摘?要：“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門應(yīng)用性較強(qiáng)的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，在教學(xué)過程中選用經(jīng)典案例和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行直觀教學(xué)，借助在線課程平臺(tái)進(jìn)行資源整合，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；案例教學(xué)法；教學(xué)改革；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

2018年6月21日，教育部召開新時(shí)代全國(guó)高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議，會(huì)議強(qiáng)調(diào)要?jiǎng)?chuàng)新本科教學(xué)方法和激勵(lì)機(jī)制［1］，這表明在科技教育及高等學(xué)校從精英教育向大眾化的轉(zhuǎn)變過程中，對(duì)教育教學(xué)模式的改革要求越來越高。而應(yīng)用型本科高等教育在積極探索“教學(xué)做合一”的新培養(yǎng)模式方面，對(duì)培育應(yīng)用型人才起到了關(guān)鍵作用。

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是專業(yè)性和實(shí)踐性較強(qiáng)的一門課程，是人們用來探究隨機(jī)事件變化規(guī)律的一門重要的通識(shí)基礎(chǔ)課，該科目在保險(xiǎn)精算、工業(yè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)、大數(shù)據(jù)科學(xué)與技術(shù)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，因此在教學(xué)過程中必須高度重視培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決生活中實(shí)際問題的能力。但是筆者在應(yīng)用型民辦本科教育教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段該學(xué)科在教學(xué)中缺乏對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力及應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，導(dǎo)致很少有學(xué)生能夠?qū)W以致用。產(chǎn)生這個(gè)問題有許多因素，其一是課時(shí)限制問題，本門課課時(shí)設(shè)置為48學(xué)時(shí)，教師在課堂上更多講授基本概念與定理等理論部分，使得數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)分析實(shí)例講解較少，而許多理論與實(shí)際應(yīng)用關(guān)系比較密切的教學(xué)內(nèi)容，例如回歸分析和方差分析等未設(shè)置到課程教學(xué)計(jì)劃方案中。其二則是課堂教學(xué)方式較落伍，教師沒有及時(shí)改變教學(xué)理念，在教學(xué)方法上，多數(shù)教師使用多媒體配合板書加以授課，而教師以講授為主，學(xué)生課堂學(xué)習(xí)較被動(dòng)，課程中案例較少且沒有實(shí)踐性強(qiáng)的內(nèi)容和必要的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣不但培養(yǎng)不了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，更會(huì)造成學(xué)生無法直接體會(huì)到知識(shí)的應(yīng)用過程，進(jìn)而讓學(xué)生覺得本門課程學(xué)習(xí)起來比較枯燥乏味，致使在課堂上經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)個(gè)別學(xué)生聽課不認(rèn)真等現(xiàn)象，影響了教學(xué)質(zhì)量。其三是期末考試平時(shí)成績(jī)考核也只是考查出勤與作業(yè)完成情況，這樣不但會(huì)導(dǎo)致學(xué)生不能提高解決實(shí)際問題的能力，還會(huì)出現(xiàn)考前臨時(shí)抱佛腳的情況出現(xiàn)，不利于應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

一、應(yīng)用導(dǎo)向的教學(xué)改革實(shí)施方法

根據(jù)當(dāng)前“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)中出現(xiàn)的問題，筆者根據(jù)有關(guān)課程教學(xué)實(shí)際，可以進(jìn)行以下幾個(gè)方面的改革探索。

結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例進(jìn)行該課程的教學(xué)。案例教學(xué)能增強(qiáng)課堂的開放性和互動(dòng)性，使學(xué)生學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的目的，同時(shí)能夠培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，因此教師可以選擇貼近實(shí)際生活且針對(duì)性強(qiáng)的案例和習(xí)題進(jìn)行講解。

