劉攀坤 _ 北京師范大學(xué)附屬中學(xué)

問題研究

新高考的一個(gè)重大變化是從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變。素養(yǎng)導(dǎo)向不僅強(qiáng)調(diào)知識(shí)和智力，更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移和后天的習(xí)得?！靶露x問題”就是一類典型的檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)成水平的數(shù)學(xué)問題?！靶露x問題”的顯著特征是“新”“活”和“抽象”。“新”主要體現(xiàn)在情境和立意新穎；“活”主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維靈活，沒有固定的思維模式；“抽象”主要體現(xiàn)在用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)給出新定義，問題也更加抽象。“新定義問題”不僅對(duì)學(xué)生的學(xué)提出要求，也對(duì)教師的教提出了更高要求。借名師工作室交流的機(jī)會(huì)，在聞巖老師指導(dǎo)下，筆者搜集大量相關(guān)資料，并和名師工作室其他成員一起溝通交流，進(jìn)行了一些關(guān)于“新定義問題”在組織教學(xué)以及組織學(xué)生學(xué)習(xí)方面的思考和實(shí)踐。

1.幫助學(xué)生克服對(duì)抽象數(shù)學(xué)符號(hào)的恐懼感，提升數(shù)學(xué)閱讀能力

因?yàn)椤靶露x問題”本身以及參考解答基本全是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語言，很多學(xué)生表示看不懂。為了解決這個(gè)問題，教師可以選取若干典型的、難度適中的“新定義問題”，每個(gè)問題制作成一張卡片，卡片正面只呈現(xiàn)新定義和簡(jiǎn)單的問題，卡片背面提供第2問的比較典型的求解方法。第1問可以多給出一些具體的例子，希望學(xué)生通過具體例子的分析加深對(duì)“新定義問題”的理解。第2問可以適當(dāng)分解問題，設(shè)計(jì)兩個(gè)或多個(gè)遞進(jìn)的小問題，減少學(xué)生的思維障礙。教學(xué)中，先給學(xué)生一段時(shí)間思考這兩個(gè)問題，然后，師生、生生交流，可以讓部分學(xué)生展示自己的想法，教師點(diǎn)評(píng)，并引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度看問題。最后，讓學(xué)生閱讀卡片背面的解答過程，適當(dāng)做一些批注，思考參考解答和自己的方法的異同，思考自己心中的疑惑是否已經(jīng)解答，最后進(jìn)行歸納總結(jié)。通過給學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)資源，以“獨(dú)立思考+閱讀訓(xùn)練”的教學(xué)形式，幫助學(xué)生克服對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的恐懼，提升數(shù)學(xué)閱讀能力。

2.讓學(xué)生在問題探究中積累一些基本方法和研究思路

“新定義問題”的解決常涉及一些學(xué)生并不熟悉的方法，如枚舉法、反證法、奇偶性分析、數(shù)學(xué)歸納法，等等。很多學(xué)生經(jīng)常說：“這種方法怎么想到的？太巧妙了吧，我怎么想不到！”這主要是因?yàn)榉e累不夠，對(duì)“新定義問題”的思維方式不了解。教師要注意問題的典型性和層次性，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)思考如何以一種深入淺出的方式把問題的探究過程完整呈現(xiàn)出來，同時(shí)，教師還要適時(shí)設(shè)問，調(diào)動(dòng)學(xué)生課堂參與的積極性，在研究問題的過程中尊重學(xué)生合理的和不合理的思路。通過精心設(shè)問，適當(dāng)留白，給學(xué)生足夠的思維訓(xùn)練，讓學(xué)生在不斷的嘗試和探索中積累一些基本方法和研究思路，在歸納、總結(jié)、反思中將這些基本方法和研究思路內(nèi)化于心。

