肖輝 吳云

摘 要：以“直線與圓錐曲線綜合”教學(xué)為例，探討了教學(xué)中的難點(diǎn)和問題，提出了通過突出核心素養(yǎng)、拓寬視野范圍和靈活運(yùn)用方法技巧等策略，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識，提高學(xué)生的解題效率，同時(shí)注重發(fā)展學(xué)生的幾何思想和創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)探索；運(yùn)算方法

直線與圓錐曲線綜合是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，涉及多種幾何圖形和運(yùn)算方法，因此在教學(xué)中往往存在著許多難點(diǎn)和問題.傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往過于強(qiáng)調(diào)運(yùn)算技巧，而忽視了對學(xué)生幾何思想和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情.因此，本文旨在探討如何通過有效的教學(xué)策略和過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識和解題效率，同時(shí)注重發(fā)展學(xué)生的幾何思想和創(chuàng)新能力.

1 直線與圓錐曲線綜合教學(xué)難點(diǎn)與問題

1.1 難點(diǎn)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是較為困難的一部分.學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要掌握其概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何本質(zhì).在概念方面，學(xué)生需要了解何為圓錐曲線；在標(biāo)準(zhǔn)方程方面，學(xué)生需要學(xué)會如何找到突破點(diǎn)以構(gòu)造方程；在幾何本質(zhì)方面，學(xué)生需要理解圓錐曲線的多樣性和靈活性.可以認(rèn)為，圓錐曲線的教學(xué)需要建立在扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上.學(xué)生需要對之前所學(xué)的知識和內(nèi)容有更全面、透徹的理解，以提高遷移學(xué)習(xí)和理解的能力.常規(guī)情況下，每年的高考都會出現(xiàn)涉及圓錐曲線的題目，包括選擇題、填空題和解答題，分值也有所不同.然而，學(xué)生在解答這些題目時(shí)得分率普遍不高.在圓錐曲線的授課過程中，學(xué)生必須依靠綜合與系統(tǒng)性思維進(jìn)行分析，才能夠了解知識點(diǎn)的基礎(chǔ)架構(gòu)，并明確其運(yùn)算應(yīng)用方法［1］.在部分情況下，學(xué)生可能不具備相關(guān)基礎(chǔ)，最終導(dǎo)致題目計(jì)算精確性不足，容易在化簡與變形方面出現(xiàn)問題，最終導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量下降.因此，“直線與圓錐曲線綜合”教學(xué)面臨諸多難點(diǎn)，需要探索有效的授課方式，以達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo).

1.2 問題

1.2.1 過于強(qiáng)調(diào)運(yùn)算技巧

直線與圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中比較重要的知識點(diǎn)，也是學(xué)生普遍認(rèn)為較為困難的一部分.在直線與圓錐曲線的綜合教學(xué)中，往往存在著過于強(qiáng)調(diào)運(yùn)算技巧的問題，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難以掌握其本質(zhì).許多教師往往注重學(xué)生對基礎(chǔ)概念的掌握和運(yùn)算技巧的訓(xùn)練，如方程的推導(dǎo)、參數(shù)的求解等.這些技巧的確是學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線所必須要掌握的，但如果過于強(qiáng)調(diào)技巧，而忽略了其實(shí)際應(yīng)用的本質(zhì)，就會使學(xué)生難以真正理解其內(nèi)涵.

1.2.2 忽視幾何思想和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

在直線與圓錐曲線的綜合教學(xué)中，往往存在著忽視幾何思想和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的問題，導(dǎo)致學(xué)生難以真正掌握其內(nèi)涵和應(yīng)用.一些教師注重學(xué)生對基礎(chǔ)概念的掌握和運(yùn)算技巧的訓(xùn)練，忽視了其幾何思想和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).這樣的教學(xué)方法雖然能夠提高學(xué)生的運(yùn)算能力，但卻難以幫助學(xué)生真正理解其應(yīng)用和意義.直線與圓錐曲線的知識點(diǎn)是具有明顯幾何意義的，而這種幾何意義的理解是學(xué)生們真正掌握其內(nèi)涵和應(yīng)用的關(guān)鍵.因此，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該注重其幾何思想的講解和應(yīng)用，讓學(xué)生能夠真正理解其應(yīng)用和意義.

