方便起見(jiàn),在不引起混淆的情況下,下文中的方程本文省略掉時(shí)間和空間變量的域.

在不考慮擾動(dòng)的情況下(F(t)=0),用Backstepping方法討論了系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性,其中全狀態(tài)是可測(cè)量的.在文獻(xiàn)[12,22]中,自適應(yīng)控制方法用于穩(wěn)定系統(tǒng),其中q未知.這里必須提到的是,作者通過(guò)引入一個(gè)額外的傳遞方程,僅用兩個(gè)測(cè)量值w(0,t)和w(1,t)研究了系統(tǒng).具體來(lái)說(shuō),他們引入了以下系統(tǒng):

其中00,則反饋控制器

指數(shù)穩(wěn)定原始系統(tǒng),其中c3>0.

然而,文獻(xiàn)[16]并沒(méi)有證明控制器(2)不能抑制干擾,盡管ADRC方法已經(jīng)被用于處理系統(tǒng)的外部干擾(如果控制器(2)可以抑制干擾,就不需要ADRC).現(xiàn)在本文來(lái)澄清這件事情.考慮F(t)≡F時(shí)反饋控制器(2)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為

在考慮干擾的情況下,文獻(xiàn)[6]中結(jié)合Lyapunov和Backstepping方法首先研究了系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性,但是需要完整的狀態(tài).如前所述,文獻(xiàn)[16]引入一個(gè)新的無(wú)限維擾動(dòng)估計(jì)器討論了外部干擾的系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性.雖然對(duì)于F(t)=0的情況,兩個(gè)測(cè)量值足夠,但為了處理干擾,他們使用了3個(gè)測(cè)量值w(0,t),w(1,t),wt(0,t).由于內(nèi)部不確定性通常出現(xiàn)在工程實(shí)踐中,文獻(xiàn)[20]考慮了既有內(nèi)部不確定性又有外部干擾的系統(tǒng);構(gòu)造了一個(gè)無(wú)窮維擾動(dòng)估計(jì)器來(lái)估計(jì)總擾動(dòng);他們只使用了兩個(gè)測(cè)量值w(0,t)和w(1,t).文獻(xiàn)[20]相比文獻(xiàn)[16]的優(yōu)點(diǎn)是刪除了度量值wt(0,t).然而,由于設(shè)計(jì)了一個(gè)額外的觀測(cè)器來(lái)估計(jì)原始系統(tǒng)的狀態(tài),閉環(huán)系統(tǒng)[20,(5.29)和(5.30)]相當(dāng)復(fù)雜: 它由4個(gè)波動(dòng)方程和3個(gè)傳輸方程構(gòu)成.

在本文中,只考慮兩個(gè)測(cè)量值w(1,t)和wt(0,t))(這繼承了文獻(xiàn)[20]的優(yōu)點(diǎn)),并且沒(méi)有設(shè)計(jì)額外的觀測(cè)器(這繼承了文獻(xiàn)[16]的優(yōu)點(diǎn)).由于系統(tǒng)關(guān)于時(shí)間是二階的,測(cè)量值wt(0,t)與文獻(xiàn)[16,20]中的w(0,t)區(qū)別很大,wt(0,t)不能被視為位移w(0,t)的導(dǎo)數(shù),而w(0,t)不能被認(rèn)為是wt(0,t)的積分;它們應(yīng)被視為不同的測(cè)量值.事實(shí)上,正如文獻(xiàn)[11]中所述,幾乎所有柔性結(jié)構(gòu)邊界控制的結(jié)果都是通過(guò)測(cè)量邊界處的速度來(lái)實(shí)現(xiàn)的.為了設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制律,核心思想是構(gòu)造一個(gè)無(wú)窮維擾動(dòng)估計(jì)器,同時(shí)估計(jì)狀態(tài)和總擾動(dòng).這與參考文獻(xiàn)[2,20]大不相同,后者僅使用估計(jì)的總擾動(dòng),并設(shè)計(jì)額外的狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)狀態(tài);這使本文能夠?qū)С鲆粋€(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的閉環(huán)系統(tǒng)(不需要額外的狀態(tài)觀測(cè)器).

本文的安排如下: 在第2節(jié)中,通過(guò)引入了一個(gè)輔助系統(tǒng)把總干擾轉(zhuǎn)移到一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定系統(tǒng)中,然后構(gòu)造了包括這個(gè)輔助系統(tǒng)在內(nèi)的一個(gè)無(wú)窮維干擾估計(jì)器,用于實(shí)時(shí)估計(jì)狀態(tài)和總擾動(dòng);第3節(jié)設(shè)計(jì)一種基于干擾估計(jì)器的輸出反饋控制律,并用半群方法證明閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的;在第4節(jié),給出了一些數(shù)值模擬.

2 干擾估計(jì)器設(shè)計(jì)

本節(jié)的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)無(wú)限維干擾估計(jì)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)(w(·,t),wt(·,t))和總擾動(dòng)F(t).由于當(dāng)F(t)+u(t)=0時(shí)的系統(tǒng)(1)是反穩(wěn)定的,處理干擾并不是那么容易.為了克服這個(gè)困難,首先引入一個(gè)輔助系統(tǒng)

其中c0,c1>0為調(diào)節(jié)參數(shù).顯然，系統(tǒng)(5)完全由系統(tǒng)(1)的輸入和輸出決定.令(x,t)=v(x,t)-w(x,t),得

熟知,算子A1生成一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定C0-半群[23].這表明系統(tǒng)(5)把F(t)轉(zhuǎn)移到了一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定系統(tǒng),且不帶輸入u(t).從而相對(duì)于原系統(tǒng),F(t)更容易處理.

