黃丹

［摘? 要］ 概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和作用是不言而喻的，其是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體. 在概念教學(xué)中，教師應(yīng)從教學(xué)實際出發(fā)，基于“三個理解”創(chuàng)設(shè)問題情境，以此誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高教學(xué)有效性.

［關(guān)鍵詞］ 概念教學(xué)；核心素養(yǎng)；問題情境

在概念教學(xué)中，部分教師為了追求效率往往將概念直接講授給學(xué)生，讓學(xué)生強行記憶，然后加上大量練習(xí)讓學(xué)生理解概念，這樣的概念教學(xué)難以呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，不利于學(xué)生理解概念的本質(zhì). 因此，在概念教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念生成和發(fā)展的過程，以此深化對概念的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力. 本文以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課為例，談幾點筆者對概念教學(xué)的認(rèn)識，若有不妥請指正.

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

為了淡化概念的抽象感，教師有必要創(chuàng)設(shè)一些問題情境讓學(xué)生去觀察和感悟，以此讓數(shù)學(xué)概念教學(xué)變得更加自然、主動.

師：觀察以下圖片，你想到了什么？（教師用PPT展示噴泉、投擲鉛球等圖片）

生齊聲答：二次函數(shù)圖象.

師：很好. 它也是拋物線.

師：現(xiàn)旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)圖象，此時所得到的拋物線是否為二次函數(shù)圖象呢？

生1：不是，二次函數(shù)圖象只能是開口向上或者開口向下的，若拋物線旋轉(zhuǎn)后開口不再向上或向下，則不是二次函數(shù)圖象.

師：說得很有道理，那么到底什么是拋物線呢？

設(shè)計意圖 借助“旋轉(zhuǎn)”引導(dǎo)學(xué)生對比“二次函數(shù)圖象”和“拋物線”，誘發(fā)學(xué)生思考何為拋物線，以此激發(fā)學(xué)生探索拋物線概念的熱情.

師：小白兔非常向往自由自在的生活，于是它離開家，來到了一片危機四伏的草地，小白兔安家在圖1右側(cè)的洞穴里. 發(fā)生危險時，小白兔共有兩個逃生方案，一個是回到右側(cè)的洞穴里，一個是躲避到左側(cè)的樹林里. 一天，小白兔在圖1所示的位置獨自享用肥美的青草，當(dāng)危險發(fā)生時，小白兔應(yīng)如何選擇逃跑路線呢？請你在草地上作一條邊界，使得小白兔可以根據(jù)“就近避險”的原則選擇最佳逃跑路線.

（教師預(yù)留時間讓學(xué)生畫一畫，很快有了結(jié)果）

師：說一說，邊界上的點滿足什么條件？

生2：到樹林和洞穴的距離相等.

師：很好，你能將其轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題嗎？

生3：將樹林邊界視為定直線，洞穴視為定點，這樣可以將原問題轉(zhuǎn)化為到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡問題.

師：很好！值得注意的是，這個定點在直線外.

設(shè)計意圖 該圖片源于動畫，具有較強的趣味性，拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離. 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、發(fā)現(xiàn)問題，使得拋物線概念的生成更加自然. 以上通過動手畫、用眼看、用心悟等過程有效提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)分析等能力和素養(yǎng).

在以上環(huán)節(jié)中，教師首先借助生活情境讓學(xué)生直觀感知拋物線，了解拋物線的幾何背景；接下來引導(dǎo)學(xué)生對比拋物線與二次函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注拋物線的本質(zhì)；最后通過小白兔“就近避險”引入概念. 以上環(huán)節(jié)看似毫無關(guān)聯(lián)，實則環(huán)環(huán)相扣，使得拋物線概念的生成更加自然，為后面的探究活動提供了情感支持和知識保障. 可見，以上教學(xué)情境的設(shè)計是合理的、科學(xué)的，有助于提高課堂教學(xué)效率.

2. 操作探究，建構(gòu)概念

師：現(xiàn)在我們將定直線記作l，定點記作F，請大家動手畫一畫，找出一些滿足條件的點，這些點的軌跡會是什么形狀呢？

問題給出后，學(xué)生積極操作，幾分鐘后教師組織學(xué)生互動交流.

師：說一說你是怎么畫的.

生4：這個太難找了，我只能精確地找到一個點，就是點F到l的垂線段的中點，其他點就是憑著感覺畫的.

師：確實有點難度，現(xiàn)在我們一起來做一個實驗. 請大家拿出課前準(zhǔn)備的實驗工具：直尺、直角三角板、細(xì)線、鉛筆、書釘.

師：現(xiàn)在我說你們做，請四人一組共同完成. 如圖2所示，把直尺固定在畫板上，將其視為定直線l，沿直尺的邊緣放置一塊直角三角板，直角三角板的一個頂點記作點A，在直角三角板外取一點F.

