唐婷婷

摘要：基于學(xué)生素養(yǎng)，本文以“等差數(shù)列第一節(jié)課”為例，通過(guò)“設(shè)疑激趣、主動(dòng)探究、遷移內(nèi)化、互動(dòng)評(píng)說(shuō)”的環(huán)節(jié)，對(duì)生本課堂的提質(zhì)增效進(jìn)行了嘗試，以期為教育工作者提供借鑒與參考.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；生本課堂；學(xué)生素養(yǎng)

1教學(xué)背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在課程教學(xué)實(shí)施中指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的.”生本課堂的本質(zhì)特征是“知識(shí)為基、能力為重、素養(yǎng)為向”.下面筆者以人教A版《選擇性必修第二冊(cè)》第四章“數(shù)列”中“等差數(shù)列”第一課時(shí)的內(nèi)容為例，闡釋聚焦學(xué)生核心素養(yǎng)的生本課堂的教學(xué).

知識(shí)層面上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念，通過(guò)類比函數(shù)的表示方法，掌握了數(shù)列的表示方法：通項(xiàng)公式（遞推公式）法、列表法、圖象法.學(xué)生經(jīng)歷了歸納推理的過(guò)程，具備了歸納總結(jié)和類比遷移的能力.方法層面上，通過(guò)一系列情境化問(wèn)題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活.在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)中，滲透了歸納、迭代、累加等數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)助力.

2教學(xué)目標(biāo)

（1） 通過(guò)情境化教學(xué)，學(xué)生能在具體的問(wèn)題情境中找出等差關(guān)系，初步掌握等差數(shù)列的證明方法.

（2） 經(jīng)歷等差數(shù)列概念的揭示過(guò)程，探究等差數(shù)列通項(xiàng)公式的多種推導(dǎo)方式，學(xué)生通過(guò)觀察、分析、探索、歸納和推理等數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

（3） 學(xué)生通過(guò)小組合作，會(huì)利用等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問(wèn)題，養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣.

3教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo).

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列的“等差”特點(diǎn)及等差數(shù)列的證明.

4教學(xué)實(shí)錄

4.1設(shè)疑激趣，強(qiáng)化概念

引入：上節(jié)課我們研究了數(shù)列的概念，知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù).我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)先研究了函數(shù)的概念、性質(zhì)，接著研究了一些基本初等函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.那么，類比函數(shù)的研究方法，接下來(lái)應(yīng)該研究基本初等數(shù)列了，那先研究哪一種基本初等數(shù)列呢？請(qǐng)同學(xué)們先看以下四個(gè)問(wèn)題情境.

情境1：北京圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的9圈扇形石板從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81.

情境2：S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上衣對(duì)應(yīng)的尺碼分別是38，40，42，44，46，48.

情境3：測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位：℃）依次為25.0，24.4，23.8，23.2，22.6.

情境4：某人向銀行貸款x萬(wàn)元，貸款時(shí)間為n年，如果個(gè)人貸款月利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金b萬(wàn)元，其中b=x/12n，每月支付給銀行的利息（單位：萬(wàn)元）依次為xr，xr-br，xr-2br，xr-3br，……

問(wèn)題1：觀察上述情境中的數(shù)列，你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述它們的共同特征嗎？

問(wèn)題2：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們經(jīng)常運(yùn)用“特殊到一般”“已知推未知”的思想方法，如在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們可以通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)問(wèn)題情境中數(shù)值的變化規(guī)律.類似地，你能通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上問(wèn)題情境中數(shù)列的取值規(guī)律嗎？

問(wèn)題3：公元前1650年左右的埃及數(shù)學(xué)著作《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus）中就有等差數(shù)列的相關(guān)記載，楚國(guó)銅環(huán)權(quán)的重量也是按等差數(shù)列來(lái)劃分的.在我們?nèi)粘Ｉ钪?，人們也常常用到等差?shù)列，你能舉出一些身邊的例子嗎？

設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù)，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式，并運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義.教學(xué)時(shí)，教師可適當(dāng)加入等差數(shù)列的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)到等差數(shù)列就在身邊.

為了說(shuō)明等差數(shù)列廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中，舉了4個(gè)實(shí)際例子，其中前兩個(gè)例子是關(guān)于建筑和服裝設(shè)計(jì)的，說(shuō)明人們?cè)谠O(shè)計(jì)中會(huì)主動(dòng)使用“相等間隔”的數(shù)，后兩個(gè)例子則說(shuō)明人們通過(guò)測(cè)量、計(jì)算等從自然界或經(jīng)濟(jì)生活中可能得到“間隔相等”的數(shù).通過(guò)對(duì)具體的等差數(shù)列例子的歸納概括，我們獲得等差數(shù)列的定義.等差數(shù)列的研究既起到了承上啟下的作用，又為研究等比數(shù)列作出了示范.

教師：（由“差都相等”引出課題，交由學(xué)生討論得出定義）我們來(lái)看這個(gè)定義，符號(hào)語(yǔ)言：an-an-1=d，n≥2（n∈N*），為什么是從第二項(xiàng)起？從第一項(xiàng)起行不行？

學(xué)生1：第一項(xiàng)不存在前一項(xiàng)，所以如果從第一項(xiàng)起那就沒(méi)有辦法作差了.

教師：如果從第三項(xiàng)起作差行不行？

學(xué)生2：如果從第三項(xiàng)起作差，那么第一個(gè)差就是a3-a2，所有差中就不包含a2-a1了，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列.

教師：看來(lái)，等差數(shù)列的定義中必須滿足從第二項(xiàng)起，那為什么每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)？能不能把“同”字去掉？

學(xué)生3：那就不一定是等差數(shù)列了，反例：0，2，6，8.

