汪瑩

“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段學生數(shù)學學習的重要領(lǐng)域。2011年版義務(wù)教育課程標準把“數(shù)與代數(shù)”分列為“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”兩個板塊，而2022年版義務(wù)教育課程標準則將兩個板塊合并為“數(shù)與運算”一個整體，進一步體現(xiàn)了“數(shù)的認識”是“數(shù)的運算”的基礎(chǔ)。對比目前的小初教材，在整個小學階段占據(jù)了大半篇幅的“數(shù)的認識”這一板塊，會在初中階段以“短平快”的節(jié)奏進行學習。學習內(nèi)容和目標的變化、學習側(cè)重點的轉(zhuǎn)移、學習方式的改變，都將會給處于小初銜接階段的學生帶來一系列的影響。為了讓小學畢業(yè)生更好地適應(yīng)初中學習，筆者認為，教師可以將銜接教學的著力點放在分數(shù)和小數(shù)關(guān)系、負數(shù)的認識、數(shù)系的擴充、運算內(nèi)部的邏輯這幾方面，為學生初中階段的數(shù)學學習打下堅實基礎(chǔ)。

一、辨析分數(shù)和小數(shù)的關(guān)系，預(yù)埋有理數(shù)和無理數(shù)的種子

小數(shù)和分數(shù)是小學數(shù)學教學中的重要內(nèi)容，但部分學生對小數(shù)與分數(shù)關(guān)系的認識還存有誤區(qū)，這些錯誤的認知可能會對學生初中階段時學習有理數(shù)和無理數(shù)產(chǎn)生影響。

關(guān)于小數(shù)的定義，在蘇教版五年級上冊的數(shù)學教材上是這樣寫的：“分母是10、100、1000……的分數(shù)都可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”總有學生對這個定義誤讀。這個定義正著讀成立，反過來讀就值得推敲了。也就是說：十進分數(shù)是可以用小數(shù)表示的，但小數(shù)不一定能用十進分數(shù)來表示。這個定義其實僅指有限小數(shù)，雖有省略號，但不能理解為所有小數(shù)。在目前的蘇教版教材中，有限小數(shù)與無限小數(shù)的定義是放在“你知道嗎”板塊中的，這也使得小數(shù)分類的受重視程度下降。無限不循環(huán)小數(shù)的定義則一直到圓周率的學習中才真正涉及，這也使得學生對小數(shù)分類的認知出現(xiàn)了偏差。不少學生會認為“小數(shù)中的大部分是有限小數(shù)，只有一小部分非常特殊的小數(shù)才是無限循環(huán)小數(shù)，至于無限不循環(huán)小數(shù)，那是少數(shù)中的少數(shù)”。很顯然，這樣的認知是不符合事實的。

在初中階段學習有理數(shù)時，教材中引入了新的數(shù)的分類標準，即把能否實現(xiàn)與分數(shù)的轉(zhuǎn)化作為分類標準，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)則屬于無理數(shù)。有理數(shù)的概念建立在分數(shù)和小數(shù)的關(guān)系上，而分數(shù)和小數(shù)的互化是在小學學習的。初中僅在一堂課的時間內(nèi)便要學生完成新的數(shù)的概念的建立，這與學生在小學階段的學習節(jié)奏是大不相同的。因此，在小學階段教學分數(shù)和小數(shù)的互化這一知識點時，教師要做個有心人，借助一些例題，幫助學生提前了解有理數(shù)的概念，為學生日后升入初中學習有理數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)。

比如，在蘇教版小學五年級下冊的數(shù)學教材中有這樣一道題：將、、、、、化成小數(shù)（除不盡的保留三位小數(shù)）。為了幫助學生提前了解初中的知識，教師可以讓學生聯(lián)系小數(shù)的分類，觀察結(jié)果，給化得的小數(shù)分類，使其最終認識到：一是所有的分數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成小數(shù)；二是轉(zhuǎn)換后的分數(shù)，要么是有限小數(shù)，要么是無限小數(shù)（此處還可以更進一步：是否可以轉(zhuǎn)換為有限小數(shù)或無限小數(shù)與分數(shù)的分母有關(guān)。如果分母的質(zhì)因數(shù)只含有2或5，則可以轉(zhuǎn)換為有限小數(shù)；如果分母的質(zhì)因數(shù)包含2和5以外的，則只能轉(zhuǎn)換為無限小數(shù)）；三是由分數(shù)轉(zhuǎn)換而來的無限小數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)。教師還可以設(shè)置問題“如果有限小數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成分數(shù)，那么無限循環(huán)小數(shù)是否可以轉(zhuǎn)換成分數(shù)？”，讓學生在課后獨立探索研究。

