孫衛(wèi)　林松　江競宇

摘要：粉柱成型凸輪機(jī)構(gòu)在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，會引起從動件較大的彈性變形，機(jī)構(gòu)會出現(xiàn)嚴(yán)重振動，從動件輸出端運(yùn)動將偏離預(yù)期運(yùn)動，產(chǎn)生無法忽視的動態(tài)誤差。此時(shí)采用傳統(tǒng)方法所設(shè)計(jì)的凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)律無法完全滿足工作需求，為此本文提出一種基于動力學(xué)性能的高速凸輪運(yùn)動規(guī)律設(shè)計(jì)方法。首先建立凸輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，對其進(jìn)行動力學(xué)分析。然后根據(jù)所得凸輪系統(tǒng)動力學(xué)特性建立動力學(xué)性能評價(jià)指標(biāo)，再將樣條曲線作為過渡曲線，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并通過遺傳算法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的求解。在以動力學(xué)指標(biāo)為主的同時(shí)，本文還綜合考慮了其它運(yùn)動學(xué)指標(biāo)，保證了高速凸輪機(jī)構(gòu)從動件輸出端的運(yùn)動和動力穩(wěn)定性，為高速凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)律的設(shè)計(jì)提供了一個(gè)實(shí)用的基于動力學(xué)性能的設(shè)計(jì)方法。

關(guān)鍵詞：高速凸輪；運(yùn)動規(guī)律；動力學(xué)特性；遺傳算法

中圖分類號：TH132.47 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.04.003

文章編號：1006-0316 （2023） 04-0017-08

Motion Law Design of High-speed Cam for Powder Column Forming

based on Dynamic Performance

SUN Wei，LIN Song，JIANG Jingyu

（ School of Mechanical Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China ）

Abstract：When the powder column forming cam mechanism runs at high speed， it will cause large elastic deformation of the follower. The mechanism will vibrate severely and the movement of the output end of the follower will deviate from the expected movement， resulting in a dynamic error. At this time， the motion law of the cam mechanism designed by the traditional method cannot fully meet the work requirements. This paper proposes a high-speed cam motion law design method based on dynamic performance. Firstly， the dynamic model of the cam transmission system is established and dynamic analysis is carried out. Then， according to the obtained dynamic characteristics of the cam system， the dynamic performance evaluation index is established， and then the spline curve is used as the transition curve to establish the optimization objective function. The solution of the objective function is realized by the genetic algorithm. While focusing on the dynamic index， we also considers other kinematic index comprehensively， which ensures the motion and dynamic stability of the output end of the high-speed cam mechanism follower， and provides a practical basis for the design of the high-speed cam mechanism motion law based on dynamic performance.

Key words：high-speed cam；motion law；dynamic characteristics；genetic algorithm

凸輪機(jī)構(gòu)是由凸輪、從動件、機(jī)架3個(gè)基本構(gòu)件組成的高副機(jī)構(gòu)，具有精度高、運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)、體積小等優(yōu)點(diǎn)[1]。只要能設(shè)計(jì)及加工出適當(dāng)?shù)耐馆嗇喞?，就可以?shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的運(yùn)動規(guī)律，在自動機(jī)械中被廣泛應(yīng)用，如包裝機(jī)、開盒機(jī)、取紙機(jī)等[2-4]。然而在凸輪高速運(yùn)轉(zhuǎn)的情況下，凸輪從動件的彈性變形和振動將導(dǎo)致從動件輸出端的位置較預(yù)定軌跡發(fā)生偏移，從而影響從動件輸出運(yùn)動的準(zhǔn)確性[5]。因此對于高速凸輪，振動問題不能忽視。

在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法中，當(dāng)運(yùn)動規(guī)劃確定后，就可以根據(jù)運(yùn)動區(qū)間的邊界條件直接選取基本運(yùn)動規(guī)律作為過渡曲線，常用的基本運(yùn)動規(guī)律包括多項(xiàng)式、三角函數(shù)以及二者的組合[6]。在一般條件下，這些運(yùn)動規(guī)律可以在運(yùn)動學(xué)方面滿足工作要求，但在高速運(yùn)動的情況下機(jī)構(gòu)會產(chǎn)生振動、加劇磨損等問題，影響機(jī)構(gòu)運(yùn)行的穩(wěn)定性和可靠性。