教師：很好！“同一個(gè)”具有任意性，所有的差都得相等，所以才叫公差.如此看來(lái)，這個(gè)定義真是反映了這類數(shù)列的特征了.

問(wèn)題4：一個(gè)等差數(shù)列最少需要幾項(xiàng)？

學(xué)生4：至少三項(xiàng)（引出等差中項(xiàng)的概念）.

4.2主動(dòng)探究，應(yīng)用概念

4.3遷移內(nèi)化，變通概念

例1（1） 已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=9-2_n，求{a_n}的公差和首項(xiàng).

（2） 求等差數(shù)列18，15，12，……的第30項(xiàng).

（3） -401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，……的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，幫助學(xué)生理解公式所涉及的幾個(gè)基本量a₁，d，n，a_n之間的關(guān)系.使學(xué)生逐步形成利用等差數(shù)列的“基本量”建立代數(shù)關(guān)系式（方程、方程組）以解決問(wèn)題的思想方法.

例2獅子座流星雨在每年的11月14日至21日左右出現(xiàn).一般來(lái)說(shuō)，流星的數(shù)目大約為每小時(shí)10顆至15顆，但平均每33年獅子座流星雨會(huì)出現(xiàn)一次高峰期，流星數(shù)目可超過(guò)每小時(shí)數(shù)千顆.這個(gè)現(xiàn)象與坦普爾·塔特爾彗星的周期有關(guān).由于獅子座流星雨的輻射點(diǎn)位于獅子座，因而得名.據(jù)氣象臺(tái)檢測(cè)，2013年11月17日曾出現(xiàn)一次獅子座流星雨高峰期.請(qǐng)你預(yù)測(cè)2124年是否會(huì)出現(xiàn)獅子座流星雨高峰期？

設(shè)計(jì)意圖：例2旨在對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，鼓勵(lì)學(xué)生不畏困難，在錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)背景中抽象出最為本質(zhì)和核心的數(shù)量關(guān)系，建立等差數(shù)列的模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá).通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活，不斷提高其數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的能力，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成素養(yǎng).

4.4互動(dòng)評(píng)說(shuō)，深化概念問(wèn)題10：本節(jié)課你學(xué)到了哪些？

學(xué)生8：類比函數(shù)的研究過(guò)程，通過(guò)學(xué)習(xí)等差數(shù)列，可以總結(jié)出對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的一般的研究路徑.

函數(shù)的事實(shí)→函數(shù)的概念→函數(shù)的表示→函數(shù)的性質(zhì)→基本初等函數(shù)→函數(shù)的應(yīng)用.

數(shù)列的事實(shí)→數(shù)列的概念→數(shù)列的表示→數(shù)列的性質(zhì)→特殊規(guī)律數(shù)列→數(shù)列的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的一般研究路徑，將之前學(xué)習(xí)的零散的、片段的、割裂的知識(shí)，生成相互關(guān)聯(lián)的、成系統(tǒng)的、綜合性強(qiáng)的知識(shí)體系，使學(xué)生不僅對(duì)本節(jié)課知識(shí)，更是對(duì)一類研究對(duì)象的研究路徑有完整清晰的認(rèn)識(shí)，從而通過(guò)生本課堂提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

5聚焦學(xué)生素養(yǎng)的生本課堂教學(xué)啟示

5.1知識(shí)為基，導(dǎo)航生本課堂

“養(yǎng)其根侍其實(shí)，加其膏希其光”“以學(xué)定教”是生本課堂的重要特征.本節(jié)課依托等差數(shù)列概念的形成和通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，設(shè)計(jì)并實(shí)施合理的教學(xué)活動(dòng)，把教學(xué)目標(biāo)滲透到問(wèn)題串中，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生在質(zhì)疑問(wèn)難和討論交流中提高學(xué)習(xí)興趣，獲取知識(shí)，從理解知識(shí)到遷移知識(shí)，最后到創(chuàng)新知識(shí)，不斷感受成功的愉悅，提升能力.

5.2能力為重，踐行生本課堂

新課程強(qiáng)調(diào)在教與學(xué)的過(guò)程中不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，注重課堂觀察，以學(xué)生的有效參與為前提，積極倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)等學(xué)習(xí)方式.在本課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生是主體，教師通過(guò)多種方法設(shè)計(jì)探究渠道，引導(dǎo)學(xué)生思考、歸納、探究等差數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，理解知識(shí)本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

5.3素養(yǎng)為向，優(yōu)化生本課堂

盧梭曾說(shuō)：“問(wèn)題不在于告訴他一個(gè)真理，而在于教他怎么發(fā)現(xiàn)真理.”通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù).本節(jié)課通過(guò)讓學(xué)生回顧函數(shù)的研究過(guò)程，梳理出等差數(shù)列的研究?jī)?nèi)容、路徑和方法.學(xué)生在明確“要學(xué)什么”“怎么學(xué)”的基礎(chǔ)上，一步步展開探究.教師在教給學(xué)生等差數(shù)列知識(shí)的同時(shí)，還教會(huì)學(xué)生研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題的路徑，要求學(xué)生應(yīng)用遷移學(xué)習(xí)的方法認(rèn)識(shí)問(wèn)題，應(yīng)用抽象事物的思維分析問(wèn)題，應(yīng)用宏觀體系的角度解決問(wèn)題，為后續(xù)學(xué)習(xí)等比數(shù)列積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).參考文獻(xiàn)：

［1］ 溫建億.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題能力的意義分策略［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（3）：1317.

［2］ 余明芳，王銳敏.數(shù)學(xué)精神素養(yǎng)涵育：教學(xué)的進(jìn)路與方略［J］.中國(guó)教育學(xué)刊，2023（6）：7479.

［3］ 張兵源.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的聯(lián)系與思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（2）：913.