周海斌

抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)眼光”的主要表現(xiàn)之一。其實(shí)，數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，沒(méi)有“抽象”，就沒(méi)有數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科。而符號(hào)則是抽象中的抽象，數(shù)學(xué)的符號(hào)化推進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）也把抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)），列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)眼光”的主要表現(xiàn)之一。本文以“用字母表示數(shù)”教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)的抽象過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光。

一、引發(fā)符號(hào)化需求，產(chǎn)生抽象意向

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。“數(shù)學(xué)眼光”的一個(gè)重要含義是在各種現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)的問(wèn)題情境中，“看”出其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)符號(hào)是對(duì)客觀事物及其本質(zhì)屬性進(jìn)行有意義抽象的產(chǎn)物。小學(xué)生處于具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡階段，不易接受較為抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，激發(fā)符號(hào)化需求，產(chǎn)生數(shù)學(xué)抽象的意向。

【片段一】

教師出示數(shù)量都為5的“人、蘋(píng)果、玩具”的圖片。

師：有什么相同的地方？

生：都是5個(gè)。

師：用什么符號(hào)表示？

生：數(shù)字5。

師：一個(gè)小小的符號(hào)表達(dá)了不同物體的相同數(shù)量。

教師出示：擺1個(gè)三角形用（1×3）根小棒，擺2個(gè)三角形用（2×3）根小棒，擺3個(gè)三角形用（ ）根小棒……

師：說(shuō)得完嗎？怎么辦？

生：可以嘗試用一種簡(jiǎn)潔的方式來(lái)表示所有的情況。

【思考】“看”出“同數(shù)不同物”，這是學(xué)生已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)眼光。溫習(xí)“由物到數(shù)”的抽象過(guò)程，將學(xué)生引入最近發(fā)展區(qū)，理解數(shù)字只是一個(gè)符號(hào)，為新情境下解決問(wèn)題提供腳手架，為再一次抽象和創(chuàng)造新符號(hào)做好鋪墊，為由常量數(shù)學(xué)走向變量數(shù)學(xué)蓄勢(shì)。在此基礎(chǔ)上，順勢(shì)創(chuàng)設(shè)新情境“擺三角形”，產(chǎn)生新問(wèn)題“如何簡(jiǎn)潔地表示所有的情況”，激發(fā)學(xué)生的好奇心和創(chuàng)造力。

二、嘗試符號(hào)化創(chuàng)造，領(lǐng)悟抽象本質(zhì)

“數(shù)學(xué)眼光”是觀察現(xiàn)實(shí)世界的一種特殊方式，其目的是透過(guò)事物的表面現(xiàn)象和各種物理屬性，抽象出數(shù)量關(guān)系與空間形式。抽象是指舍棄事物個(gè)別的、非本質(zhì)的特征，抽取出共同的、本質(zhì)的特征的過(guò)程。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說(shuō)過(guò)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”。因此，讓學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)再創(chuàng)造的過(guò)程，領(lǐng)悟抽象本質(zhì)，對(duì)于發(fā)展數(shù)學(xué)眼光具有重要作用。

【片段二】

學(xué)生自主創(chuàng)造表達(dá)方式，小組交流反饋，歸納方法。

1.用省略號(hào)表示：3×3、4×3……

2.用數(shù)量關(guān)系式表示：三角形個(gè)數(shù)×3=小棒的根數(shù)。

3.用自己的話描述：擺（若干）個(gè)三角形用（三角形個(gè)數(shù)的3倍）根小棒。

4.用字母表示方法一：擺（a）個(gè)三角形用（b）根小棒。

5.用字母表示方法二：擺（a）個(gè)三角形用（a×3）根小棒。

對(duì)比優(yōu)化：你們最喜歡哪一種？為什么？

小組討論，得出結(jié)論：用字母表示顯得簡(jiǎn)潔；與第4種方法相比，第5種方法只用了一個(gè)字母，并且能看出三角形和小棒之間的數(shù)量關(guān)系。

師：是呀，a×3這個(gè)式子既可以表示小棒的數(shù)量，又可以反映小棒和三角形之間的數(shù)量關(guān)系。那么，這兒的a可以表示哪些數(shù)？