為了避免粉柱成型高速凸輪機(jī)構(gòu)出現(xiàn)的這些問題，本文將從動件在一個(gè)周期內(nèi)輸出運(yùn)動的最大振幅作為主要優(yōu)化目標(biāo)，使用樣條曲線作為過渡曲線，運(yùn)用遺傳算法，在迭代過程中調(diào)整樣條曲線控制點(diǎn)坐標(biāo)，優(yōu)化運(yùn)動曲線，從而提高傳動精度，降低機(jī)器震動。與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法相比，本文提出的設(shè)計(jì)方法減小了輸出端的動態(tài)偏差，提高了高速條件下從動件輸出運(yùn)動的穩(wěn)定性。

1 基于粉柱成型凸輪工況的計(jì)算模型的選定

對于給定的凸輪機(jī)構(gòu)，在低速時(shí)它表現(xiàn)得像一個(gè)剛體系統(tǒng)，在中速時(shí)可視作一個(gè)彈性系統(tǒng)，而在高速時(shí)則是一個(gè)振動系統(tǒng)[7]。凸輪機(jī)構(gòu)的這些力學(xué)表征通常用周期比來描述，周期比η是凸輪旋轉(zhuǎn)頻率f0＝Ω/（2π）與系統(tǒng)的固有頻率f1=ω1/（2π）之比，即η＝Ω/ω1＝f0/f1。其中，Ω為旋轉(zhuǎn)頻率f0對應(yīng)的凸輪角速度；ω1為系統(tǒng)的固有頻率對應(yīng)的角速度。根據(jù)凸輪機(jī)構(gòu)的這些動力學(xué)表征，需要采用相應(yīng)的“計(jì)算模型”來對凸輪傳動系統(tǒng)的運(yùn)動情況進(jìn)行分析和計(jì)算。可以通過周期比來判斷使用哪種“計(jì)算模型”。

當(dāng)0＜η＜1/15時(shí)，運(yùn)動激勵遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率，此時(shí)系統(tǒng)中的構(gòu)件不存在明顯的變形，工作端的動態(tài)偏差也很微小，因此可采用剛性計(jì)算模型。

當(dāng)1/15＜η＜1/6時(shí)，盡管系統(tǒng)中的構(gòu)件會發(fā)生一定變形，但不會產(chǎn)生劇烈共振，可采用彈性計(jì)算模型。

當(dāng)η＞1/6時(shí)，運(yùn)動激勵靠近系統(tǒng)的固有頻率，機(jī)構(gòu)的共振效應(yīng)明顯，工作段的動態(tài)偏差會急劇增大，需要采用振蕩機(jī)制計(jì)算模型。

本文研究的是高速工況下粉柱成型凸輪運(yùn)動規(guī)律的設(shè)計(jì)方法，即η＞1/6時(shí)的情況，因此必須考慮機(jī)構(gòu)的共振效應(yīng)，需要選擇振蕩機(jī)制計(jì)算模型來進(jìn)行分析和計(jì)算。

2 粉柱成型凸輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立

本文把粉柱成型高速凸輪傳動系統(tǒng)簡化為如圖1所示的動力學(xué)模型，它是一個(gè)滾子直動從動件盤形凸輪機(jī)構(gòu)。其中，從動件的實(shí)際輸出運(yùn)動y，可以表示為名義運(yùn)動規(guī)律U和附加運(yùn)動q的疊加，其傳動函數(shù)為：

對凸輪輸出端進(jìn)行運(yùn)動分析，可以得到動力學(xué)方程為：

式中：m為系統(tǒng)的等效質(zhì)量，kg；b為系統(tǒng)的阻尼常數(shù)，N?s/m；c為系統(tǒng)的等效剛度，N/m；F（t）為輸出端上的外力，N。

代入式（1）可得：

4.3 基于遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)的求解

遺傳算法是模擬了生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的計(jì)算模型，其本質(zhì)是一種高效、并行、全局搜索方法[12]。遺傳算法包括三個(gè)基本運(yùn)算：選擇運(yùn)算、交叉運(yùn)算、變異運(yùn)算，通過迭代計(jì)算，不斷向最優(yōu)解收斂。本文使用PyGAD庫中的遺傳算法模塊進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，該模塊中遺傳算法的函數(shù)調(diào)用過程以及計(jì)算流程如圖2所示。

遺傳算法的關(guān)鍵參數(shù)設(shè)置如表2所示。

遺傳算法迭代計(jì)算的過程中，目標(biāo)函數(shù)值的變化如圖3所示。圖3中橫坐標(biāo)表示遺傳算法的迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)表示目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，迭代次數(shù)達(dá)到93代時(shí)得到目標(biāo)函數(shù)f的最小值，對應(yīng)兩段樣條曲線的控制點(diǎn)的推程段和回程段坐標(biāo)分別為：

