劉麗萍，袁麗蕓，雷海霞

（1.廣西科技大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣西 柳州545006 ；2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 柳州 545006）

0 引言

橋式吊車作為一種典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在實(shí)際工程中應(yīng)用極其廣泛。國(guó)內(nèi)起重機(jī)吊車運(yùn)行控制大多依賴有經(jīng)驗(yàn)的操作人員人工操作，無(wú)法絕對(duì)保證操作得當(dāng)，且效率低下。此外，在吊車運(yùn)動(dòng)過程中負(fù)載擺動(dòng)不僅會(huì)對(duì)吊車系統(tǒng)工作效率有一定的影響，還存在與周圍的操作人員發(fā)生碰撞所引起的安全隱患。因此，橋式吊車系統(tǒng)工作過程中負(fù)載擺角的抑制也引起了廣泛關(guān)注。部分學(xué)者對(duì)橋式吊車系統(tǒng)消擺策略進(jìn)行了研究[1]。其中，將負(fù)載和吊鉤視為一整體系統(tǒng)，用單擺模型描述橋式吊車系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而對(duì)該類系統(tǒng)進(jìn)行控制策略的研究與仿真分析是一種最常見簡(jiǎn)單實(shí)用的方式[2]?；诖四Ｐ停芯咳藛T提出了負(fù)載擺動(dòng)的抑制方法，主要有最優(yōu)控制[3]、軌跡規(guī)劃[4]等基于吊車線性化模型的方法；狀態(tài)耦合增強(qiáng)[5]、滑模控制[6]等非線性控制方法；模糊控制[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制[8]等智能控制方法。但是上述文獻(xiàn)均未見對(duì)繩長(zhǎng)給系統(tǒng)帶來(lái)的影響有深入探討。

因此，本文擬采用單擺模型，結(jié)合Simulink 對(duì)吊車工作過程進(jìn)行數(shù)值模擬，比較了三種常用加速度輸入信號(hào)作為臺(tái)車規(guī)劃軌跡時(shí)的優(yōu)劣，從而確定最優(yōu)參考軌跡。并在不同繩長(zhǎng)下，通過加（減）速時(shí)間、運(yùn)行總時(shí)間、擺角等參數(shù)的對(duì)比，深入探討繩長(zhǎng)變化給單擺模型中臺(tái)車和負(fù)載運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的影響。

1 問題描述

橋式吊車單擺系統(tǒng)模型如圖1 所示，其動(dòng)態(tài)特性可用以下方程組描述[9]：

圖1 橋式吊車單擺系統(tǒng)示意圖

式中，M為臺(tái)車質(zhì)量，m為負(fù)載質(zhì)量，l為吊繩的長(zhǎng)度，g表示重力加速度，x和θ分別表示臺(tái)車位移和負(fù)載相對(duì)于豎直方向的擺角，為擺角速度和分別為其相應(yīng)加速度，F(xiàn)表示作用于臺(tái)車上的合力，即驅(qū)動(dòng)力Fa（t）和阻力Frx（t）的合力。式（1）表達(dá)系統(tǒng)的臺(tái)車驅(qū)動(dòng)方程，式（2）表達(dá)負(fù)載無(wú)驅(qū)動(dòng)方程，橋式吊車單擺系統(tǒng)由二者耦合而成。當(dāng)臺(tái)車加速度恒定時(shí)，可得擺角為[9]：

由（3）式不難得到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在臺(tái)車三段式運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的固有頻率ωn和周期以及臺(tái)車運(yùn)動(dòng)軌跡的加（減）速時(shí)間、勻速時(shí)間、運(yùn)行總時(shí)間，具體數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[9]。

2 基于Simulink 的單擺橋式吊車系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型仿真

由式（2）出發(fā)，忽略摩擦力的影響，選取臺(tái)車的加速度作為可實(shí)時(shí)調(diào)控的輸入?yún)?shù)，對(duì)其進(jìn)行二次積分可得臺(tái)車的臺(tái)車的規(guī)劃軌跡和負(fù)載擺動(dòng)的角加速度、角速度和擺角。由此建立系統(tǒng)擺角的Simulink 仿真模型如圖2 所示。