生：1，2，3……

生：可以表示任意一個(gè)自然數(shù)，不固定，可以變化。

生：表示未知的數(shù)。

師：這兒的a可以用其他字母表示嗎？或者用☆、□等特殊符號(hào)表示嗎？

生：都可以。

【思考】學(xué)生進(jìn)行符號(hào)創(chuàng)造的過(guò)程，就是從算術(shù)思維走向代數(shù)思維的過(guò)程。從用數(shù)字表示，到用字母表示，再到用任意符號(hào)表示，學(xué)生逐步領(lǐng)悟抽象的本質(zhì)，即符號(hào)的形式并不重要，只要這個(gè)符號(hào)能代表“一類數(shù)”，反映出這類數(shù)的共同特征。學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”得到提升，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一次飛躍，從表象走向抽象，從有限走向無(wú)限，體會(huì)到用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)潔性、概括性和一般性。

三、理解符號(hào)化規(guī)則，提高抽象意識(shí)

客觀世界經(jīng)“數(shù)學(xué)眼光”抽象后，形成概念、規(guī)則和結(jié)論等，再對(duì)這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行二次抽象，形成符號(hào)化表征。數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)化遵循一定的規(guī)則，有些規(guī)則看似是約定俗成的，但背后其實(shí)蘊(yùn)含著道理，教學(xué)中教師不可以讓學(xué)生機(jī)械記憶，而要進(jìn)行有意義的接受學(xué)習(xí)，理解規(guī)則這樣界定的道理，增強(qiáng)抽象意識(shí)，提高“數(shù)學(xué)眼光”。

【片段三】

學(xué)生自主閱讀教材，理解用字母表示數(shù)的規(guī)則，集體交流反饋。

生：加減除式子的格式與以往一樣，比如，280-b，a+28，x÷5。

生：乘法格式有特殊要求。一般將乘號(hào)省略，并且數(shù)字在前，字母在后。

師（追問(wèn)）：為什么將乘號(hào)省略？為什么數(shù)字在前，字母在后？

（學(xué)生疑惑）

師：x×3，你們覺(jué)得怎樣？

生：乘號(hào)與字母x容易混淆。

師：所以將乘號(hào)省略，或者寫(xiě)成乘點(diǎn)。另外，人們習(xí)慣上將已知的寫(xiě)在前面，未知的寫(xiě)在后面，所以x×3寫(xiě)成3x或3·x。簡(jiǎn)寫(xiě)規(guī)則也不是隨便定的，是有道理的。

生：1與a相乘，積寫(xiě)成a，省略1，因?yàn)?和任何數(shù)相乘，還等于那個(gè)數(shù)。

生：a×b一般是簡(jiǎn)寫(xiě)成ab，不是ba，人們習(xí)慣按照字母順序編排。

生：相同字母相乘有特殊形式，如a×a，寫(xiě)成a2，這個(gè)2表示有2個(gè)a相乘，有特殊意義，所以寫(xiě)在右上角，讀作a的平方。

師：用字母表示數(shù)，為什么要定這些規(guī)則？

生：省略乘號(hào)后，顯得很簡(jiǎn)潔。

生：這些規(guī)則都很有道理，例如防止混淆。

生：表達(dá)更準(zhǔn)確。

【思考】用符號(hào)表征關(guān)系和結(jié)構(gòu)遵循一定的邏輯規(guī)則，這些規(guī)則有很強(qiáng)的抽象性，這與學(xué)生已有的“數(shù)的表征”經(jīng)驗(yàn)形成沖突。因此，學(xué)生在作業(yè)時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾認(rèn)為，有意義的接受學(xué)習(xí)的先決條件之一是材料必須具備邏輯意義?！坝米帜副硎緮?shù)有什么規(guī)則”“為什么定這樣的規(guī)則”，讓學(xué)生知其然更知其所以然，體會(huì)到數(shù)學(xué)的抽象不是為了簡(jiǎn)潔，而是要基于邏輯性、準(zhǔn)確性等數(shù)學(xué)特點(diǎn)。

四、探索符號(hào)化運(yùn)算，體會(huì)抽象價(jià)值

“數(shù)學(xué)眼光”賦予人們透過(guò)“個(gè)別”看出“一般”的能力?！靶抡n標(biāo)”指出，要讓學(xué)生知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性。因此，讓學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化過(guò)程，培養(yǎng)抽象能力，不僅包括會(huì)用符號(hào)表征數(shù)量及其關(guān)系，還要能利用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理，并讓學(xué)生知道符號(hào)雖然很抽象，但基于計(jì)算法則和邏輯關(guān)系，它的運(yùn)算和推理結(jié)果具有一般性，能代表一類問(wèn)題，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，從而引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)抽象的價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光。