（一）列舉知識(shí)點(diǎn)：乘法公式

例如在講到概率中乘法公式這一節(jié)時(shí)，學(xué)生很容易把乘法公式與事件獨(dú)立性的公式弄混淆，應(yīng)用時(shí)難免出現(xiàn)問題，所以教師在講解乘法公式時(shí)可以列舉實(shí)際生活中常遇到的“抓鬮”問題，加深學(xué)生的理解，從而更清晰地掌握公式用法。

引入例子：一場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽勝出的八個(gè)人中有一人能夠獲得一張電影票，班長(zhǎng)決定以抓鬮的方法安排這一名額，進(jìn)行了一個(gè)共八人的抓鬮，只有一張有獎(jiǎng)，你希望自己抓鬮順序排多少？引入生活中會(huì)遇到的實(shí)際問題可以引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生展開討論并發(fā)表了不同的觀點(diǎn)。這時(shí)教師可以通過講解乘法公式原理，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用乘法公式的內(nèi)容解決這個(gè)問題。設(shè)Ak=第k人中獎(jiǎng)，k=1，2，…8，第一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率P（A1）=18，因?yàn)锳2A1，于是獎(jiǎng)券被第二個(gè)人摸到的概率P（A2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=78×17=18。如此類推，可得P（A3）=P（A4）=…P（A8）=18。得出結(jié)果表明八個(gè)人無論抓鬮順序如何，每個(gè)人在抽簽前不知自己前面抽簽結(jié)果，則每人抽到電影票的概率是相等的，在實(shí)際生活中分房問題、學(xué)生分班及短缺物資的調(diào)配問題等，都采用“抓鬮”的方式進(jìn)行處理是有其合理性的。學(xué)習(xí)了概率后遇到抓鬮問題不要爭(zhēng)先恐后，同學(xué)們應(yīng)發(fā)揚(yáng)風(fēng)格讓他人先行。通過對(duì)案例的講解及把復(fù)雜問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，使學(xué)生能很好地掌握公式并了解對(duì)其的應(yīng)用，明白做事的道理。

（二）知識(shí)點(diǎn)舉例：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

在講解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，以往學(xué)生只能依照課本理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，這樣知識(shí)掌握起來往往較教條化，理解不夠全面，從而脫離了實(shí)際應(yīng)用，教師應(yīng)通過隨機(jī)抽樣在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的具體情況，更加全面地、更貼近現(xiàn)實(shí)地讓學(xué)生學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣并了解現(xiàn)實(shí)抽樣中會(huì)面臨的問題，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用。

引入例子：2004年，我國(guó)某知名電視機(jī)生產(chǎn)公司為了調(diào)查該企業(yè)電視機(jī)品牌的市場(chǎng)占有率，派出市場(chǎng)研究部的兩組員工就這個(gè)問題開展調(diào)查：請(qǐng)列舉您會(huì)選擇的電視機(jī)品牌。兩組調(diào)查結(jié)果令人大跌眼鏡：A組發(fā)現(xiàn)36%的消費(fèi)者在購(gòu)買時(shí)愿意選擇該公司的電視機(jī)；B組的結(jié)果卻僅僅16%，公司很納悶，不明白同樣的抽樣方法為何產(chǎn)生如此不同的結(jié)果，究竟是哪里出了問題？真相究竟如何？

教師引導(dǎo)學(xué)生從抽樣方法的選擇和抽樣會(huì)帶來風(fēng)險(xiǎn)的方面對(duì)該案例進(jìn)行了熱烈討論，可以總結(jié)出抽樣中的風(fēng)險(xiǎn)可能來自于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)性誤差，該公司問題在于市場(chǎng)調(diào)查人員在抽樣過程中引入了非隨機(jī)誤差（如圖1），可能存在被訪者受詢問員誘導(dǎo)出現(xiàn)了弄虛作假等現(xiàn)象，使得結(jié)果產(chǎn)生很大誤差。

