張 輝, 方曉峰, 鄭麗娜

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部,陜西 西安 710025)

0 引言

空間三角形的五心重心、內(nèi)心、垂心、外心和旁心,是空間解析幾何中重要的知識(shí)點(diǎn)。如何判定某點(diǎn)是空間三角形的五心是一個(gè)較為復(fù)雜的問題,而能否通過空間三角形3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定五心坐標(biāo)的解析表達(dá)式也是值得關(guān)注的問題。本文主要針對(duì)空間三角形的重心問題,利用向量代數(shù)相關(guān)知識(shí)研究重心判定的充分必要條件,進(jìn)而得到空間三角形重心坐標(biāo)的表達(dá)式和相關(guān)性質(zhì)。

1 兩個(gè)引理

為了研究空間三角形[1-2]的重心問題,首先給出以下兩個(gè)重要的關(guān)于空間三角形內(nèi)點(diǎn)的引理。

因?yàn)?/p>

和

則有

利用引理1的結(jié)論,可以得到引理2。

引理2設(shè)點(diǎn)O為空間ΔABC的任意一個(gè)內(nèi)點(diǎn),則有

sin∠BOC=sin∠QOR,sin∠COA=sin∠ROP,sin∠AOB=sin∠POQ,

2 重心的判定條件和計(jì)算

由三角形面積的性質(zhì),可得命題1。

命題1若點(diǎn)O為空間ΔABC的重心(圖1),即點(diǎn)O為3條中線AD、BE和CF的交點(diǎn),則有

圖1 空間三角形的重心

和

利用引理2和命題1,下面研究并給出判定空間一點(diǎn)是空間三角形重心的充分必要條件。

事實(shí)上,利用定理1也可以得到判定重心的另一個(gè)充分必要條件。

事實(shí)上,在定理2中若取點(diǎn)P恰好為重心O即為定理1。因此,定理1是定理2的特殊情形。同時(shí)定理1和定理2不僅分別給出了一個(gè)判斷空間一點(diǎn)是空間三角形重心的充分必要條件,而且分別提供了一種求重心坐標(biāo)便捷有效的方法。

設(shè)空間三角形ΔABC3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3),記重心為O(x,y,z),若取點(diǎn)P為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),由定理2可得

特別地,在定理2中若取點(diǎn)P分別為頂點(diǎn)A、B和C,則有以下定理3。

值得注意的是,借助于重心O的坐標(biāo),可以計(jì)算

即OA=2OD。同理可得OB=2OE和OC=2OF。也就是說,空間三角形的重心到某頂點(diǎn)的距離是到該頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)的距離的2倍。事實(shí)上,這個(gè)結(jié)論和定理3的結(jié)論是一致的。

3 結(jié)語

本文研究了空間三角形重心的判定條件和計(jì)算問題,得到了判定重心的3個(gè)充分必要條件,并利用判定條件給出了空間三角形重心坐標(biāo)的計(jì)算公式,旨在讓學(xué)生對(duì)空間三角形的重心有更深入的理解和掌握,為空間三角形在工程技術(shù)領(lǐng)域[4-7]中的應(yīng)用提供技術(shù)支撐。值得注意的是,平面三角形關(guān)于五心的研究已經(jīng)有了許多優(yōu)美的結(jié)論[8-10],而空間三角形與五心有關(guān)的計(jì)算結(jié)果會(huì)與之不同,進(jìn)而豐富了空間解析幾何[11-14]的內(nèi)容體系。