【片段四】

教師出示題目：2x+3x=？讓學(xué)生談?wù)勛约旱南敕ā?/p>

生：根據(jù)乘法分配律，2x+3x=（2+3）x=5x。

師：是呀，運(yùn)算律對(duì)字母式子同樣適用。這兒的x可以表示什么數(shù)？

生：表示任意一個(gè)數(shù)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都可以。

師：2x+3x=5x，一個(gè)式子就能概括所有數(shù)的運(yùn)算。你們能根據(jù)這個(gè)式子，編一個(gè)問(wèn)題嗎？

生：蘋(píng)果每千克x元，先買2千克，再買3千克，一共花了多少錢(qián)？

生：汽車每小時(shí)行駛x千米，早上行駛2小時(shí)，下午行駛3小時(shí)，總共行駛多少千米？

生：六（1）班女生站成2排，男生站成3排，每排x人，六（1）班一共多少人？

師：能說(shuō)得完嗎？你有什么體會(huì)？

生：太厲害了，一個(gè)式子能代表這么多實(shí)際問(wèn)題。

生：只要是這個(gè)類型的，都能用這個(gè)字母式子表示。

【思考】越是抽象的事物越具有一般性。理解符號(hào)表達(dá)的一般性，有利于培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光，體會(huì)抽象價(jià)值。在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師從兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生理解一般性：一是式的運(yùn)算，既然字母表示數(shù)，那么字母式子同樣遵循數(shù)的計(jì)算法則和運(yùn)算律，同時(shí)因?yàn)樽帜缚梢源硪活悢?shù)，所以式的運(yùn)算具有一般性；二是式的應(yīng)用，不同的問(wèn)題情境可以用同一個(gè)式子來(lái)概括和表達(dá)。

五、追溯符號(hào)化歷史，建立抽象觀念

發(fā)展數(shù)學(xué)眼光必須激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與想象力。數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！睌?shù)學(xué)的發(fā)展史就是符號(hào)的產(chǎn)生和發(fā)展史。通過(guò)探尋數(shù)學(xué)發(fā)展史，可以看到數(shù)學(xué)研究對(duì)象產(chǎn)生的原因、必要性以及表達(dá)方式的優(yōu)化歷程。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)符號(hào)的演變歷史，體會(huì)符號(hào)的作用，建立抽象觀念，同時(shí)領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光。

【片段五】

教師出示課前的“人、蘋(píng)果、玩具”圖片。

師：現(xiàn)在大家都用數(shù)字“5”表示數(shù)。那么，古人是如何表示數(shù)的呢？數(shù)的表示是如何發(fā)展和演變的呢？

學(xué)生觀看“微課”，了解“數(shù)的歷史”：用物表示（石塊、結(jié)繩等）、算籌表示（專制小棒等）、文字表示（壹、Ⅳ等古文字）、數(shù)字表示（阿拉伯?dāng)?shù)字）、字母表示（丟番圖用“縮寫(xiě)字母”表示數(shù)、韋達(dá)把字母當(dāng)作符號(hào)來(lái)表示數(shù)）。

師：你們有什么體會(huì)？

生：數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程很漫長(zhǎng)和曲折。

生：無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家付出了艱辛的勞動(dòng)。

生：數(shù)學(xué)越來(lái)越難了……

師：是呀，用字母表示數(shù)后，數(shù)學(xué)就從研究具體的數(shù)走向研究變化的、抽象的數(shù)，產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)分支，為現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。同學(xué)們，這是一個(gè)新的數(shù)學(xué)世界，等著你們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)現(xiàn)！

【思考】首尾呼應(yīng)，聯(lián)系課首“用數(shù)字表示數(shù)”，引出“數(shù)的表示”演變歷史，再現(xiàn)人類探究歷程的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的產(chǎn)生和發(fā)展不是一蹴而就的，而是一個(gè)曲折而漫長(zhǎng)的過(guò)程，是一個(gè)不斷抽象和統(tǒng)一的過(guò)程。使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家的努力和艱辛，并領(lǐng)略數(shù)學(xué)的文化和魅力，激發(fā)學(xué)生用“數(shù)學(xué)眼光”觀察現(xiàn)實(shí)世界的興趣。

（作者單位：江蘇省泰州市鳳凰小學(xué)）