3.引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺和“猜測(cè)+檢驗(yàn)”的能力

“新定義問題”往往采用不斷進(jìn)階的設(shè)問方式來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看問題。教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生重視第1問，挖掘第1問所蘊(yùn)含的更深刻的內(nèi)容，如能否結(jié)合具體例子，重新?lián)Q一種比較簡(jiǎn)單的或比較形象的描述方式理解新定義，這往往對(duì)后面的問題解決很有幫助。第2問是第1問的延伸，很多學(xué)生對(duì)第2問無從下手，這時(shí)，可以讓學(xué)生從以下幾個(gè)角度進(jìn)行思考：枚舉一下前幾項(xiàng)；舉個(gè)具體例子；用具體例子理解第2問，并思考能否從中得到啟發(fā)；能不能用第1問得出的新定義的簡(jiǎn)化形式理解第2問；能不能嘗試得出一些猜想，再用邏輯推理論證猜想。這些思考的目的是鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和猜想能力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸“新定義問題”本身，挖掘本質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，大膽猜想，小心論證，從多個(gè)角度對(duì)問題進(jìn)行分析，不斷進(jìn)行歸納總結(jié)和反思。第3問難度比較大，教師可以適當(dāng)分解問題以降低難度，還可以引導(dǎo)學(xué)生思考能否借助前面的結(jié)論分析第3問，能否借助特殊情況先猜后證，等等。數(shù)學(xué)是用直覺和猜測(cè)來發(fā)現(xiàn)的，邏輯的功能是保證發(fā)現(xiàn)的正確性。邏輯推理很重要，但對(duì)于“新定義問題”，數(shù)學(xué)直覺和“猜測(cè)+檢驗(yàn)”往往是打開解題局面的入口。在教學(xué)實(shí)踐中，要注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺和“猜測(cè)+檢驗(yàn)”的能力。

4.豐富和完善“新定義問題”學(xué)習(xí)資源，增加師生交流的機(jī)會(huì)

對(duì)于“新定義問題”，教師應(yīng)該從高一年級(jí)開始就讓學(xué)生接觸。例如，高一可以選擇以集合和函數(shù)為背景的“新定義問題”，高二可以選擇以集合、數(shù)表和數(shù)列為背景的“新定義問題”。另外，學(xué)生只利用課上的時(shí)間學(xué)習(xí)和鉆研是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要在課下加強(qiáng)師生交流。對(duì)于一些對(duì)“新定義問題”比較感興趣的學(xué)生，教師還可以每周布置一道“新定義問題”，每周定期采用討論班的形式進(jìn)行交流，由學(xué)生主講，其余學(xué)生補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng)。課后，請(qǐng)主講學(xué)生把討論的內(nèi)容整理出來，建立學(xué)習(xí)資源庫。教師可以編寫一些關(guān)于“新定義問題”的學(xué)習(xí)材料，其中不僅包括常見方法的歸納總結(jié)，還有典型問題的詳細(xì)分析（尤其重點(diǎn)分析第1問和第2問的詳細(xì)思考過程），讓學(xué)生進(jìn)行鉆研和交流，要求學(xué)生對(duì)每一道題都要做出適當(dāng)?shù)呐ⅲ缈偨Y(jié)問題突破口是什么、采用的方法有哪些、新定義的內(nèi)涵是什么、困惑是什么，等等。最后，把討論班整理的內(nèi)容和教師編寫的學(xué)習(xí)資料整合起來，建立一個(gè)適合學(xué)生反復(fù)研讀的學(xué)習(xí)資源庫，形成單元學(xué)習(xí)資源，這對(duì)學(xué)生的學(xué)和教師的教都很有幫助。

聞巖老師點(diǎn)評(píng)

數(shù)學(xué)教學(xué)中的“單元教學(xué)”，其實(shí)質(zhì)強(qiáng)調(diào)的是整體設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)，即提倡整體教學(xué)觀，在整體視角下確定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)情境，把握課程內(nèi)容，選擇教學(xué)方法，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。“單元學(xué)習(xí)”與“單元教學(xué)”同樣重要，通過開發(fā)典型的單元學(xué)習(xí)資源，讓學(xué)生自主閱讀、理解、交流學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會(huì)，是一種需要探索的單元學(xué)習(xí)方式。

劉老師的教學(xué)思考和實(shí)踐，給我們提供了教師書寫學(xué)習(xí)資源并利用資源指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的案例。上面的學(xué)習(xí)資源不是習(xí)題集，而是典型問題的梳理，研究過程不僅僅是解題，也是對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的探索。事實(shí)上，適合學(xué)生自己閱讀學(xué)習(xí)，也需要學(xué)生反復(fù)理解、再認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容都可以形成單元學(xué)習(xí)資源。學(xué)習(xí)資源既可以供學(xué)生在單元學(xué)習(xí)時(shí)使用，也可以供教師在單元教學(xué)中使用，甚至學(xué)生也可以參與到資源整理的過程之中。上述探索，一方面可以推進(jìn)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“理解”“整體把握”“核心素養(yǎng)培養(yǎng)”的策略研究；另一方面，也可以從一定程度上改變“學(xué)生手中的學(xué)習(xí)材料只有習(xí)題集”的現(xiàn)象，在改變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式方面做出進(jìn)一步嘗試。