2 直線與圓錐曲線綜合教學(xué)設(shè)計(jì)策略與流程

2.1 策略

2.1.1 突出核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識

核心素養(yǎng)是新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)之一，包括數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識等方面.在直線與圓錐曲線綜合知識內(nèi)容教學(xué)中，應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識，即通過觀察、分析、推理等方式，在抽象和具體之間建立聯(lián)系，理解并運(yùn)用各種圖形模型來解決問題.例如，在討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，可以利用圖形變換、坐標(biāo)系變換等方法來簡化問題，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質(zhì)；在討論圓錐曲線中的弦長公式時(shí)，可以利用兩點(diǎn)距離公式或者點(diǎn)差法來推導(dǎo)，并引導(dǎo)學(xué)生理解其幾何意義；在討論拋物線焦點(diǎn)弦長時(shí)，可以利用對稱性或者角度關(guān)系來求解，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與正弦函數(shù)之間的聯(lián)系［2］.通過此類方式，達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力.

2.1.2 拓寬視野范圍，激發(fā)學(xué)生的探究興趣

直線與圓錐曲線不僅是純粹的數(shù)學(xué)概念和工具，也是自然界和人類文明中廣泛存在和應(yīng)用的對象.在直線與圓錐曲線綜合知識內(nèi)容教學(xué)中，應(yīng)該拓展視野范圍，引入一些跨領(lǐng)域或者實(shí)際情境中的例子和問題，激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)本身與其他領(lǐng)域之間聯(lián)系的探究興趣.例如，在介紹圓錐曲線時(shí)，可以從天文知識出發(fā)，利用衛(wèi)星軌道或者行星軌道來引入橢圓或者雙曲線；在介紹直線與圓錐曲線相交時(shí)，可以從工程設(shè)計(jì)出發(fā)，利用橋梁結(jié)構(gòu)或者建筑物輪廓來引入拋物線；在介紹垂徑定理時(shí)，可以從藝術(shù)欣賞出發(fā)，利用畫家作品中使用透視法來引入平行投影.此類方式可以有效強(qiáng)化學(xué)生探索問題的興趣，讓他們真正參與到課堂中，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量教學(xué)的目標(biāo).

2.1.3 提高解題處理靈活性，增加基礎(chǔ)探索效率

直線與圓錐曲線相關(guān)聯(lián)的問題，往往涉及到方程的求解、圖形的繪制、性質(zhì)的應(yīng)用等方面.在直線與圓錐曲線綜合知識內(nèi)容教學(xué)中，應(yīng)該靈活運(yùn)用方法技巧，提高解題效率.例如，在求解直線與圓錐曲線相交時(shí)，可以利用韋達(dá)定理或者因式分解來簡化計(jì)算；在繪制圓錐曲線時(shí)，可以利用對稱性或者漸近線來輔助作圖；在應(yīng)用圓錐曲線性質(zhì)時(shí)，可以利用垂徑定理或者焦點(diǎn)性質(zhì)來簡化問題.同時(shí)，也要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣，幫助學(xué)生養(yǎng)成方法論意識，讓他們能夠從多個(gè)角度和層次去分析和解決問題.

2.2 過程

2.2.1 引入

直線與圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中比較重要的兩個(gè)概念，學(xué)生需要掌握它們的定義、性質(zhì)和應(yīng)用.為了讓學(xué)生更好地理解這兩個(gè)概念，可以采用實(shí)際問題或歷史背景來引出“直線與圓錐曲線綜合”的相關(guān)問題，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.例如，在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常需要設(shè)計(jì)一些物體，比如建筑、汽車、船舶等.這些物體往往具有不同的形狀和曲線，而其中很多曲線都可以用圓錐曲線來描述.比如，汽車的車輪和船舶的船身都可以用橢圓來描述，而建筑中的拱形和穹頂也可以用圓錐曲線來描述［3］.此外，在設(shè)計(jì)中，直線也是一個(gè)非常重要的概念，因?yàn)橹本€可以用來描述物體的邊界、對稱軸、法線等等.在歷史背景方面，可以介紹古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的一個(gè)著名問題：“如何用圓錐曲線來構(gòu)造一個(gè)立體，使得這個(gè)立體具有相同的截面？”這個(gè)問題被稱為圓錐曲線綜合問題，它引發(fā)了人們對圓錐曲線的研究，推動了幾何學(xué)的發(fā)展.通過這些實(shí)際問題和歷史背景的介紹，可以讓學(xué)生更好地理解直線和圓錐曲線的重要性和應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)他們的好奇心和求知欲，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

