【摘 要】數(shù)學(xué)探究課是指學(xué)生在教師主導(dǎo)下圍繞某個數(shù)學(xué)問題，通過自主學(xué)習(xí)、合作探究、小組展示等方式，主動獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題的課堂模式。探究內(nèi)容可以是課本上的，也可以是根據(jù)課本知識引申的，關(guān)鍵是要體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的價值，滲透探究的一般路徑與方法，讓學(xué)生學(xué)會的不僅僅是知識，更重要的是構(gòu)建探究問題的思路，進而實現(xiàn)遷移與運用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；探究活動；函數(shù)的圖象與性質(zhì)；核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標(biāo)志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2023）29-0047-05

【作者簡介】姜尚鵬，山東省平度市第九中學(xué)（山東青島，266700）教師，一級教師，青島市優(yōu)秀教師，青島名師，青島市學(xué)科帶頭人，青島市教學(xué)能手。

數(shù)學(xué)探究是指圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題的活動，學(xué)生開展自主探究、合作研究并最終解決問題，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)探究活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。

“探究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)”安排在高一上學(xué)期，學(xué)生學(xué)完初等函數(shù)的學(xué)習(xí)之后，是一節(jié)探究課。在一方面通過對教材的挖掘，增進學(xué)生對“對號函數(shù)”和“飄帶函數(shù)”的理解。另一方面，引導(dǎo)學(xué)生通過類比與對比得到研究一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的路徑，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的提煉過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，抽象函數(shù)

我校科技館要制作一個占地32m2的圍欄保護孔子像。如下頁圖1所示，設(shè)圍欄的邊長AD為xm，因場地限制要求AD不超過3m，圍欄總長為ym。你能幫忙設(shè)計圍欄的長和寬，使圍欄用料最省嗎？

學(xué)生自主構(gòu)建函數(shù)模型，尋找求解最值的方法，教師引導(dǎo)學(xué)生進一步研究函數(shù)的單調(diào)性，并引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)y=2x+[32x]一般化，擴充研究范圍，拋出研究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)。

【設(shè)計意圖】借助實際生活情境，讓學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)函數(shù)模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。由于基本不等式解決不了問題，產(chǎn)生思維沖突，激發(fā)學(xué)生思考需要進一步研究一個新函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

2.復(fù)習(xí)舊知，回憶經(jīng)驗

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶之前研究過的類似函數(shù)，即函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)。之后教師播放探究函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的微課視頻。

微課內(nèi)容：通過描點作圖的方式引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)y=x+[1x]的圖象，之后從圖象觀察函數(shù)的性質(zhì)。但對于部分性質(zhì)，如值域和漸近線等，無法從圖象直接觀察得出，所以通過從“數(shù)”的角度，即解析式入手先研究函數(shù)y=x+[1x]的性質(zhì)，如值域和漸近線，再完善函數(shù)的圖象?；蛘撸瑥摹靶巍钡慕嵌?，即將函數(shù)分解成兩個熟悉函數(shù)y=x和y=[1x]，當(dāng)橫坐標(biāo)相同時，縱坐標(biāo)相加構(gòu)成函數(shù)y=x+[1x]的圖象的角度進行分析，這樣得到的函數(shù)圖象更加精確，值域和漸近線也更容易從圖象觀察得出。

【設(shè)計意圖】通過回憶特例——函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的研究路徑，為后續(xù)研究一般函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)的研究路徑做鋪墊，并在之前研究路徑的基礎(chǔ)上，通過探究對研究路徑進行再擴充和再梳理，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理等核心素養(yǎng)。

3.研制策略，優(yōu)化方案

問題1：類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應(yīng)該按照怎樣的思路研究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)？

生：先對a，b進行討論，可以分成y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）、y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＞0）四類函數(shù)。

師：需要對這四類函數(shù)一一進行討論嗎？

生：第三類和第四類函數(shù)的圖象可以通過將第一類和第二類函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱得到，所以只需要研究第一類和第二類函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可。

【設(shè)計意圖】教師讓學(xué)生自主分析函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)的研究思路，體現(xiàn)了先整體架構(gòu)研究框架，再逐個擊破的研究方法，能夠培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理等核心素養(yǎng)。

4.小組合作，感悟路徑

問題2：每個小組選擇一類函數(shù)，你們能給出幾種研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的路徑？

教師把所有小組分成兩隊，分別研究函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）和函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的圖象與性質(zhì)，學(xué)生先獨立思考，之后小組討論，最后小組代表展示研究成果。

小組代表1：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路徑是從圖象到性質(zhì)。不妨令a=1，研究b對函數(shù)y=x+[bx]（b＞0）圖象的影響。借助GeoGebra軟件，可以發(fā)現(xiàn)b影響了函數(shù)在x∈（0，+∞）上圖象的最低點和x∈（-∞，0）上圖象的最高點。（見圖2）同理可以得到a影響了函數(shù)圖象的開口，也就是漸近線，最后我們可以觀察函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）的圖象得到它的性質(zhì)。（見圖3）

