盛晗笑 余波 董寧

［摘? 要］ 在教學中傳遞數(shù)學思想方法，對學生全方面發(fā)展以及創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)都有著重要意義. 研究者通過教材分析、訪談以及文獻查閱等方法，從教和學的角度探究應用于集合教學的數(shù)學思想方法，分析教師教和學生學存在的問題，并提出有針對性的教學對策，從而幫助教師在集合教學中能夠有效滲透數(shù)學思想方法，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

［關鍵詞］ 集合知識；數(shù)學思想方法；教學對策

引言

21世紀以來，國家各行業(yè)領域對于創(chuàng)新型人才的需求持續(xù)增長，如何培養(yǎng)創(chuàng)新型人才成了教育領域一直以來討論的話題. 創(chuàng)新型人才的基礎是人的全面發(fā)展，而其所具備的意識、能力以及精神等并不是憑空產(chǎn)生的，它們與人才的其他素質有著密切的聯(lián)系. 在大數(shù)據(jù)時代下，對有意義的數(shù)據(jù)進行專業(yè)化處理是創(chuàng)新型人才應具備的能力，而這項能力的培養(yǎng)離不開數(shù)學思想方法的幫助.

在傳統(tǒng)的教育環(huán)境下，數(shù)學教學大多以知識講授為主，學生無法從中理解知識的深層含義，也無法掌握數(shù)學思想方法. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提到，高中數(shù)學要以發(fā)展學生數(shù)學學科素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，從而引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質，而高中數(shù)學教學離不開數(shù)學思想方法的指導，缺少了數(shù)學思想方法，學生的數(shù)學學科素養(yǎng)就得不到有效提升. 因此，教師要利用合理的教學方式，傳遞數(shù)學思想方法，讓學生能理解并應用，為學生適應社會發(fā)展并成為創(chuàng)新型人才打下良好的基礎.

集合是高中數(shù)學的第一個概念，它貫穿整個高中數(shù)學，是學生必須學習的基礎知識以及數(shù)學語言. 在集合教學中，要讓學生掌握數(shù)學思想方法，不僅需要教師根據(jù)實際情況調(diào)整教學方式，也需要學生不斷改善學習策略.

數(shù)學思想方法的概述及研究情況

1. 數(shù)學思想方法的概述

數(shù)學思想方法指的是人們在數(shù)學活動不斷進行的情況下，將所得的數(shù)學經(jīng)驗進行總結，再加以抽象概括形成的帶有普遍指導意義的思想方法. 高中數(shù)學主要包含以下幾種思想方法.

（1）函數(shù)與方程思想方法.

函數(shù)與方程思想方法是高中數(shù)學基本的數(shù)學思想方法，包含函數(shù)思想方法和方程思想方法兩部分. 函數(shù)思想方法指的是用運動和變化的思路去分析和研究數(shù)學中對象間的數(shù)量關系，從而建立函數(shù)關系或構造對應的函數(shù)，再運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、解析問題. 方程思想方法指的是通過分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，列出未知數(shù)，建立方程或方程組解決問題. 函數(shù)與方程是可以相互轉化的，掌握函數(shù)與方程思想方法，學生可以更好地理解數(shù)學中的一些動態(tài)問題.

（2）數(shù)形結合思想方法.

在高中數(shù)學中，數(shù)學研究對象通常分為“數(shù)”與“形”兩部分，兩者間存在一定的聯(lián)系. 因此，借助“數(shù)”來闡明“形”的特性，或者利用“形”來表達“數(shù)”的關系，就是數(shù)形結合思想方法的應用. 掌握數(shù)形結合思想方法，學生可以有效提高抽象思維能力和形象思維能力，提升數(shù)學素養(yǎng).

（3）分類與整合思想方法.

分類指的是當問題包含多種情況不能統(tǒng)一研究時，需要按照一定的劃分標準對問題進行分類研究. 而整合指的是對問題進行分類討論后，需要綜合并檢驗所得結論，從而得到解決問題的最終結果. 掌握分類與整合思想方法，有利于學生以更全面的眼光看待事物［1］.

