趙莉莉

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 昆明 650091)

0 引言

無窮級數(shù)是用來逼近較復(fù)雜函數(shù)的有效工具,能夠解決大量的實(shí)際問題,是微積分學(xué)的重要組成部分,也是歷年考研中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。它有兩種主要的運(yùn)算,其一為求無窮級數(shù)的和[1-3],其二為將函數(shù)展開成冪級數(shù)。熟練掌握求無窮級數(shù),尤其是求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)和的各種基本方法,是理解并運(yùn)用無窮級數(shù)理論的基礎(chǔ),因此,有必要匯總常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和方法。

1 利用已知級數(shù)求未知級數(shù)的和

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和等于其部分和數(shù)列的極限,因此需要將部分和數(shù)列向易于求和的數(shù)列(如等比數(shù)列與等差數(shù)列)轉(zhuǎn)換,以便求出部分和數(shù)列的極限。

解分母為等比數(shù)列,分子為等差數(shù)列的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和,一般使用錯(cuò)位相減法。

故,

2 連鎖消元法

所謂連鎖消元法就是巧妙利用公式,將常數(shù)項(xiàng)級數(shù)部分和數(shù)列的中間項(xiàng)消去,只剩下第一項(xiàng)與最后一項(xiàng),以便求出極限。

解

(1)

與

連鎖消元法還可以多項(xiàng)相消,如例5。

解考慮到常數(shù)項(xiàng)級數(shù)一般項(xiàng)的分子是一個(gè)常數(shù),為了將部分和數(shù)列的中間項(xiàng)消去,不妨先將一般項(xiàng)改寫為

從而

3 子序列法

故原級數(shù)的和s=ln 2。

4 建立關(guān)于sn的關(guān)系式,以便求出sn及其極限

例7計(jì)算psinα+p2sin (2α)+…+pnsin (nα)+…(|p|<1)的和s。

pn+1sin((n+1)α)+sn-psinα+p2sn-pn+2sin (nα)。

整理后,有

5 利用定積分的定義

這種方法的要點(diǎn)是先求出常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列,再將部分和數(shù)列改寫為定積分定義中的和式形式。

解先求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)部分和數(shù)列的通項(xiàng),可得

6 利用部分和函數(shù)序列的緊縮形式

于是

(2)

利用Riemann引理[5-9],當(dāng)n→∞時(shí),(2)式第一項(xiàng)趨于零,故