教師在結(jié)合案例講解過程中還可以達(dá)到教書育人的目的，即讓學(xué)生明白每種獲取數(shù)據(jù)的方式都會(huì)有優(yōu)點(diǎn)及不足，除了依靠科學(xué)技術(shù)外，更要具備批判性思維，能從數(shù)據(jù)中分析出隱藏的問題，同時(shí)在工作中要有責(zé)任心、誠(chéng)實(shí)的態(tài)度和專業(yè)精神，否則會(huì)對(duì)社會(huì)生產(chǎn)帶來嚴(yán)重誤導(dǎo)，也不利于個(gè)人發(fā)展。

二、教學(xué)結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)

為使課堂教學(xué)變得更加直觀，并具有可視化，教師在課堂教學(xué)上還可以適當(dāng)增加數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，向?qū)W生介紹怎樣利用數(shù)學(xué)軟件處理數(shù)學(xué)問題，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，并充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

（一）列舉知識(shí)點(diǎn)：泊松分布

泊松分布在排隊(duì)論、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)以及服務(wù)行業(yè)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，泊松分布較為抽象，教材一般只給出了以λ為參數(shù)的概率分布，課堂上教師可以結(jié)合實(shí)際背景進(jìn)行案例教學(xué)，讓學(xué)生更能明白泊松分布的來源與應(yīng)用。介紹下面這個(gè)案例：某運(yùn)輸公司有600輛汽車參加保險(xiǎn)，在一年內(nèi)每輛汽車出事故的概率為0.005，每輛參加保險(xiǎn)的汽車每年交保費(fèi)1000元，若一輛車出事故保險(xiǎn)公司最多賠償100000元，計(jì)算保險(xiǎn)公司一年賺錢不少于200000元的概率。

學(xué)生經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)直接用二項(xiàng)分布計(jì)算比較困難，這時(shí)教師通過該例子，討論出二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，并得到泊松分布的分布律。故該案例采取泊松分布近似計(jì)算，之后和學(xué)生一起探究什么情況下采用泊松分布對(duì)二項(xiàng)分布近似計(jì)算效果較好，為了解決這個(gè)問題，教師運(yùn)用Matlab的圖像繪制功能繪制了二項(xiàng)分布和泊松分布計(jì)算所得的概率值，并加以對(duì)比分析，實(shí)驗(yàn)得出當(dāng)n較大，p較小時(shí)，泊松分布的近似情況較好（如圖2）。師生對(duì)知識(shí)的探究加深了學(xué)生對(duì)該內(nèi)容的理解，提高學(xué)習(xí)者對(duì)理論知識(shí)的運(yùn)用能力和實(shí)踐水平。

（二）列舉知識(shí)點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤

假設(shè)檢驗(yàn)是利用樣本的信息，依據(jù)某種準(zhǔn)則對(duì)總體的假設(shè)做出接受還是拒絕的決策。在假設(shè)檢驗(yàn)過程中容易犯兩類錯(cuò)誤：用α表示犯第一類“棄真”錯(cuò)誤概率，用β表示犯第二類“取偽”錯(cuò)誤的概率。在講解這兩類錯(cuò)誤的重要性過程中，如果直接給學(xué)生證明這兩類錯(cuò)誤的關(guān)系，過程往往比較復(fù)雜和生硬，學(xué)生容易產(chǎn)生畏難的情緒，從而失去學(xué)習(xí)信心。而興趣是最好的老師，首先教師提供一個(gè)課題讓學(xué)生展開思考以引起學(xué)生興趣，提出把一個(gè)有罪的人誤判為無罪和把一個(gè)無罪的人誤判有罪，哪一個(gè)后果更嚴(yán)重？而這個(gè)問題實(shí)際上可看成統(tǒng)計(jì)學(xué)中的兩類錯(cuò)誤：棄真和取偽。