（4）化歸與轉化思想方法.

化歸與轉化思想方法指的是在解決較難的問題時沒有思路，通過對問題的觀察、分析，運用適當?shù)脑瓌t和方法將較難的問題轉變?yōu)檩^熟悉或簡單的問題進行解決的思想方法. 掌握化歸與轉化思想方法，學生可以不斷突破、不斷發(fā)展，以已有的知識和經(jīng)驗解決未知問題.

（5）特殊與一般思想方法.

特殊與一般思想方法指的是當面對一些較抽象或難以解答的問題時，通過取特殊值或用特殊方法去解決，或者根據(jù)特殊問題推導出一般結論的思想方法. 學生一旦掌握特殊與一般思想方法，就可以利用規(guī)律解決新問題，也可以通過個例推導出一般規(guī)律，從而有效提高解題效率.

（6）有限與無限思想方法.

有限與無限思想方法指的是把問題中的無限情況轉化成有限情況來解決，或將有限情況轉化為無限情況來解決的思想方法. 學生一旦掌握有限與無限思想方法，就可以加深知識理解，擴大知識面.

（7）或然與必然思想方法.

或然與必然思想方法指的是在概率事件中，利用偶然規(guī)律尋找必然，或者利用必然事件解決偶然事件的思想方法. 掌握或然與必然思想方法，學生可以運用或然與必然的辯證關系解決實際問題.

2. 數(shù)學思想方法的研究情況

古希臘幾何學家歐幾里得在亞里士多德三段論的基礎上創(chuàng)作了《幾何原本》，系統(tǒng)描述了公理化方法. 德謨克利特在古希臘唯物主義哲學家留基伯的研究基礎上發(fā)明了“無窮小分析法”，阿基米德在古希臘詭辯論者安提豐發(fā)明的“窮竭法”的影響下發(fā)明了定積分. 這些方法和結論都蘊含著一個非常重要的數(shù)學思想方法——極限思想方法. 古希臘的數(shù)學家將數(shù)學和哲學融為一體，以哲學理論推動著數(shù)學的發(fā)展，并由此發(fā)現(xiàn)了一系列數(shù)學思想方法.

美國數(shù)學家M·克萊因編寫了《古今數(shù)學思想》，闡述了數(shù)學思想方法發(fā)展的歷史；日本數(shù)學家米山國藏的著作《數(shù)學的精神、思想和方法》則系統(tǒng)論述了貫穿數(shù)學的思想方法. 此外，國外還有許多學者對數(shù)學思想方法進行了細致研究，這些研究成果對我國的數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生了重要影響.

我國東漢初年編訂的數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》確定了我國古代數(shù)學的框架，它的出現(xiàn)標志我國古代數(shù)學形成了完整的體系，在算術、幾何和代數(shù)等方面均有涉及.

徐利治教授編寫的《數(shù)學方法論選講》《數(shù)學方法論教程》等著作，強調(diào)數(shù)學思想方法在我國中學數(shù)學中的重要性；鄭毓信教授發(fā)表的《數(shù)學方法論》《數(shù)學方法論入門》等著作則從不同維度對數(shù)學方法的教育進行了闡述. 此外，國內(nèi)還有非常多優(yōu)秀的學者對數(shù)學思想方法進行了研究，并運用到了中學數(shù)學教學中，為我國的數(shù)學教育做出了非常大的貢獻.

高中集合知識的研究情況

1. 集合知識的教材分析

以人教A版數(shù)學必修第一冊教材（2019年版）（下文簡稱教材）為例，集合知識集中于第一章，主要包含集合的概念、集合間的基本關系和集合的基本運算三部分. 集合是高中數(shù)學引入的第一個概念，是貫穿整個高中數(shù)學的語言，與后續(xù)學習的不等式、函數(shù)、幾何等高中數(shù)學知識有著密切聯(lián)系. 學好集合能夠幫助學生在生活中運用數(shù)學語言解決問題，也能夠為之后的高中數(shù)學學習打下良好的基礎.

