雙層網(wǎng)絡上多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性

2023-10-04 09:25楊珺博馬忠軍李科贊

控制理論與應用 2023年8期

楊珺博,馬忠軍,2?,李科贊,2

(1.桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院,廣西桂林 541004;2.桂林電子科技大學廣西密碼學與信息安全重點實驗室,廣西桂林 541004)

1 引言

近十幾年來,隨著人工智能技術的快速發(fā)展,多智能體系統(tǒng)的群聚行為已成為研究熱點[1-3].一致性作為多智能體系統(tǒng)中一種重要的集體動力學行為,其核心是多個智能體在控制協(xié)議的作用下,其位置或速度等狀態(tài)變量漸近趨同.多智能體系統(tǒng)的一致性在無人飛行器編隊、傳感器網(wǎng)絡和智能交通等領域得到了廣泛地應用.

多智能體系統(tǒng)的一致性最早由文獻[4]提出,隨后,不同種類的一致性問題被先后討論,如文獻[5]提出了一種離散時間一致性協(xié)議,并討論了具有固定結構的二階多智能體系統(tǒng)在非飽和輸入條件下的恒同一致性問題;文獻[6]考慮了領導-跟隨多智能體系統(tǒng)的分布式模糊容錯滯后一致性問題;文獻[7]探討了由一階和二階智能體組成的混合階多智能體系統(tǒng)的平均一致濾波問題;文獻[8]研究了含未知耦合權重的一階非線性領導-跟隨多智能體系統(tǒng)的實用一致性問題;文獻[9]討論了具有有向拓撲不確定非線性多智能體系統(tǒng)的固定時滯二分一致性問題;文獻[10]探究了二階多智能體系統(tǒng)的聚類一致性問題.

多層網(wǎng)絡是當今復雜網(wǎng)絡領域最前沿的研究方向之一[11-14],多層網(wǎng)絡的同步或一致性等問題引起了許多研究者的興趣.文獻[15]討論了雙層雙向加權星型網(wǎng)絡的同步問題;文獻[16]探討了具有非線性動力學和多層定號有向圖拓撲的領導-跟隨多智能體系統(tǒng)的二分一致性問題;文獻[17]研究了受通信邊緣攻擊的雙層多領導-跟隨智能體系統(tǒng)的恒同一致問題;文獻[18]層間耦合具有脈沖效應的多智能體系統(tǒng)在脈沖牽制控制下的同步問題.

上述文獻研究的一致性問題均考慮的是多智能體系統(tǒng)中所有(或部分)智能體的全部狀態(tài)變量漸近趨同(即恒同一致).然而,在某些情況下,由于實際應用方面的一些因素或需要,并不要求智能體中的全部分量達成一致,僅部分相關分量達成一致就可滿足所需控制效果.因此,文獻[19]率先提出部分分量一致性的定義,并導出了領導-跟隨多智能體系統(tǒng)在牽制控制下達成部分分量一致的充分條件;文獻[20]在文獻[19]的基礎上,導出了領導-跟隨多智能體系統(tǒng)在自適應牽制控制下達成部分分量一致的充分條件;文獻[21]則探討了領導-跟隨多智能體系統(tǒng)在間歇牽制控制下的部分分量一致性.

上述文獻探討的是單層網(wǎng)絡中多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性問題,沒有考慮雙層網(wǎng)絡的情形.雙層網(wǎng)絡能很好地描述各層子網(wǎng)絡內部的相互作用和兩層子網(wǎng)絡之間的相互作用,相對于單層網(wǎng)絡來說更符合一些復雜多智能體系統(tǒng)的拓撲特性(如一些城市內部的公共交通系統(tǒng)含有公交車和地鐵這兩層子網(wǎng)絡).因此,研究雙層網(wǎng)絡上多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性很有必要.然而,雙層網(wǎng)絡上的部分分量一致性問題目前還尚未有研究成果發(fā)表.本文的主要創(chuàng)新點在于將單層網(wǎng)絡中多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性推廣到雙層網(wǎng)絡中,其中,本文的雙層網(wǎng)絡中兩層子網(wǎng)絡的拓撲與層間節(jié)點間的層間耦合強度均可以不同.

