聶淑媛, 張來(lái)萍

(1.洛陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南 洛陽(yáng) 471934; 2.寧夏大學(xué) 新華學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

作為刻畫(huà)自回歸序列的參數(shù)與其協(xié)方差函數(shù)之間關(guān)系的一種隨機(jī)過(guò)程模型,尤爾-沃克方程是描述某些時(shí)變過(guò)程的重要工具,在統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號(hào)處理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1],但其誕生背景和發(fā)展歷程卻鮮被提及。本文基于“為什么數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)史研究范式[2],從統(tǒng)計(jì)方法和技術(shù)工具發(fā)展的視角,致力于尤爾-沃克方程的成因探析。

從本質(zhì)上而言,尤爾-沃克方程與自相關(guān)、自回歸概念密切相關(guān),追根溯源,自相關(guān)出現(xiàn)的早期主要是由氣象應(yīng)用推動(dòng)形成的。1904年,氣象學(xué)家凱夫(CAVE-BROWNE-CAVE F E)首次以相距遙遠(yuǎn)地點(diǎn)的日壓力讀數(shù)為樣本,探討了時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)問(wèn)題,給出了數(shù)學(xué)關(guān)系式y(tǒng)t=f(yt-1)+ε的雛形[3]。1917年,克萊頓(CLAYTON H H)研究了太陽(yáng)輻射和溫度的時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)[4]。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)史學(xué)家克萊因(KLEIN J)認(rèn)為,上述AR(1)過(guò)程早已隱含在19世紀(jì)末生物學(xué)家高爾頓(GALTON F)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(PEARSON K)關(guān)于遺傳問(wèn)題的相關(guān)和回歸研究中[5]。但學(xué)界普遍認(rèn)為,從統(tǒng)計(jì)學(xué)視角首創(chuàng)現(xiàn)代自回歸分析方法的是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家尤爾( YULE G U)和沃克( WALKER G T) 在探討世界各地降水、溫度和壓力等氣候變量關(guān)系時(shí),進(jìn)一步拓展了AR(auto regression)模型,從而形成了著名的尤爾-沃克方程。

1 尤爾首創(chuàng)AR(2)、AR(4)模型的技術(shù)剖析

尤爾發(fā)展自回歸思想的背景是當(dāng)時(shí)的一個(gè)社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題——尋求太陽(yáng)黑子序列的隱周期,其核心技術(shù)是利用調(diào)和函數(shù)分析單擺運(yùn)動(dòng),國(guó)內(nèi)外學(xué)者已基于不同視角解析了尤爾的創(chuàng)新性工作[6-7],本文旨在挖掘尤爾首創(chuàng)AR(2)、AR(4)模型的技術(shù)發(fā)展歷程及實(shí)踐推動(dòng)緣由。

1.1 AR(2)模型的誕生與應(yīng)用——假定序列只有一個(gè)周期

利用上述AR(2)過(guò)程的分析思想,尤爾不僅擬合了1749—1924年沃爾夫太陽(yáng)黑子數(shù)據(jù)的具體模型ux=1.623 73ux-1-ux-2+16.99,而且實(shí)證推算了此太陽(yáng)黑子序列的周期T=10.08年。由于該周期明顯低于諸多研究者一致認(rèn)可的太陽(yáng)黑子11～12年的周期,尤爾再次以1753—1920年的另一組太陽(yáng)黑子數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行分析,結(jié)果表明,擬合模型為ux=1.684 26ux-1-ux-2+14.13,周期T=11.03年[8],建模效果理想。尤爾的大膽嘗試不僅開(kāi)創(chuàng)了自回歸的技術(shù)方法,而且為挖掘準(zhǔn)周期行為提供了一個(gè)可實(shí)證操作的統(tǒng)計(jì)模型。

1.2 AR(4)模型的誕生與應(yīng)用——假定序列有兩個(gè)周期

若序列有兩個(gè)周期T1和T2,尤爾設(shè)其通項(xiàng)為

為借助更多的滯后項(xiàng)進(jìn)行建模,尤爾首先計(jì)算

-μ1a-μ2(ux-2-a),

(1)