師：你能用總結(jié)的性質(zhì)解決“圍欄”問題嗎？

小組代表1：可以。函數(shù)在y=2x+[32x]在x∈（0，3］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=3時取到最小值。

師：還有其他的研究路徑嗎？

小組代表2：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路徑是從性質(zhì)到圖象。首先研究函數(shù)的定義域，易得[x∣x≠0]。接下來研究奇偶性，由奇偶性的定義易證這是一個奇函數(shù)。再研究它的單調(diào)性，我們借助基本不等式可以得到這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-[ba]），（[ba]，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-[ba]，0），（0，[ba]）并可得函數(shù)的值域為（-∞，-2[ab]）∪（2[ab]，+∞）。接下來研究漸近線，當(dāng)x→0時ax→0，函數(shù)趨向于y=[bx]，所以一條漸近線是y軸，當(dāng)x→+∞時[bx]→0，函數(shù)趨向于y=ax，所以另一條漸近線為y=ax。最后通過性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，并借助GeoGebra軟件作圖驗證。

小組代表3：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路徑是從圖象到性質(zhì)。我們發(fā)現(xiàn)它是由我們熟悉的函數(shù)y=ax和y=[bx]相加得到的，所以我們先借助GeoGebra軟件作出y=x和y=-[1x]的圖象，在x軸上取一點，過這點作垂直于x軸的直線，與y=x和y=-[1x]的圖象分別交于一點，再通過軟件的平移功能，得到剛才兩個交點縱坐標(biāo)和對應(yīng)的點，移動垂線，得到該點的軌跡就是所求函數(shù)圖象。通過觀察容易發(fā)現(xiàn)，它的定義域[x∣x≠0]，在（-∞，0），（0，+∞）上分別單調(diào)遞增，關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)，值域為R。下面我們固定a=1，改變b的值，發(fā)現(xiàn)圖象對應(yīng)的性質(zhì)未發(fā)生改變。我們又固定b=-1，改變a的值，發(fā)現(xiàn)漸近線一直隨著變化，也就是說a影響了函數(shù)圖象的漸近線。

小組代表4：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路徑是從性質(zhì)到圖象：先研究兩個熟悉函數(shù)y=ax和y=[bx]的性質(zhì)，合成y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的性質(zhì)。比如，y=ax是奇函數(shù)，y=[bx]是奇函數(shù)，所以y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）是奇函數(shù)，其他性質(zhì)也可以同理推出，最后再畫出函數(shù)的圖象，并通過GeoGebra軟件作圖驗證。

師：這樣我們就得到了兩類函數(shù)的圖象與性質(zhì)，他們分別叫“對號函數(shù)”和“飄帶函數(shù)”。（見圖4，圖5）同時我們還得到多種研究路徑：一是把函數(shù)看成一個整體，然后既可以從“形”出發(fā)，由圖象研究性質(zhì)，也可以從“數(shù)”出發(fā)，由性質(zhì)研究圖象。二是分解函數(shù)，把函數(shù)看成兩個函數(shù)經(jīng)過運算得到的，同樣既可以從“形”出發(fā)，由兩個函數(shù)的圖象合成研究一個函數(shù)的圖象，進而通過圖象研究性質(zhì)，也可以從“數(shù)”出發(fā)，由兩個函數(shù)的性質(zhì)合成研究一個函數(shù)的性質(zhì)，進而通過性質(zhì)研究圖象。

【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生分組研究，避免了同時研究兩類相似的函數(shù)而浪費時間。此外，小組合作還培養(yǎng)了學(xué)生的交流合作能力。教師收集每個小組的研究路徑，進行匯總和結(jié)構(gòu)化梳理，引導(dǎo)學(xué)生梳理研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法，有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

5.獨立思考，內(nèi)化路徑

問題3：通過今天的學(xué)習(xí)，你認為還能研究哪些函數(shù)的圖象與性質(zhì)？給出函數(shù)并嘗試研究它的圖象與性質(zhì)。（開放題）

學(xué)生先獨立思考，之后通過小組合作，討論交流選擇函數(shù)，并借助GeoGebra軟件研究它的圖象與性質(zhì)。筆者收集學(xué)生研究的函數(shù)類型有y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0），y=a｜x｜+ax2（a＞0），y=2x2sinx等。

大部分學(xué)生選擇的是y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）這個函數(shù)。展示小組是從分解成兩個函數(shù)y=ax2和y=[bx2]的圖象，借助GeoGebra軟件合成一個函數(shù)y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）的圖象的路徑進行的研究。除了前面分析的研究路徑外，教師還通過追問讓學(xué)生學(xué)習(xí)從復(fù)合函數(shù)的角度研究該函數(shù)。

對于函數(shù)y=a∣x∣+ax2（a＞0）的圖象與性質(zhì)，展示小組是先從整體研究性質(zhì)再畫圖象的路徑進行的研究，因為學(xué)生發(fā)現(xiàn)從代數(shù)角度很容易研究這個解析式的性質(zhì)，并且由于兩個部分有同一個參數(shù)a，不適合分解研究。