本文第2節(jié)給出文中所需的部分變元穩(wěn)定性理論、圖論和矩陣理論的相關知識;第3節(jié)研究了雙層領導-跟隨非線性多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性問題,并導出該系統(tǒng)實現(xiàn)部分分量一致的充分條件;在第4節(jié)中,數(shù)值模擬驗證了理論結果的正確性;第5節(jié)給出結論并討論.

2 預備知識

考慮n維非自治常微分方程組

定義3[22]若式(1)的平凡解關于y穩(wěn)定且吸引,則稱式(1)的平凡解關于部分變元y漸近穩(wěn)定.

定義4[22]若函數(shù)ξ ∈C[R+,R+]或(C[(0,r),R+])是連續(xù)的嚴格單調上升函數(shù),且有ξ(0)=0,則稱ξ屬于K類函數(shù),記為ξ ∈K.

引理1[22]令ζ,ψ,α都是K類函數(shù),若存在函數(shù)V(t,x)滿足ζ(‖y‖)≤V(t,x)≤ψ(‖y‖),它的導數(shù)

則式(1)的平凡解關于y漸近穩(wěn)定.

引理2[19]任取H∈RN×N,B∈Rn×n,則存在nN階置換矩陣P=Ps,···,P1(Pi是第1類初等行變換矩陣),使得等式P(H ?B)P-1=B ?H成立,其中:i=1,···,s,s∈N+;?表示克羅內克積.

引理3[23]對任意的半正定對稱矩陣Q∈Rn×n,矩陣Θ∈RN×N,有

其中:x∈RnN;y∈RnN;IN表示N階的單位矩陣.

引理4[24]對任意的對稱矩陣A∈RN×N和對稱正定(半正定)矩陣B∈Rn×n,對任意向量x∈RNn都有以下不等式成立:

其中λmin(·),λmax(·)分別表示矩陣(·)的最小特征值和最大特征值.

接下來給出本文要用到的圖論知識.多智能體系統(tǒng)的通信拓撲通常用圖來表示,其中每個節(jié)點代表一個智能體,每條邊代表兩個智能體之間的信息交互.令G={V,E,A}表示一個有向圖,其中:V={1,2,···,N}是由N個智能體構成的節(jié)點集;E ?V×V是智能體信息交互的邊集;A=aij∈RN×N表示圖G的鄰接矩陣,其中aij表示多智能體系統(tǒng)中第i個智能體和第j個智能體之間的信息交互.若eij ∈E,則aij>0,即多智能體系統(tǒng)中第i個智能體到第j個智能體有一條有向邊,否則aij=0.定義aii=0,即圖G不存在環(huán)(多智能體系統(tǒng)中第i個智能體與自身的連邊),多智能體系統(tǒng)中第i個智能體的鄰居節(jié)點集可被定義為Ni={j|(i,j)∈E}.圖G對應的Laplace矩陣為L=lij∈RN×N,其中:

3 主要結果

本文考慮的系統(tǒng)由雙層網(wǎng)絡構成,每層子網(wǎng)絡包含N個智能體,兩層子網(wǎng)絡由同一個領導智能體牽制,xi(t)=(xi1···xin)T∈Rn與yi(t)=(yi1···yin)T∈Rn分別表示第1層與第2層子網(wǎng)絡第i個跟隨智能體的狀態(tài)變量,x0(t)∈Rn表示領導智能體的狀態(tài)變量,構建系統(tǒng)如下:

其中:f(xi)=(f1(xi)···fn(xi))T是非線性連續(xù)函數(shù);c>0表示層內耦合強度;ui(t)∈Rn,vi(t)∈Rn分別表示第1 層與第2 層子網(wǎng)絡的牽制控制器;B=diag{β1,···,βN}∈RN×N(βi>0,i=1,···,N)表示多智能體系統(tǒng)的層間耦合強度矩陣;Γ=diag{γ1,···,γh,···,γn}∈Rn×n(γh>0,h=1,···,l)為表征兩個節(jié)點狀態(tài)變量中各個分量耦合情形的n維矩陣;L=lij∈RN×N,W=wij∈RN×N分別表示第1層與第2層子網(wǎng)絡的Laplace矩陣.