2. 集合知識蘊含的數(shù)學思想方法

單純的集合知識不難理解，但是集合知識與其他數(shù)學知識相結合的綜合題常常令學生手足無措. 只有將數(shù)學思想方法融于所學的數(shù)學知識中，讓學生發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，才能幫助學生更好地理解知識，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，促進學生全面發(fā)展.

集合知識的教學現(xiàn)狀和學習現(xiàn)狀

1.集合知識的教學現(xiàn)狀

筆者通過對某地區(qū)部分高中數(shù)學教師的訪談，發(fā)現(xiàn)其在集合知識的教學中存在一些問題，之后對這些問題進行了整理歸納. 結合對文獻資料的整理，與上述結論進行了比對，歸納出以下幾個方面.

（1）忽視了集合內(nèi)容的重要性.

在訪談和文獻查閱中發(fā)現(xiàn)，部分教師認為集合知識比較簡單，講解得較快，且在之后的章節(jié)中也沒有格外強調(diào)集合語言的重要性［3］. 這導致學生無法充分理解集合知識，也無法發(fā)揮主觀能動性，同時把集合知識與其他數(shù)學知識割裂開來，使學生解答集合綜合題時比較茫然，不知道如何下筆.

（2）集合教學為應試服務.

部分教師在集合知識講解中特別關注與考試相關的題目，更注重考試題型和解題技巧，同時只從成績上考查學生理解集合知識的情況. 這使得學生盲目關注解題，而忽略了集合語言的真正內(nèi)涵.

（3）集合知識的講解過于單調(diào).

集合知識是高中數(shù)學的第一個概念，有著非常重要的意義. 且集合是一門數(shù)學語言，學習并理解集合對學生的數(shù)學思想方法的發(fā)展有著非常大的幫助. 但是部分教師講解集合知識時既沒有注重導入環(huán)節(jié)，又比較單調(diào)，例題的設置與現(xiàn)實生活缺乏聯(lián)系，這樣的教學方式很難讓學生提起對集合知識的興趣，自然無法激發(fā)學生的學習動力.

（4）對教材的研究不夠透徹.

新課標提到，高中數(shù)學要以發(fā)展學生的數(shù)學學科素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境. 但當前的教育環(huán)境下，一些教師對教材的研究還不夠透徹，掌握不到可以有效促進學生理解數(shù)學知識、發(fā)展學生數(shù)學學科素養(yǎng)的方法，因此也就無法有效展開集合知識的教學.

2. 集合知識的學習現(xiàn)狀

通過對某地區(qū)部分高中生的訪談和問卷調(diào)查，以及對高中生集合習題完成情況的研究，發(fā)現(xiàn)其在集合知識學習中存在一些問題，之后對這些問題進行了整理歸納.

（1）對集合知識理解困難.

學生對集合概念不清楚，理解困難，具體表現(xiàn)在：①子集和真子集的概念；②常見數(shù)集的分類及字母表示；③屬于關系和包含關系的概念；④集合的基本運算；⑤空集與含“0”元素集合的概念區(qū)別；⑥補集的概念.

（2）對集合知識應用困難.

部分學生雖然對集合概念有了一定的了解，但是無法用合適的集合知識解決問題，具體表現(xiàn)在：①知道交集、并集、補集的概念，但是混合運算存在困難；②對有關集合的綜合題無從下手；③求解子集問題時容易忽略空集的存在.

（3）對集合要素把握不深.

學生對集合要素把握不深，特別是集合的互異性. 當提到集合三要素時，學生容易回憶起“確定性、無序性和互異性”，但求解一些含代數(shù)式的集合時，部分學生通常會得到含相同元素的集合作為最終答案，這說明他們對集合三要素并沒有完全理解.

滲透數(shù)學思想方法的集合教學策略

1. 深入研究教材，更新教學理念

集合知識在教材的第一章，內(nèi)容比較基礎，但如何讓學生從中掌握集合語言，運用集合語言對數(shù)學內(nèi)容進行描述是一項艱巨的任務［4］. 教師要重視集合知識的重要性，在進行集合教學前要深入理解教材的編排意義，對集合知識有一個整體把握，這樣才能在課堂教學中有條不紊地將知識傳遞給每一位學生.

