牛云山

【摘 要】 ?數(shù)學(xué)作為高中階段的一門核心學(xué)科，有利于學(xué)生思維能力和問題解決能力的培養(yǎng).在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，特別是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用難以取得良好的教學(xué)效果.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)重視導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)，結(jié)合具體的例題，傳授學(xué)生解題方法，提高學(xué)生解題能力.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題教學(xué)

高中數(shù)學(xué)課程中導(dǎo)數(shù)占據(jù)著非常重要的位置，是學(xué)生的必修內(nèi)容之一.其主要作用體現(xiàn)在促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)從靜態(tài)轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)、從有限轉(zhuǎn)變?yōu)闊o限，且在一定程度上促進(jìn)了學(xué)生辯證思維方式的形成.結(jié)合教材內(nèi)容來看，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算包括零點(diǎn)、不等式恒成立、極值等，學(xué)習(xí)難度非常高.在考試中也經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn).這就給教師教學(xué)帶來了挑戰(zhàn).本文圍繞導(dǎo)數(shù)解題這一中心點(diǎn)展開了分析、討論，意在幫助更多的學(xué)生提高導(dǎo)數(shù)解題能力.

1 解題前提——了解命題知識(shí)點(diǎn)

知己知彼方能百戰(zhàn)百勝.若想真正提高學(xué)生的解題能力，教師就要全方面把握導(dǎo)數(shù)命題形式、內(nèi)容，實(shí)施導(dǎo)數(shù)解題方法專題教學(xué)，幫助學(xué)生梳理導(dǎo)數(shù)命題思路，構(gòu)建導(dǎo)數(shù)解題框架 [1] .結(jié)合歷年高考試題、數(shù)學(xué)教材來看，導(dǎo)數(shù)命題所涉及的知識(shí)點(diǎn)主要包括：

第一，基本定義與性質(zhì).具體是指導(dǎo)數(shù)、函數(shù)凹凸性等知識(shí)點(diǎn)的定義域性質(zhì).以函數(shù)凹凸性中的凸函數(shù)為例，高中階段常用到的性質(zhì)有一階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)f x 在區(qū)間I上可導(dǎo)，則有函數(shù)f x 在區(qū)間I上是下凸的充分必要條件是f′ x 區(qū)間I上是單調(diào)遞增，反之，單調(diào)遞減；二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)f x 在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間I內(nèi)f″ x 大于零時(shí)，原函數(shù)在區(qū)間I上是下凸函數(shù).反之，為上凸函數(shù)；凸函數(shù)與切點(diǎn)的關(guān)系：若函數(shù)f x 是下凸函數(shù)，在點(diǎn)P x0，f x0 ?處有切線y=kx+b，則f x ≥kx+b.反之，f x ≤kx+b.在高考試題中曾出現(xiàn)過考查上述性質(zhì)的題目：已知函數(shù)f x =a e ?2x + a－2 ?e x－x，討論f x 的單調(diào)性.若f x 存在兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍.

第二，定理與公式.主要是指洛必達(dá)法則、中值定理、泰勒公式等.考查這些定理、公式的題目一般都是作為壓軸題出現(xiàn)，難度高、推導(dǎo)煩瑣.在實(shí)際考試中大部分學(xué)生經(jīng)常放棄這類題目.對(duì)此，教師可將相關(guān)題目整理在一起，開設(shè)專題解題教學(xué).

第三，思想方法.主要包括極限、積分、方程等思想.以積分思想為例，主要是考查定積分性質(zhì)、微積分基本定理、定積分的幾何意義，涉及不等式、數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)，難度系數(shù)也非常高.

2 解題關(guān)鍵——靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想

運(yùn)用解題思想的優(yōu)勢(shì)在于能幫助學(xué)生建立解題大局觀，從整體上明確題目類型、考查要點(diǎn)及解題思路，減少學(xué)生做“無用功”.常用于導(dǎo)數(shù)解題的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合思想、整體代換、分類討論思想等 [2] .以數(shù)形結(jié)合思想為例，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)、形結(jié)合在一起，使題干中原本抽象、呆板的數(shù)據(jù)信息，以圖形、數(shù)據(jù)形式呈現(xiàn)出來，方便學(xué)生從中找到數(shù)據(jù)信息的內(nèi)在規(guī)律，從而獲得解題思路、技巧.

例如 ??這樣一道題目：不等式 x－1 ??2< log ?ax在x∈ 0，1 上恒成立，則a的取值范圍是什么？在啟發(fā)學(xué)生思考時(shí)教師可先讓學(xué)生觀察不等式左右兩邊 x－1 ??2與 log ?ax，一個(gè)是二次函數(shù)，一個(gè)是對(duì)數(shù)函數(shù).然后詢問學(xué)生：能用直接化簡(jiǎn)的方法計(jì)算嗎？此時(shí)學(xué)生很容易就能得出結(jié)論：如果直接化簡(jiǎn)只能化簡(jiǎn)二次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)很難化簡(jiǎn).接下來，再詢問學(xué)生題干給出了兩個(gè)函數(shù)的共同區(qū)間x∈ 0，1 ，能不能通過函數(shù)的定義與性質(zhì)，選取某種方法進(jìn)行兩個(gè)函數(shù)對(duì)比呢？這樣經(jīng)過學(xué)生的思考和討論很容易得出結(jié)論：可利用數(shù)形結(jié)合的思想，分別畫出二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖形，然后在區(qū)間內(nèi)對(duì)比兩個(gè)函數(shù)圖象的走向，就能得到最終結(jié)論.最后，教師就可以讓學(xué)生自主計(jì)算、畫圖，令f x = x－1 ??2，g x = log ?ax，得到如圖1所示的兩個(gè)函數(shù)圖象，再進(jìn)行分析：滿足不等式 x－1 ??2< log ?ax在x∈ 0，1 上恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)該是 0，1 .在完成上述習(xí)題教學(xué)后，教師還可進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想常用導(dǎo)數(shù)題型的匯總，并適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)專項(xiàng)練習(xí)題，確保學(xué)生能完全掌握數(shù)形結(jié)合思想，再遇到類似題目時(shí)能迅速想到數(shù)形結(jié)合思想.