圖2 基于Simulink 的橋式吊車單擺系統(tǒng)仿真模型圖

為了驗(yàn)證圖2 給出的仿真模型的正確性，文獻(xiàn)[9]給出的具體算例，取g= 9.8 m/s2，臺(tái)車的目標(biāo)位置、最大速度和加速分別為Pdx= 4 m、υu(píng)b= 1.0 m/s、aub=0.5 m/s2，繩子最大擺角θub= 5°，l= 1.2 m。臺(tái)車加速度選取三段式矩形信號(hào)輸入，通過Simulink 仿真，可得到臺(tái)車運(yùn)動(dòng)位移、運(yùn)動(dòng)加速度和負(fù)載擺角如圖3所示，圖中帶三角符號(hào)為根據(jù)文獻(xiàn)[9]給出的解析表達(dá)式給出的值，點(diǎn)直線為根據(jù)本文Simulink 仿真所得結(jié)果。

圖3 三段式臺(tái)車軌跡示意圖

由圖3 知，采用simulink 仿真模型所得臺(tái)車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合文獻(xiàn)[9]給出的理論解。此外，負(fù)載的擺動(dòng)角度在正負(fù)值間來(lái)回振蕩，且隨著時(shí)間增加，趨勢(shì)并沒有明顯的減弱傾向，表明負(fù)載難于消擺。

3 參數(shù)化討論與仿真分析

3.1 模型驗(yàn)證

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的基于相平面幾何分析的軌跡規(guī)劃方法可知，三種不同參考加速度軌跡作為臺(tái)車輸入?yún)?duì)系統(tǒng)狀態(tài)有一定影響。采用Simulink 對(duì)其進(jìn)一步分析對(duì)比，結(jié)果如圖4 所示，第三種參考軌跡最優(yōu)。

圖4 三種加速度規(guī)劃軌跡下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)示意圖

3.2 參數(shù)討論

為了進(jìn)一步探討繩長(zhǎng)變化對(duì)吊車系統(tǒng)輸出狀態(tài)的影響，采用文獻(xiàn)[9]軌跡進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖5 所示。由圖5 可知，隨著繩長(zhǎng)增加，臺(tái)車軌跡規(guī)劃的最大加速度呈非線性減小的趨勢(shì)，臺(tái)車運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置所需加速時(shí)間及總時(shí)間均呈非線性增大，系統(tǒng)固有頻率呈非線性減小。說明繩子越長(zhǎng)，抑制擺動(dòng)所花的時(shí)間成本越高，且系統(tǒng)抗干擾能力越差，較小頻率的擾動(dòng)極其容易讓系統(tǒng)失穩(wěn)。

圖5 臺(tái)車運(yùn)動(dòng)軌跡控制參數(shù)隨繩長(zhǎng)變化曲線

為了進(jìn)一步對(duì)得到繩長(zhǎng)變化下的系統(tǒng)狀態(tài)，選取四組繩長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真比對(duì)，結(jié)果如圖6 所示。從圖中可以看出，小車運(yùn)動(dòng)軌跡區(qū)別不大，但繩子越長(zhǎng)，擺角震蕩越厲害。并且停止輸入加速度信號(hào)后，負(fù)載的殘擺沒有明顯減弱的趨勢(shì)，說明基于參考軌跡的控制消擺策略在繩子較長(zhǎng)時(shí)效果有待提高。

圖6 四種不同繩長(zhǎng)下臺(tái)車和負(fù)載擺動(dòng)軌跡對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)負(fù)載與臺(tái)車之間的單擺模型給出的耦合關(guān)系，結(jié)合MATLAB 中的Simulink 建立了單擺吊車系統(tǒng)仿真模型，并對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了仿真分析，探討了繩長(zhǎng)變化對(duì)臺(tái)車軌跡規(guī)劃參數(shù)和負(fù)載擺動(dòng)抑制的影響。結(jié)果表明，吊繩越長(zhǎng)，臺(tái)車運(yùn)行時(shí)間成本也越大，負(fù)載的殘余擺動(dòng)也越難得以抑制，當(dāng)?shù)趵K較長(zhǎng)時(shí)，采用該單擺模型對(duì)負(fù)載擺動(dòng)進(jìn)行抑制，控制器的設(shè)計(jì)難度較大，需要考慮更為精確的系統(tǒng)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)。