[（0，0），（0.00026，0），（0.00118，0），（0.00311，0）， （0.00696，0.5），（0.00869，0.5），（0.00977，0.5），（0.01，0.5）]

[（0.025，0.5），（0.02781，0.5），（0.03199，0.5），（0.03267，0.5），（0.03693，0），（0.03871，0），（0.04004，0），（0.45，0）]

其中，每個(gè)控制點(diǎn)的橫坐標(biāo)為單個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間點(diǎn)t，縱坐標(biāo)為位移x，則控制點(diǎn)生成的樣條曲線對應(yīng)凸輪運(yùn)動規(guī)律。優(yōu)化后的曲線與控制點(diǎn)如圖4所示。

基于動力學(xué)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的運(yùn)動規(guī)律，其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值f＝0.3224，各指標(biāo)值分別為qmax＝0.1221，Vmax＝87.2432，Amax＝3.0794×104，Jmax＝4.5137×107，Tmax＝1.7715×106。

對于相同的運(yùn)動規(guī)劃，按傳統(tǒng)方法，使用五次多項(xiàng)式作為過渡曲線設(shè)計(jì)得到的運(yùn)動規(guī)律，其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值f＝0.3224，各指標(biāo)值分別為qmax＝0.4862，Vmax＝93.7309，Amax＝2.8867×104，Jmax＝3.0000×107，Tmax＝1.6733×106。

4.4 結(jié)果分析與對比

基于動力學(xué)性能優(yōu)化的運(yùn)動規(guī)律和五次多項(xiàng)式運(yùn)動規(guī)律的位移曲線及各項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)的對應(yīng)曲線對比如圖5所示。

從連續(xù)性角度看，位移無突變，且盡可能使速度、加速度無突變，是評價(jià)運(yùn)動規(guī)律性能優(yōu)劣的前提。樣條函數(shù)優(yōu)化后得到的運(yùn)動規(guī)律與五次多項(xiàng)式插值運(yùn)動規(guī)律都滿足這一前提。但是在高速運(yùn)動條件下，也是造成振動的原因之一。

從兩者圖像上看，由于回程段的運(yùn)動區(qū)間

大于推程段，因此五次多項(xiàng)式回程段的曲線較推成段明顯平緩。而本文采用的設(shè)計(jì)方法，是從整個(gè)周期范圍對運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行優(yōu)化，盡管回程段曲線不如五次多項(xiàng)式平緩，但是從整個(gè)周期范圍看，振動大大減小，這也是傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的不足之處。

傳統(tǒng)方法僅單獨(dú)考慮某一段過渡曲線的性能，會造成整個(gè)周期內(nèi)的較大振動，而使得總體的動力學(xué)性能不佳。

兩種設(shè)計(jì)方法得到的運(yùn)動規(guī)律，各評價(jià)指標(biāo)對比如表3所示。

對比兩者各評價(jià)指標(biāo)，優(yōu)化后運(yùn)動規(guī)律在全周期范圍內(nèi)的最大振幅遠(yuǎn)小于五次多項(xiàng)式，表明優(yōu)化后的從動件的輸出運(yùn)動更穩(wěn)定；兩者的最大加速度、最大速度、最大動載荷相近；盡管優(yōu)化后的運(yùn)動規(guī)律最大躍度大于五次多項(xiàng)式，但是其在全周期內(nèi)連續(xù)，而五次多項(xiàng)式的躍度存在突變。對比兩者的性能評價(jià)函數(shù)，優(yōu)化后的運(yùn)動規(guī)律目標(biāo)函數(shù)f的值遠(yuǎn)小于五次多項(xiàng)式，表明優(yōu)化后的運(yùn)動規(guī)律的綜合性能更好。

5 結(jié)論

本文實(shí)現(xiàn)了一種基于動力學(xué)性能的粉柱成型高速凸輪運(yùn)動規(guī)律設(shè)計(jì)方法。相比傳統(tǒng)凸輪運(yùn)動規(guī)律設(shè)計(jì)方法，其優(yōu)勢在于：

（1）通過凸輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)分析，得到一個(gè)運(yùn)動周期內(nèi)從動件輸出運(yùn)動振幅的最大值qmax。相比于一般情況下對速度加速度等指標(biāo)的優(yōu)化，直接對qmax進(jìn)行優(yōu)化的方式更為有效。