3 解題難點(diǎn)—合理選擇解題技巧

針對(duì)導(dǎo)數(shù)解題而言，不同類型的習(xí)題都有與之相對(duì)應(yīng)的解題技巧.教師可以進(jìn)行歸納、總結(jié)，并分門別類地講解給學(xué)生.

一般來說，導(dǎo)數(shù)題型包括七大類：第一類是導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值直接應(yīng)用.也就是題目明確給出的條件或問題是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的單調(diào)性、極大或極小值，最大或最小值.

例如 ??f（x）=（x 2+ax+b） e ?x（x∈ R ），求解：①當(dāng)a=2，b=－2時(shí)，函數(shù)f x 的極值，②若x=1是函數(shù)f x 的一個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間.

針對(duì)這類的解題技巧是對(duì)函數(shù)f x 進(jìn)行求導(dǎo)，并結(jié)合極值的定義與性質(zhì)，直接進(jìn)行計(jì)算.因?yàn)檫@類題型沒有涉及太多的公式、定理，相對(duì)來說比較簡(jiǎn)單.

第二類是交點(diǎn)與根的分布.主要是給出的條件或問題是函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸或者其他函數(shù)圖象的交點(diǎn)及根.一般情況下，這種題型還會(huì)涉及極值、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn) [3] .

例如 ??已知x=3是函數(shù)f x =a ln ?1+x +x 2－10x的一個(gè)極值點(diǎn).①求出a及函數(shù)f x 的單調(diào)性，如果直線y=b與函數(shù)f x 的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.

結(jié)合題干信息可知f x =a ln ?1+x +x 2－10x，那么f′ x = a 1+x +2x－10，若x=3是函數(shù)f x =a ln ?1+x +x 2－10x的一個(gè)極值點(diǎn)，則f′ 3 = a 1+3 +2×3－10=0，則a=16.代入導(dǎo)數(shù)函數(shù)得f′ x = 16 1+x +2x－10= 2 x－1 ?x－3 ?x+1 ，令f′ x =0，可得x=1，x=3，根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)隨x的變化可知函數(shù)f x 的增區(qū)間是 －1，1 ， 3，+∞ ，減區(qū)間是 1，3 .再根據(jù)直線y=b與函數(shù)f x 的圖象，觀察就能夠得到b的取值范圍是 32 ln 2－21，16 ln －9 .

第三類是不等式的證明.主要采用差值函數(shù)法、放縮法、隔離分析最值法、換元法四種方法.

例如 ??這樣一道題目：已知函數(shù)f x = ln x+ax 2－x，a≥0，討論函數(shù)單調(diào)性.若函數(shù)g x =f x + e ?x+ 1－a x 2－ ln x，證明x>0時(shí)，g x > 1 2 x 3+1.

做題技巧是作差：g x － 1 2 x 3－1，構(gòu)造出新函數(shù)h x =g x － 1 2 x 3－1，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性，來判斷不等式是否成立.

第四類是不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍.這類題型非常常見，解題技巧大同小異.主要是采用分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法.其中構(gòu)造函數(shù)法更為常見.

第五類是函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.這類題型比較基礎(chǔ)，其主要解題技巧是充分利用函數(shù)單調(diào)性、極值等基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行分析、運(yùn)算.

第六類是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.即導(dǎo)數(shù)在生活實(shí)際問題解決中的應(yīng)用.比如利潤(rùn)最大、效率最高等，歸根究底屬于函數(shù)最值問題，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)基本性質(zhì)即可計(jì)算.

第七類是導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.此類題型的解題技巧是靈活變形三角函數(shù)，并根據(jù)三角函數(shù)公式及其有界性、導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.或者是采用數(shù)形結(jié)合思想，將三角函數(shù)與坐標(biāo)軸聯(lián)系起來.

4 結(jié)語(yǔ)

總而言之，學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)解題方法的前提是充分了解導(dǎo)數(shù)命題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，做到心中有數(shù).在此基礎(chǔ)上，綜合利用各種解題思想、解題技巧，才能在有限的時(shí)間內(nèi)，精準(zhǔn)、快速地找到解題思路，完成推導(dǎo)，從而得出正確的結(jié)論.

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉芳英.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題方法及策略探微[J].試題與研究，2021（2）：1.

[2]鄭玉蘭.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題方法及策略探微[J].教育界，2020（2）：55-56.

[3]陳東進(jìn).探析高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題方法[J].中學(xué)教學(xué)參考，2020（26）：26-27.