師：以上步驟大家完成了嗎？（學(xué)生點頭表示完成）

師：很好，現(xiàn)在我們的細(xì)線要登場了. 將細(xì)線的一端固定在頂點A處，另一端固定在F處（注意：細(xì)線的長與MA所在的直角邊的長相等）. 用鉛筆筆尖（點M）拉緊細(xì)線，使點M靠住直角三角板的直角邊. 根據(jù)這一步操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生5：點M到點F的距離與點M到直線l的距離相等，點M在軌跡上.

師：現(xiàn)在將直角三角板垂直向下移動，用筆尖描出一段軌跡.

（學(xué)生積極操作，很快畫出了一段軌跡）

師：你在操作中遇到了什么問題？

生6：當(dāng)直角三角板的直角邊剛好過點F時，不太好操作了.

師：那你是怎么處理的呢？

生6：將直角三角板往下翻，繼續(xù)畫軌跡.

師：處理得非常好，真聰明！根據(jù)以上操作步驟，這兩段軌跡有什么關(guān)系嗎？

生7：對稱，其對稱軸為過點F且與直線l垂直的直線.

設(shè)計意圖 通過具體操作讓學(xué)生體驗畫拋物線的過程，發(fā)現(xiàn)軌跡的軸對稱特征，體驗數(shù)學(xué)研究樂趣，收獲成功的喜悅.

師：你們想不想看一下剛才的實驗過程？（教師用GeoGebra動畫展示作圖過程，見圖3）

設(shè)計意圖 讓學(xué)生更加直觀地、精準(zhǔn)地觀察點M的運動軌跡，為接下來的概念抽象做好充分準(zhǔn)備.

師：如果將這條曲線順時針旋轉(zhuǎn)90°，它像什么呢？

生齊聲答：開口向下的拋物線.

師：結(jié)合剛才的作圖過程，你能給拋物線下個定義嗎？

學(xué)生經(jīng)過思考、交流，給出了拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不過F）的距離相等的點的集合. 接下來教師用集合符號進(jìn)一步加以描述，并讓學(xué)生認(rèn)識到拋物線的焦點和準(zhǔn)線.

設(shè)計意圖 通過合作實驗和動畫演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了拋物線的幾個幾何特征，為概念抽象做好了充分準(zhǔn)備. 在具體教學(xué)中，教師將主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體操作和已有經(jīng)驗抽象概括拋物線的定義. 學(xué)生用文字語言給拋物線下定義后，教師又用集合符號予以表征，以此深化學(xué)生對拋物線概念的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng).

師：若直線l經(jīng)過點F，那么平面內(nèi)到定點F和到定直線l的距離相等的點的軌跡會是什么呢？還是拋物線嗎？

生8：不是，該點的軌跡應(yīng)該是過點F且與直線l垂直的直線.

師：很好，經(jīng)過以上分析，你知道了什么？

生8：應(yīng)用拋物線概念時，不能忽視“l(fā)不經(jīng)過點F”這一關(guān)鍵條件.

設(shè)計意圖 借助反例讓學(xué)生明晰、理解、完善拋物線的概念，實現(xiàn)拋物線概念的內(nèi)化.

師：觀察圖4，你有什么發(fā)現(xiàn)？請用數(shù)學(xué)語言加以描述.

生9：圖4表示過定點F且與定直線l相切的動圓的圓心軌跡，該軌跡為拋物線.

設(shè)計意圖 由動點（各圓圓心）到定直線和到定點的距離相等，易于聯(lián)想到拋物線的定義，這樣借助具體應(yīng)用進(jìn)一步深化學(xué)生對集合｛MMF=d｝表示的曲線特征的理解.

3. 選軸建系，求得方程

師：理解并掌握了拋物線的概念，接下來我們該研究什么內(nèi)容呢？

生齊聲答：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：很好，結(jié)合橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的探究經(jīng)驗，說一說求曲線方程的一般步驟是什么.

生10：一般分為五步，分別為建系、設(shè)點、列式、化簡、證明.

師：對于拋物線，如何建系可以使方程更簡潔呢？由于焦點F到準(zhǔn)線l的距離為定值，設(shè)定值為p（p>0），則KF=p（K為垂足）.

（學(xué)生沉思）

生11：根據(jù)以前學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗，我認(rèn)為以曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸建系應(yīng)該更簡潔. 結(jié)合前面的概念實驗過程可知，拋物線關(guān)于KF對稱，可以將其作為x軸.

師：不錯的想法. 那么y軸如何確定呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生討論、交流）

幾分鐘后，學(xué)生給出了如下三種方案.