（2）傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法只考慮某一段過渡曲線的設(shè)計(jì)方式，本文考慮整個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動規(guī)律，保證整體的動力學(xué)性能更優(yōu)。在整個(gè)周期的范圍內(nèi)盡可能地減小輸出運(yùn)動的振動，因此能夠得到更好的動力學(xué)優(yōu)化效果。

（3）使用B樣條曲線作為過渡曲線，相比直接選用多項(xiàng)式、三角函數(shù)或二者的組合的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，在相對低階的情況下獲得了更好的曲線連續(xù)性和優(yōu)化空間。

（4）使用遺傳算法對運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行優(yōu)化，盡管由于迭代計(jì)算，設(shè)計(jì)耗時(shí)長于傳統(tǒng)方法，但獲得的運(yùn)動規(guī)律動力學(xué)性能遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

綜上所述，本文為實(shí)際工程問題中高速凸輪運(yùn)動規(guī)律的設(shè)計(jì)方法提供了如下支撐：如何建立凸輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型并對其進(jìn)行動力學(xué)分析；如何根據(jù)凸輪系統(tǒng)動力學(xué)特性建立動力學(xué)性能評價(jià)體系并提取動力學(xué)評價(jià)指標(biāo)；如何基于樣條曲線建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并通過遺傳算法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的求解。采用本文的設(shè)計(jì)方法所得到的凸輪運(yùn)動規(guī)律，相比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，在兼顧運(yùn)動學(xué)性能的同時(shí)擁有更優(yōu)的動力學(xué)性能，在高速工況下具備更好的穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)：

[1]何雪明，何楷，武美萍，等. 基于沖擊模型的含間隙高速凸輪機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析[J]. 食品與機(jī)械，2017，33（9）：84-89，93.

[2]章進(jìn). 包裝機(jī)高速凸輪連桿系統(tǒng)的動力學(xué)分析[D]. 武漢：湖北工業(yè)大學(xué)，2020.

[3]安磊，張鎖懷，黃旺興. 高速開盒機(jī)凸輪機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性分析及改進(jìn)[J]. 機(jī)械傳動，2019，43（3）：139-144.

[4]曹巨江，楊奔奔，劉言松，等. 高速取紙機(jī)構(gòu)主凸輪廓線設(shè)計(jì)及其優(yōu)化[J]. 包裝與食品機(jī)械，2019，37（4）：23-27.

[5]萬曉文，王文格，席亮. 高速共軛凸輪機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)，2014，31（2）：27-31.

[6]Verein Deutscher Ingenieure. Bewegungsgesetze für Kurvengetriebe：VDI2143[S]. VDI-Verlag GmbH，1980.

[7]Verein Deutscher Ingenieure. Getriebedynamik Schwingungsf?hige Mechanismen：VDI2149[S]. VDI-Verlag GmbH，2011.

[8]周長江，蔣興和，王海航，等. 可擴(kuò)展近休止角的高速傅里葉級數(shù)凸輪設(shè)計(jì)方法[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，49（12）：11-19.

[9]Michael Beitelschmidt，Hans Dresig. Maschinendynamik Aufgaben und Beispiele[M]. Springer Vieweg，2017：187-193.

[10]于家輝，王惠源，張成卿，等. 基于遺傳算法的轉(zhuǎn)管武器凸輪曲線優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2022，43（10）：152-157.

[11]石永剛，吳央芳. 凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與應(yīng)用創(chuàng)新[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007：53.

[12]李閣強(qiáng)，袁暢，王帥，等. 基于協(xié)同進(jìn)化多目標(biāo)遺傳算法的復(fù)式液壓擺動缸結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[J]. 船舶力學(xué)，2022，26（11）：1694-1704.

收稿日期：2022-12-09

作者簡介：孫衛(wèi)（1997－），男，安徽無為人，碩士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械制造及其自動化，E-mail：2032714@#edu.cn。*通訊作者：林松（1957－），男，四川廣元人，工學(xué)博士（德），主要研究方向?yàn)楫a(chǎn)品研發(fā)方法及其智能設(shè)計(jì)、虛擬產(chǎn)品生產(chǎn)及其數(shù)字孿生、智能裝置及其人機(jī)協(xié)調(diào)、技術(shù)系統(tǒng)可靠性及其安全設(shè)計(jì)，E-mail：slin@#edu.cn。