(2)

聯(lián)合(1)式和(2)式,消去a,即得ux=(4-μ1-μ2)(ux-1+ux-3)-(6-2μ1-2μ2+μ1μ2)ux-2-ux-4。令k1=4-μ1-μ2,k2=6-2μ1-2μ2+μ1μ2,則AR(4)模型為ux=k1(ux-1+ux-3)-k2ux-2-ux-4+εx。

尤爾進(jìn)一步擬合了兩組太陽(yáng)黑子數(shù)據(jù)的具體AR(4)模型,沃爾夫太陽(yáng)黑子序列對(duì)應(yīng)的模型是

ux=1.160 51(ux-1+ux-3)-1.014 86ux-2-ux-4+εx,

其中,T1=3.37年或1.42年,T2=11.95年,Var(εx)=21.952。第二組太陽(yáng)黑子序列對(duì)應(yīng)的模型是

ux=1.655 39(ux-1+ux-3)-1.839 55ux-2-ux-4+εx,

其中,T1=3.89年或1.35年,T2=12.36年,Var(εx)=17.472。

據(jù)此尤爾證實(shí)了,除了只存在一個(gè)11～12年的主周期外,太陽(yáng)黑子序列不存在其他次周期。根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果,兩個(gè)AR(4)模型中的擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差21.95、17.47,均顯著高于前文兩個(gè)AR(2)模型中對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差17.05、11.43[8],AR(4)模型的擬合效果并不理想。但從技術(shù)層面而言,正是自回歸AR(2)、AR(4)模型的構(gòu)建,為尤爾-沃克方程的問(wèn)世邁出了關(guān)鍵的一步。

2 沃克拓展AR(s)模型及自相關(guān)函數(shù)模型的技術(shù)剖析

和尤爾類(lèi)似,沃克也是在探尋序列隱周期的過(guò)程中,陸續(xù)創(chuàng)建和使用了相關(guān)分析、多元回歸方程、可能誤差概念、聯(lián)合相關(guān)系數(shù)、沃克檢驗(yàn)等系列統(tǒng)計(jì)技術(shù)工具,沃克一生的主要研究方向是世界天氣,對(duì)于南方濤動(dòng)、沃克環(huán)流、厄爾尼諾現(xiàn)象、氣壓等氣候問(wèn)題做了諸多開(kāi)創(chuàng)性工作。特別是1931年,沃克選定了世界天氣最重要的一個(gè)活動(dòng)中心——達(dá)爾文港口,探究港口壓力與系統(tǒng)自然周期以及外部振蕩干擾之間的關(guān)系時(shí),分析和拓展了尤爾創(chuàng)設(shè)的AR模型,并運(yùn)用這種一般的自回歸模型擬合港口壓力的季節(jié)性時(shí)間序列數(shù)據(jù)。

沃克認(rèn)為,不同于太陽(yáng)黑子序列,達(dá)爾文港口壓力的樣本序列及其自相關(guān)函數(shù)比阻尼正弦波更復(fù)雜,較高階的AR過(guò)程是理想模型,因此在總結(jié)尤爾工作的基礎(chǔ)上,沃克首先直接給出了AR(s)模型

ux=g1ux-1+g2ux-2+…+gsux-s+εx。

(3)

如果說(shuō)尤爾-沃克方程中尤爾的貢獻(xiàn)在于首創(chuàng)了經(jīng)典的AR(2)模型,那么沃克的創(chuàng)新思想則在于拋開(kāi)了尤爾直接對(duì)原始數(shù)據(jù)擬合AR過(guò)程的估計(jì)方法。沃克認(rèn)為自相關(guān)函數(shù)是更有力的工具,并最終推證了自相關(guān)函數(shù)序列{ρk}亦滿(mǎn)足與上述AR(s)過(guò)程本身形式完全一致的差分方程,具體推導(dǎo)過(guò)程可以大致梳理如下。