方案1：以直線l為y軸（見圖5）.

方案2：以線段KF的垂直平分線為y軸（見圖6）.

方案3：以過點F且垂直于直線KF的直線為y軸（見圖7）.

師：很好，你們能求出它們所對應(yīng)的曲線方程嗎？

為了提高教學(xué)效率，教師將學(xué)生分成三組進(jìn)行探究，每組探究一個方案，然后交流展示. 對于以上三種方案，所求出的拋物線方程分別為y2=2px－p2（p>0），y2=2px（p>0），y2=2px+p2（p>0）.

師：思考一下，以上三個結(jié)果是否都正確呢？

（學(xué)生交流意見后確定以上結(jié)果都是正確的，只是因為建系的方法不同，最終推導(dǎo)出來的拋物線方程也不同）

師：對于以上三種方案，你認(rèn)為哪種方案最簡潔、最方便呢？

生齊聲答：方案2.

師：很好，y2=2px（p>0）這個拋物線方程最簡潔，我們將其稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生利用之前學(xué)習(xí)橢圓和雙曲線的經(jīng)驗，回顧研究曲線方程的一般步驟和一般方法，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力. 在探究過程中，教師沒有急于講授，而是預(yù)留充足的時間讓學(xué)生通過獨立思考和合作交流建立坐標(biāo)系. 建系后，教師沒有直接評價優(yōu)劣，而是引導(dǎo)學(xué)生分組探究不同建系方案所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以此通過結(jié)果進(jìn)行對比，確定最優(yōu)方案. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，大多數(shù)教師都以教材為出發(fā)點，根據(jù)教材給出的方案建系，這樣學(xué)生雖然能夠理解和掌握，但是學(xué)生知其然而不知所以然. 因此，在實際教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生進(jìn)行多角度分析和探究，讓學(xué)生理解將y2=2px（p>0）作為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的根本原因.

4. 思考交流，深化理解

師：拋物線的開口方向除了向右以外，是否還有其他形式呢？此時的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程又是什么呢？請以小組為單位進(jìn)行探討，并完成表1.

設(shè)計意圖 通過思考、交流、整理（對比分析）讓學(xué)生理解和掌握拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的另外三種形式，這不僅有助于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)化知識，培養(yǎng)和提升學(xué)生的類比推理能力和知識遷移能力，還有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的落實.

師：在學(xué)習(xí)橢圓及雙曲線時我們知道，若參數(shù)不同其形狀也會有所不同. 你認(rèn)為影響拋物線開口大小的參數(shù)會是什么呢？

生12：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p>0）中僅有唯一的參數(shù)p，所以影響拋物線形狀的應(yīng)該是參數(shù)p.

師：它是如何影響拋物線形狀的呢？

設(shè)計意圖 問題給出后，學(xué)生通過代值法感受參數(shù)p對拋物線形狀的影響. 為了便于學(xué)生直觀感受這種變化關(guān)系，教師用GeoGebra動畫演示：當(dāng)參數(shù)p的值變?。ù螅?，拋物線的開口也變小（大），當(dāng)參數(shù)p等于0時，其軌跡為一條直線.

經(jīng)歷以上過程，學(xué)生理解并掌握了拋物線的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程，接下來通過例題解析，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固概念.

教學(xué)思考

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，因此教師應(yīng)重視概念教學(xué)，關(guān)注概念生成的過程，以此讓學(xué)生更好地理解知識、應(yīng)用知識，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 結(jié)合以上教學(xué)過程，筆者談幾點心得體會：

（1）重視創(chuàng)設(shè)合適的問題情境.在教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供一個自由的、平等的探究環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)和解決問題，以此加快數(shù)學(xué)化進(jìn)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 例如，在概念引入階段，教師設(shè)計了多個教學(xué)情境，既拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，又培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

（2）關(guān)注概念的生成過程.在概念教學(xué)中，若僅引導(dǎo)學(xué)生從文字語言上理解概念，這樣的概念教學(xué)是淺顯的，難以突出概念的本質(zhì)屬性，這將影響學(xué)生提升知識遷移能力，限制學(xué)生發(fā)展思維能力. 因此，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念生成的過程，以此讓學(xué)生掌握概念本質(zhì)，使學(xué)生學(xué)懂會用.

（3）善于應(yīng)用信息技術(shù).隨著時代的進(jìn)步，信息技術(shù)為教學(xué)帶來了巨大便利，教師應(yīng)充分發(fā)揮多媒體直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢，以此讓學(xué)生更好地理解知識，加深對概念本質(zhì)的理解.

總之，教師要重視概念教學(xué)，多引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念生成和發(fā)展的過程，通過教學(xué)資源的優(yōu)化和整合，提高概念教學(xué)的有效性，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).