通過近幾年的高考試題研究，可以發(fā)現(xiàn)高考題目的設置不再著重考慮學生的解題技巧和機械運算，而是更關注學生對試題的理解能力. 因此，教師需要持續(xù)更新教學理念，在進行集合知識教學時要重視數(shù)學思想方法與集合知識的結合. 比如，在傳遞數(shù)形結合思想時，教師可以利用多媒體技術展示相關圖形的制作，讓學生直觀感受數(shù)形結合的作用. 又比如，在傳遞化歸與轉化思想方法時，教師可以組織學生就集合綜合題展開討論，讓每一位學生根據(jù)題目談談自己想到的知識，這樣可以有效提高學生思考問題的靈活性.

2. 創(chuàng)設學習情境，融入數(shù)學史

如果教師講授集合知識時過于單調(diào)，只是一味地講解概念，那么學生學習數(shù)學的熱情就會大大降低，數(shù)學思想方法也就無法順利地傳遞給學生. 這就決定教師在教學時要根據(jù)知識不斷創(chuàng)設學習情境，滲透數(shù)學思想方法，將集合知識與生活實際相結合，加深學生對集合知識的理解. 在后續(xù)如不等式、函數(shù)等知識的教學中，也可以創(chuàng)設用集合語言進行表述的問題，促使學生復習集合知識，對集合知識有更加深刻的了解.

數(shù)學史是數(shù)學的一部分，在教學中融入數(shù)學史可以幫助學生了解數(shù)學發(fā)展的過程. 教材的編排是符合邏輯結構和學習要求的，但它舍棄了許多數(shù)學知識和方法形成的背景和過程，若學生只學習教材上的內(nèi)容，則難以了解數(shù)學全貌. 這就需要教師在教學中融入數(shù)學史，讓學生體會數(shù)學發(fā)展的脈絡，了解數(shù)學知識產(chǎn)生的背景，增加學習動力.

3. 課后及時總結，歸納數(shù)學方法

上完一節(jié)數(shù)學課后，如果教師沒有帶領學生進行總結歸納，那么學生腦海中的知識就顯得雜亂無章. 作為引導學生理解知識的主導者，教師應在每節(jié)課結束后帶領學生進行總結歸納，引導學生將知識串聯(lián)起來，從而加深學生對知識的記憶和理解.

數(shù)學思想方法的掌握同樣離不開總結歸納，因此教師上完一節(jié)數(shù)學課后，應帶領學生對所學知識所蘊含的數(shù)學思想方法進行總結歸納. 比如講授完集合知識后，可以將數(shù)學思想方法與對應的集合題相結合，由此促進學生記憶，之后教師再對集合知識所蘊含的數(shù)學思想方法進行羅列與歸納，使學生在后續(xù)的解題過程中更加深刻地理解數(shù)學思想方法.

結論

新時代呼喚創(chuàng)新型人才，而創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)離不開數(shù)學思想方法的幫助. 教師只有不斷鉆研教材，改善教學方法，以學生為主體，從學生的思維角度出發(fā)，才能有效幫助學生理解數(shù)學思想方法并學會在各領域中應用.

參考文獻：

［1］ 杜紅全. 曬曬集合中常用的數(shù)學思想［J］. 數(shù)理化解題研究，2021（22）：2-3.

［2］ 黃偉軍，張勇平. 數(shù)學思想方法在集合問題中的應用［J］. 廣東教育（高中版），2011（09）：20-22.

［3］ 張麗萍. 高中數(shù)學集合的教學現(xiàn)狀及對策研究［D］. 曲阜師范大學，2020.

［4］ 陳麗華. 從數(shù)學知識到數(shù)學思想的實現(xiàn)途徑——以“集合”知識的教學為例［J］. 數(shù)學大世界（上旬），2016（12）：11.