對于函數(shù)y=2x2sinx的圖象與性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生不僅可以研究由基本初等函數(shù)加減得到的函數(shù)，也可以是乘除得到的函數(shù)。當(dāng)然，學(xué)生還給出了很多其他的函數(shù)類型，由于時間關(guān)系，課堂上沒有一一展示。

【設(shè)計意圖】對于本節(jié)課研究的函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)知識層面的鞏固放到課后，研究路徑的鞏固放到課上。通過開放式問題激發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生自己構(gòu)造研究的函數(shù)。借助小組代表展示，教師了解學(xué)生構(gòu)造的函數(shù)以及研究思路，并及時進行挑選和梳理，與學(xué)生一起分析如何根據(jù)函數(shù)解析式的特征挑選合適的研究路徑，并將研究的函數(shù)的類型的范圍進行推廣，可以是含有兩個參數(shù)的函數(shù)，也可以是含有同一個參數(shù)兩次的函數(shù)，還可以是沒有參數(shù)但變成兩個基本初等函數(shù)乘除的函數(shù)。這樣，學(xué)生既鞏固了新知，又在新知學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上拓寬了思維與視野，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。

二、教學(xué)思考

1.數(shù)學(xué)探究活動內(nèi)容選擇要恰當(dāng)

本節(jié)課主要內(nèi)容是探究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)以及明確研究一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的路徑。本節(jié)課是在研究函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進一步研究一個更一般化的函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)。這一探究過程意在告訴學(xué)生研究一個一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的多種路徑，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、特殊到一般等思想，對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練、核心素養(yǎng)的提升有著很大的幫助。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)完基本初等函數(shù)之后，作為單元學(xué)習(xí)的提升，安排一節(jié)課讓學(xué)生探究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)是恰當(dāng)且必要的。

2.數(shù)學(xué)探究活動應(yīng)合理使用信息技術(shù)

教材中信息技術(shù)與數(shù)學(xué)內(nèi)容的融合情況既影響教師的教也影響學(xué)生的學(xué)。［1］描點作圖法適合學(xué)生剛學(xué)習(xí)某個函數(shù)時應(yīng)用。當(dāng)學(xué)生有了一定的知識儲備后，要對函數(shù)進行深度探究時，GeoGebra軟件是非常方便的。一是GeoGebra軟件具有呈現(xiàn)作圖的功能?？梢匝杆僮鞒龊瘮?shù)的圖象，方便學(xué)生根據(jù)圖象猜測性質(zhì)，進而通過代數(shù)方法說明。二是GeoGebra軟件具有呈現(xiàn)動態(tài)軌跡的功能。學(xué)生描點作出的函數(shù)圖象畢竟是有限的且靜止的，但是通過GeoGebra軟件調(diào)動參數(shù)的變化，跟蹤函數(shù)圖象軌跡可以讓學(xué)生看到若干函數(shù)圖象的變化趨勢，從而總結(jié)性質(zhì)，加深對知識的理解。三是GeoGebra軟件操作與數(shù)學(xué)知識的融合功能。學(xué)生在研究y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)時，分解成y=ax（a＞0）和y=[bx]（b＜0）的圖象，之后借助GeoGebra軟件作圖的平移功能，通過跟蹤軌跡得到y(tǒng)=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的圖象，這樣的作圖需要學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識才能畫出函數(shù)的圖象。這樣得到的函數(shù)圖象比直接輸入函數(shù)解析式得到圖象更加形象，也更能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力。

3.數(shù)學(xué)探究活動要“收放有度”

教師通過微課讓學(xué)生回憶之前是如何學(xué)習(xí)函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)，為本節(jié)課類比學(xué)習(xí)函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象和性質(zhì)做鋪墊。有了鋪墊，整個探究過程教師完全放手，讓學(xué)生自主構(gòu)建研究思路，梳理研究路徑，最后教師再收集學(xué)生的各種研究路徑，與學(xué)生共同總結(jié)與提煉。同時，將研究路徑進行應(yīng)用時，教師也是充分放手給學(xué)生，讓學(xué)生自主選擇研究的函數(shù)，并自主選擇合適的路徑研究它的圖象與性質(zhì)，最后教師收集學(xué)生研究的各種函數(shù)類型，與學(xué)生共同總結(jié)與提煉。整個探究活動教師放手讓學(xué)生自主研究的同時又及時收回研究內(nèi)容，梳理相關(guān)內(nèi)容并進行總結(jié)與提煉，真正實現(xiàn)了“收放有度”。

【參考文獻】

［1］胡鳳娟，呂世虎.高中數(shù)學(xué)教材中信息技術(shù)與函數(shù)內(nèi)容融合的研究——以2019年6個版本高中數(shù)學(xué)新教材為例［J］.當(dāng)代教育與文化，2021，13（3）：46-54.

［2］丁書明.重啟探究與發(fā)現(xiàn) 發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)——“探究函數(shù)y=x+1/x的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（34）：31-34.