(3)式的兩邊同乘以u(píng)x-s-1,對(duì)指標(biāo)變量x從s+2到n求和,忽略擾動(dòng)項(xiàng)[9],即得

假定序列{ux}的標(biāo)準(zhǔn)差是常數(shù),則可化簡(jiǎn)為ρs+1=g1ρs+g2ρs-1+…+gsρ1,擴(kuò)展到一般項(xiàng)ρk(k≠0),有

ρk=g1ρk-1+g2ρk-2+…+gsρk-s。

(4)

(5)

沃克通過(guò)試驗(yàn)和誤差分析借助阻尼正弦波和阻尼指數(shù)的混合模型擬合樣本自相關(guān)函數(shù),然后將擬合后的自相關(guān)函數(shù)再轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的差分方程,并借助傅里葉變換和聯(lián)合相關(guān)系數(shù)等工具,最終推證了(5)式。證明過(guò)程相對(duì)繁瑣冗長(zhǎng),此處不再詳細(xì)敘述,旨在凸顯沃克在創(chuàng)建尤爾-沃克方程中所貢獻(xiàn)的創(chuàng)新性結(jié)論。

根據(jù)上述研究,沃克創(chuàng)設(shè)了AR(4)模型ux=3.35ux-1-4.43ux-2+2.71ux-3-0.64ux-4+εx,擬合達(dá)爾文港口壓力原始數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)序列,進(jìn)一步給出了前40個(gè)相關(guān)系數(shù)ρk滿(mǎn)足的混合阻尼模型

并利用此模型證實(shí)了達(dá)爾文港口壓力序列存在11個(gè)季度左右的周期,擾動(dòng)項(xiàng)的方差平均只是原始振蕩項(xiàng)方差的1/4左右等系列結(jié)論。

3 尤爾-沃克方程的正式命名及其影響

1927年尤爾創(chuàng)建的太陽(yáng)黑子序列自回歸模型受到了學(xué)界的廣泛重視和高度贊譽(yù),其開(kāi)創(chuàng)性的論文被國(guó)內(nèi)外學(xué)者多次引用,尤爾也被譽(yù)為現(xiàn)代時(shí)間序列分析的“開(kāi)山人”。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾(FISHER R A)等認(rèn)為,沃克在相關(guān)與回歸、天氣預(yù)報(bào)中多重相關(guān)系數(shù)、多重比較方面的工作,顯然助推了統(tǒng)計(jì)方法和隱周期性測(cè)試的發(fā)展,至今仍在使用的“費(fèi)歇爾檢驗(yàn)”正是在“沃克檢驗(yàn)”的基礎(chǔ)上發(fā)展形成的。但值得一提的是,“尤爾-沃克方程”這個(gè)名字卻是在尤爾和沃克的論文發(fā)表很長(zhǎng)一段時(shí)間后才被正式提出的。1938年,瑞典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家沃德(WOLD H)分別總結(jié)了尤爾和沃克對(duì)于自回歸的研究工作,并討論說(shuō)明了這類(lèi)方程與最小二乘法中的正規(guī)方程是相互等價(jià)的[10],但尚未明確命名“尤爾-沃克方程”。直到1949年,肯德?tīng)?KENDALL M G)在探究線(xiàn)性自回歸時(shí)間序列參數(shù)的估計(jì)方法時(shí),才首次正式將其稱(chēng)為“尤爾-沃克方程”[11]。

4 結(jié)語(yǔ)

為探究太陽(yáng)黑子序列的周期,尤爾將統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)和回歸概念擴(kuò)展到了自回歸技術(shù),首創(chuàng)了經(jīng)典的AR(2)模型,沃克不僅將其擴(kuò)充到一般的AR(s)模型,而且證實(shí)了對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)序列亦滿(mǎn)足與AR(s)過(guò)程相同的差分方程,同時(shí)利用自相關(guān)函數(shù)可以更便捷地識(shí)別系統(tǒng)周期。尤爾-沃克方程的正式命名相對(duì)緩慢,但其實(shí)用價(jià)值和理論意義不容忽視,它是解決周期判定、參數(shù)估計(jì)等問(wèn)題的重要工具。