在討論過程中，教師為使學(xué)生理解犯兩類錯(cuò)誤的概率的關(guān)聯(lián)，在課堂上結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，通過演示學(xué)生觀察討論得出結(jié)論，盡管人們希望犯這兩類錯(cuò)誤的概率越小越好，但在樣本容量一定的條件下，犯這兩類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)降低，減少其中一個(gè)，另一個(gè)往往會(huì)增大（如圖3）［4］。類似的有醫(yī)學(xué)檢測(cè)中可能會(huì)出現(xiàn)假陰性和假陽性的兩類錯(cuò)誤，而人們認(rèn)為控制假陰性率遠(yuǎn)遠(yuǎn)比控制假陽性率重要，因此也將重點(diǎn)放在控制第一類錯(cuò)誤上，進(jìn)而做顯著性檢驗(yàn)［5］。通過以上例子探討及講解幫助學(xué)生降低理解難度，加深學(xué)生對(duì)復(fù)雜問題的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（三）加強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)資源平臺(tái)建設(shè)輔助教學(xué)

對(duì)于教學(xué)時(shí)長(zhǎng)相對(duì)有限的情形，教師一方面充分利用網(wǎng)絡(luò)技術(shù)工具進(jìn)行輔助教學(xué)，另一方面通過超星學(xué)習(xí)通等教學(xué)工具創(chuàng)建“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程，通過插入網(wǎng)絡(luò)資源或進(jìn)行微課教學(xué)等多種方式給學(xué)生的課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)提供方便，使學(xué)生更好地把握知識(shí)的重難點(diǎn)。教師在課堂上還可以通過發(fā)布簽到、搶答、課堂測(cè)驗(yàn)、小組討論等內(nèi)容對(duì)案例進(jìn)行解析，從而使課堂教學(xué)內(nèi)容變得更加豐富多彩，也大大加強(qiáng)了師生之間的互動(dòng)和溝通，促使學(xué)生深入思考，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。另一方面在統(tǒng)計(jì)部分中與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系更為緊密的內(nèi)容，比如方差分析、回歸分析等，教師可以借助于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源進(jìn)行補(bǔ)充，以便使學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步了解有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)更廣闊的知識(shí)，拓寬學(xué)生的視野，防止授課只局限于課本內(nèi)容。

針對(duì)學(xué)生平時(shí)不努力學(xué)習(xí)考試前臨時(shí)抱佛腳的現(xiàn)象，教師也可以通過學(xué)習(xí)通或雨課堂等教學(xué)平臺(tái)發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)，根據(jù)學(xué)生話題參與討論程度、視頻觀看時(shí)長(zhǎng)等情況形成個(gè)人記錄，進(jìn)而作為平時(shí)成績(jī)的依據(jù)，同時(shí)也方便教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化輔導(dǎo)，并根據(jù)學(xué)生完成任務(wù)情況調(diào)整后續(xù)教學(xué)（如圖4）。

結(jié)語

針對(duì)應(yīng)用型民辦高校，在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的基礎(chǔ)課程教學(xué)中，教師面臨學(xué)生對(duì)課堂理論知識(shí)運(yùn)用能力欠缺，部分學(xué)生上課學(xué)習(xí)積極性不高等各種問題，通過積極探索結(jié)合相關(guān)案例分析和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)直觀演示等方法來代替抽象的理論證明，并利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)加強(qiáng)教師對(duì)學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)情況的監(jiān)督和檢查，教學(xué)中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀積極性，以此來大大提高教學(xué)工作效率，使學(xué)生學(xué)習(xí)效果得以增強(qiáng)。

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基金項(xiàng)目：廣州城市理工學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目“以應(yīng)用為導(dǎo)向的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革與實(shí)踐”（JY211401）；廣州城市理工學(xué)院校級(jí)“高校公共數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)團(tuán)隊(duì)培育”項(xiàng)目（S20421005）

作者簡(jiǎn)介：李海榮（1989—?），女，漢族，吉林人，碩士，講師，研究方向：生物數(shù)學(xué)。