定義第1層與第2層子網(wǎng)絡的領導-跟隨牽制矩陣D1=diag{d11,···,d1N}∈RN×N,D2=diag{d21,···,d2N}∈RN×N,當?shù)?層或第2層第i個跟隨智能體接收到領導智能體信息時,dki>0,否則dki=0(k=1,2).設計牽制控制器,即

其中c與Γ的定義與式(2)中相同.定義第1層與第2層子網(wǎng)絡的相關誤差,即

得誤差系統(tǒng)

相應地,誤差系統(tǒng)(4)可寫成向量形式

其中對任意的q=1,2,···,n有

其中1N表示元素全為1的N維列向量.

接下來,文章給出雙層網(wǎng)絡部分分量一致的定義與本文將用到的一個假設.

定義5若存在1 ≤l≤n,對任何初始條件,系統(tǒng)(2)的解滿足

則稱網(wǎng)絡(2)關于前l(fā)個分量實現(xiàn)部分分量一致.

假設1[21]假設存在常數(shù)ε>0,使得非線性函數(shù)(·):RnN →RnN滿足不等式

定理1在有向網(wǎng)絡拓撲下,當每層子網(wǎng)絡的每一個連通分支中都至少有一個節(jié)點被牽制時,令Φ=diag{?1,?2,···,?N}>0,

若系統(tǒng)(2)滿足假設1且使得

選取Lyapunov函數(shù)

把函數(shù)(7)沿著式(6)的軌跡對t求導,有

由假設1可得

因為Ξ是半正定對角矩陣,故由引理3可知

由定理的不等式條件μ<0.因此,由引理1可知式(5)的零解是關于部分變元漸近穩(wěn)定的,即滿足

因此,系統(tǒng)(2)達成關于前l(fā)個分量的部分分量一致.

證畢.

令B=βIN(β>0),當系統(tǒng)(2)的雙層子網(wǎng)絡通訊拓撲與領導-跟隨牽制矩陣都相同時,則易得定理1的推論.

推論1在無向網(wǎng)絡拓撲下,令L0=L=W,D0=D1=D2,B=βIN(β>0),若系統(tǒng)(2)滿足假設1,且系統(tǒng)(2)中每層子網(wǎng)絡的每一個連通分支中都至少有一個節(jié)點被牽制,且使得

此外,若Γ=diag{γIl,0n-l},γ>0則式(8)可進一步簡化為

4 數(shù)值模擬

令系統(tǒng)(2)中每層子網(wǎng)絡中的N=10,n=3,其通信拓撲如圖1所示.

下面考慮雙層網(wǎng)絡上多智能體系統(tǒng)關于前兩個分量的一致性問題(即l=2).令第1層子網(wǎng)絡中第i個智能體的演化方程為

第2層子網(wǎng)絡中第i個智能體的演化方程為

取ε=3,D1=diag{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0},D2=diag{0,0,0,0,1,0,0,0,0,0},Φ=I10,令L,W分別為

則(Φ)s與(Φ)s的最小特征值分別為λ1=0.0020,λ2=0.0335.取c=16,Γ=diag{2,1,1},B=diag{1,2,0.5,0.6,2,1,0.3,0.4,0.9,0.8},運用MATLAB軟件計算得到誤差軌跡如圖2所示.

圖2 跟隨者與領導者的誤差軌跡(c=16)Fig.2 The time evolution of the state errors between the leader and the followers

其中圖2(a)與圖2(b)表示在牽制控制器(3)的作用下雙層網(wǎng)絡中所有智能體的前兩個分量都能達成一致,而圖2(c)表明第3個分量沒有達成一致.因此,誤差系統(tǒng)(6)的零解關于部分變元漸近穩(wěn)定,即系統(tǒng)(2)在控制協(xié)議(3)下實現(xiàn)了部分分量一致性.

5 結論