現(xiàn)在對(duì)未知輸入系統(tǒng)(6)設(shè)計(jì)如下觀測(cè)器:

證直接在文獻(xiàn)[16]中推論2.1的證明中令c0=0即得結(jié)論.證畢.

結(jié)合系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(8)得到無(wú)窮維干擾估計(jì)器

其只依賴(lài)于系統(tǒng)(1)的輸入和輸出.

注1和文獻(xiàn)[16]的式(4.4)相似,本文的無(wú)窮維干擾估計(jì)器只包含兩個(gè)PDE,而文獻(xiàn)[20]的式(5.2)的干擾估計(jì)器包含3個(gè)PDE.因此本文的干擾估計(jì)器比文獻(xiàn)[20]簡(jiǎn)單.

3 輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

基于上一節(jié)的無(wú)窮維干擾估計(jì)器,本節(jié)的目標(biāo)是設(shè)計(jì)系統(tǒng)(1)的輸出反饋控制器.受文獻(xiàn)[16]的式(3.3)啟發(fā),首先引入變量(x,t)=w(x,t)+W(x,t),其中W(x,t)滿(mǎn)足

結(jié)合式(1)和式(13)得到

本文的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)為

其中前兩項(xiàng)用于抵消總干擾,剩下的項(xiàng)用于穩(wěn)定系統(tǒng)(1).對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)為

該系統(tǒng)顯然是非線(xiàn)性的.

注2和文獻(xiàn)[16]的式(5.2)一樣,本文的閉環(huán)系統(tǒng)(15)只包含3個(gè)波方程和1個(gè)傳輸方程,文獻(xiàn)[20]的式(5.29)和(5.30)包含4個(gè)波方程和3個(gè)傳輸方程.盡管閉環(huán)系統(tǒng)(15)和文獻(xiàn)[16]的式(5.2)有同的方程個(gè)數(shù),本文僅用2個(gè)輸出量側(cè),而文獻(xiàn)[16]用了3個(gè)量測(cè)且不包含內(nèi)部非線(xiàn)性不確定性.這表明本文方法比文獻(xiàn)[16,20]更有效更節(jié)能.

顯然,閉環(huán)系統(tǒng)(15)等價(jià)于

證由文獻(xiàn)[8,23],得到算子B32和B31關(guān)于半群eA3t容許.再注意到,將(0,t)和(0,t)視為系統(tǒng)(9)的輸出,其觀測(cè)算子關(guān)于半群eA2t容許.由定理1立即得到結(jié)論.證畢.

定理3假設(shè)(c2-q)/(1-c2)>0,那么對(duì)任意滿(mǎn)足相容性條件z(1,0)=v(1,0)-w(1,0)的初始條件(w(·,0),wt(·,0),v(·,0),vt(·,0),z(·,0),zt(·,0),W(·,0))∈×H1(0,1),其解(w(·,t),wt(·,t),W(·,t))存在且關(guān)于時(shí)間t連續(xù).進(jìn)一步,有

進(jìn)而得到

定理3表明本文的控制器能夠穩(wěn)定原系統(tǒng).為了使控制過(guò)程有意義,閉環(huán)系統(tǒng)(15)還必須有界,下面的定理4就研究這個(gè)問(wèn)題.

ii)對(duì)于本文的定理4,不同于開(kāi)環(huán)系統(tǒng),閉環(huán)系統(tǒng)(15)中f(w,wt)的全局Lipschitz條件被去掉了.主要有3方面原因:1)式(17)為線(xiàn)性子系統(tǒng),且由半群理論可得到((·,t),(·,t))的存在連續(xù)性和指數(shù)穩(wěn)定性;2)本文用系統(tǒng)(16)的W部分得((·,t),(·,t))存在連續(xù)性和指數(shù)穩(wěn)定性;3)(w(·,t),wt(·,t))的存在連續(xù)性和有界性可由原因1)和原因2)得到,于是把f(w(·,t),wt(·,t))+d(t)視為系統(tǒng)(16)的部分的邊界非齊次項(xiàng),得到((·,t),(·,t))的存在唯一性.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(15),在MATLAB中采用有限差分方法做一些數(shù)值模擬.選擇時(shí)間和空間步長(zhǎng)分別為1/200和1/100.選取非線(xiàn)性?xún)?nèi)部不確定和外部干擾分別為f(w(·,t),wt(·,t))=sin(w(1,t))和d(t)=sin(2t).參數(shù)和初值選取q=0.5,c0=c1=1,c2=0.8,w(x,0)=x2-2x,wt(x,0)=0,z(x,0)=x3,zt(x,0)=0,v(x,0)=vt(x,0)=0,W(x,0)=2x.

圖1-4 分別表示閉環(huán)系統(tǒng)(15)的狀態(tài)w(x,t),W(x,t),v(x,t)和z(x,t).數(shù)值結(jié)果顯示,閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)w(x,t)和W(x,t)隨時(shí)間的增加迅速衰減,這展示了定理3的有效性;狀態(tài)v(x,t)和z(x,t)始終保持有界,這表明了定理4的正確性.

圖1 狀態(tài)w(x,t)Fig.1 The state of w(x,t)

圖2 狀態(tài)W(x,t)Fig.2 The state of W(x,t)

圖3 狀態(tài)v(x,t)Fig.3 The state of v(x,t)

圖4 狀態(tài)z(x,t)Fig.4 The state of z(x,t)