有了這個鋪墊，學生將來再遇到無限循環(huán)小數(shù)，對于它究竟能不能化成分數(shù)，就會有自己的判斷了。通過這種方式，學生也可以充分地理解分數(shù)和小數(shù)之間的關(guān)系，從而為初中的數(shù)學學習做好準備。

二、突出正、負數(shù)對應(yīng)，鋪墊正負數(shù)運算法則

小學生的思維方式以具體形象為主，他們在學習一個新的數(shù)的概念時，往往會依托大量的生活實例。以“負數(shù)的認識”的教學為例，小學階段主要是在大量的實例背景下引導(dǎo)學生學習負數(shù)的含義和負數(shù)的表示，而初中階段主要是以靜態(tài)、抽象的方式呈現(xiàn)負數(shù)概念，這與小學階段的數(shù)學教學是有區(qū)別的。

盡管學生在五年級已經(jīng)初步認識了負數(shù)，但部分學生在初中階段學習負數(shù)概念時依然存在理解困難，究其原因是沒有正確理解“-”號的三種意義（運算、性質(zhì)、相反數(shù)）。部分七年級學生無法區(qū)分公式中的“+”（正號）和“-”（負號）是作為運算的符號還是作為屬性的符號，這也與學生沒有將負數(shù)作為一個整體有關(guān)。在蘇教版小學數(shù)學五年級上冊中，有關(guān)正數(shù)和負數(shù)的定義都是描述性定義：像+20、+8844.4這樣的數(shù)都是正數(shù)（正數(shù)前面的“+”可以省略不寫），像-20、-155這樣的數(shù)都是負數(shù)。人教版小學數(shù)學六年級下冊中對正負數(shù)的定義為：“為了表示相反意義的量，如零上溫度與零下溫度、收入與支出等，需要用兩種數(shù)。一種是我們以前學過的數(shù)，如6、500、4.7、，這些數(shù)是正數(shù)；另一種是在這些數(shù)的前面添上“-”（負號），的數(shù)，如-6、-500、-4.7，這些數(shù)是負數(shù)?！边@樣的處理更好地展示了負數(shù)的基本內(nèi)涵：正數(shù)和負數(shù)代表兩個意義相反的數(shù)量，前面帶有負號的數(shù)就是負數(shù)。

為了讓學生更好地理解負數(shù)，給學生初中階段的學習奠定基礎(chǔ)，在小學階段教學負數(shù)時，教師可以利用數(shù)軸這一形象、可視化的手段，通過在數(shù)軸上比較一組正、負數(shù)與0點的距離，讓學生充分感悟、理解負數(shù)和相應(yīng)的正數(shù)是一一對應(yīng)的。通過對比，學生能夠感受到正、負數(shù)之間“數(shù)量相等”“方向相反”的關(guān)系，這也為其今后在初中學習絕對值和相反數(shù)打下了堅實的基礎(chǔ)。

對比現(xiàn)行的教材，小學階段并沒有要求學生學習負數(shù)的相關(guān)運算，這些是初中階段的學習任務(wù)。小學生的抽象思維水平仍然不高，教師不能人為地增加學生的學習負擔。筆者認為，教師可以有意識地將正、負號與以前學過的加、減號加以區(qū)分，以便學生了解加減符號和正負號是同一符號的兩種不同含義。同時，教師可以借助數(shù)軸，把正、負數(shù)和加、減法的運算以直觀的形式滲透到小學階段的教學中，這些都可以為學生將來學習負數(shù)運算作鋪墊。

三、了解數(shù)的發(fā)展史，繪制數(shù)的認識網(wǎng)絡(luò)圖

數(shù)的認識，一直是小學數(shù)學中的重要內(nèi)容之一。自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等，都是小學數(shù)學中最基本的概念。這些概念是繪制數(shù)的認識網(wǎng)絡(luò)圖、學習數(shù)的運算、研究數(shù)量關(guān)系的重要基礎(chǔ)。從自然數(shù)開始，對數(shù)和數(shù)系的不斷擴充是人類生產(chǎn)發(fā)展和社會進步的需要，也是數(shù)學本身發(fā)展的需要。

考慮到小學生的年齡特征，他們雖然從小學一年級就認識了整數(shù)，但一直到高年級才真正了解整數(shù)的定義。相比在小學階段學生要用六年時間完成對整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等數(shù)的概念的擴充，在初中階段，剛進入初中，學生就會經(jīng)歷數(shù)系的第一次擴充。如果學生對數(shù)系擴充認識不足的話，那么這就很有可能影響其接下來的學習。部分學生會用死記硬背的方式記住新的數(shù)的概念，硬生生將其納入自己的認知結(jié)構(gòu)。但如果教師能在小學階段引導(dǎo)學生從整體的角度去理解數(shù)系擴充，基于學生的已有經(jīng)驗，幫助學生貫通各類數(shù)的概念，學生接受一個新的數(shù)的概念就不會很被動了。

因此，在小學六年級的復(fù)習課上，從數(shù)系擴展的角度帶領(lǐng)學生了解數(shù)的發(fā)展史也是非常必要的。在數(shù)學課堂上，教師可以提問：“當數(shù)數(shù)時，自然數(shù)就足夠了，為什么人類還需要發(fā)明這么多數(shù)？”教師可以讓學生暢所欲言，并根據(jù)學生的解釋帶領(lǐng)他們回顧數(shù)的發(fā)展史，或借助課本上的圖片幫助學生回憶這些數(shù)的概念的產(chǎn)生過程，還可以輔以樹狀圖、數(shù)軸等將各種數(shù)進行分類，最終使學生繪制數(shù)的認識網(wǎng)絡(luò)圖。

比如，分數(shù)的擴充有兩個原因，其中一個原因是人們在劃分事物時必須切割和分配一個對象，那么整體的“部分”就不能用現(xiàn)有的自然數(shù)表示，需要有一種方法來描述“部分”，因而分數(shù)是“描述整體和部分之間的關(guān)系”的產(chǎn)物。小數(shù)的產(chǎn)生也有兩個原因：一是對十進制計數(shù)法的擴展和完善的需要；二是對分數(shù)書寫形式的優(yōu)化和改進。根據(jù)十進制的位值原則，把十進分數(shù)仿照整數(shù)的寫法寫成不帶分母的形式，這樣的數(shù)叫做小數(shù)。小數(shù)的出現(xiàn)標志著十進制記數(shù)法從整數(shù)擴展到了分數(shù)，使分數(shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。

學生在了解數(shù)的發(fā)展史的過程中可以進一步完善數(shù)的認識結(jié)構(gòu)，逐漸理解：正是為了解決人們在生產(chǎn)生活中出現(xiàn)的問題，人們才不斷將數(shù)的領(lǐng)域加以擴充。

四、了解數(shù)的運算的內(nèi)部邏輯，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)系的擴充最初是源于現(xiàn)實生活的需要，后來，隨著數(shù)學體系的發(fā)展，數(shù)系擴充也成了數(shù)學內(nèi)部體系運算封閉性的必然要求。簡單來說，就是數(shù)的范圍被擴充了，人們的計算也就更方便了。因此，“數(shù)的認識”是為“數(shù)的運算”服務(wù)的。

從小學到初中，數(shù)系每擴充一次，比如整數(shù)到分數(shù)、分數(shù)到小數(shù)，學生都會先學習相關(guān)的數(shù)的概念，然后再進行數(shù)的運算。數(shù)及其運算是小學階段數(shù)學學習的主要內(nèi)容。然而，從數(shù)的運算的角度去理解數(shù)系的擴充，在小學教材中是較為隱蔽的一條線，所以從運算需要的角度去重新認識小學階段的數(shù)的概念，也可以作為小初銜接的一個主要內(nèi)容。

教師可以抓住適當時機，引導(dǎo)學生思考如下問題并給出解釋：如果在數(shù)學中只討論加法和乘法，那么以前學過的數(shù)就足夠了，但如果要討論減法呢？顯然0和負數(shù)的產(chǎn)生就十分有必要，負數(shù)的產(chǎn)生也是為了解決“不夠減”的實際問題。同樣，如果要討論除法，也非常有必要引入新的數(shù)的概念。在整數(shù)除法中，當兩個數(shù)相除，有時不能得到整數(shù)商。在結(jié)果唯一的前提下，為了保證除法運算的順利進行，分數(shù)應(yīng)運而生。到了初中，可以用小數(shù)定義有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)稱為有理數(shù)。進一步，可以用小數(shù)定義無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。還可以由此來定義實數(shù)：有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。由此，學生也不難理解：數(shù)系擴展到正整數(shù)和有理數(shù)，然后擴展到實數(shù)。在擴展的過程中，“實際需要”在促進方面的作用較小，更重要的是對數(shù)學運算的需要。

通過這樣的梳理，學生對數(shù)的認識，不僅能立足于生活實踐的角度，還能擴展到數(shù)學背景的角度。當學生的學習視角發(fā)生了變化，思維從具體形象水平上升到了抽象邏輯水平時，他們的數(shù)學素養(yǎng)也將得以提升。

（作者單位：江蘇省蘇州市姑香苑小學校）