2.2.2 探究

直線與圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中非常重要的概念，對于學(xué)生來說，通過探究直線與圓錐曲線綜合問題的解法和性質(zhì)，可以更深刻地理解這些概念，從而提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，教師可以采用探究式教學(xué)的方法，引導(dǎo)學(xué)生通過分組合作或個(gè)人自主學(xué)習(xí)，利用已有知識或網(wǎng)絡(luò)資源，探索直線與圓錐曲線綜合問題的解法和性質(zhì).在這個(gè)過程中，教師應(yīng)該充當(dāng)指導(dǎo)者的角色，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究和發(fā)現(xiàn)問題的解法和性質(zhì).例如，教師可以提出一個(gè)具體的問題，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論和探究，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題的解法和性質(zhì)，同時(shí)教師也可以提供相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)資源和參考資料，讓學(xué)生能夠更好地理解和掌握知識.此外，教師還可以通過分組合作的方式，讓學(xué)生在小組內(nèi)互相協(xié)作，共同探究問題，讓學(xué)生在合作中學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作.在小組合作中，學(xué)生可以相互討論問題的解法和性質(zhì)，相互協(xié)作完成任務(wù)，從而提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)和協(xié)作能力.

2.3 討論

在學(xué)生通過探究直線與圓錐曲線綜合問題的解法和性質(zhì)之后，教師可以采用展示、交流或辯論等方式，讓學(xué)生分享自己的發(fā)現(xiàn)和感受，比較不同解法的優(yōu)劣，歸納總結(jié)規(guī)律，從而鞏固和深化學(xué)生的知識.展示是一種有效的教學(xué)方式，可以讓學(xué)生將自己的發(fā)現(xiàn)和成果展示出來，以便其他同學(xué)和教師的反饋和評價(jià).在展示的過程中，學(xué)生可以分享自己的思考過程、解題方法和答案，同時(shí)可以借鑒其他同學(xué)的解題方法，進(jìn)一步提高自己的解題能力［4］.教師在展示過程中也可以提出一些問題或提供一些思路，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探究問題.交流是一種互動性強(qiáng)的教學(xué)方式，可以促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作.在交流的過程中，學(xué)生可以分享自己的經(jīng)驗(yàn)和感受，從其他同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提高自己的思維和解題能力.教師在交流的過程中可以提出一些問題或引導(dǎo)學(xué)生探究問題，同時(shí)可以幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，加深學(xué)生的理解和掌握.

辯論是一種討論和交流的方式，可以幫助學(xué)生深入思考和探究問題.在辯論的過程中，學(xué)生可以對不同解法的優(yōu)劣進(jìn)行比較和辯論，以進(jìn)一步掌握和應(yīng)用知識.教師在辯論的過程中可以提出一些問題或引導(dǎo)學(xué)生辯論，同時(shí)可以幫助學(xué)生總結(jié)和歸納規(guī)律，深化學(xué)生對知識的理解和掌握.通過展示、交流或辯論等方式，讓學(xué)生分享自己的發(fā)現(xiàn)和感受，比較不同解法的優(yōu)劣，歸納總結(jié)規(guī)律，是一種有效的教學(xué)方法，可以促進(jìn)學(xué)生的思考和探究，加深學(xué)生對知識的理解和掌握，提高學(xué)生的解題能力和綜合素養(yǎng).

2.4 應(yīng)用

在直線與圓錐曲線綜合部分的應(yīng)用教學(xué)中，設(shè)計(jì)有趣或有挑戰(zhàn)性的實(shí)際問題或高考真題，可以幫助學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，檢驗(yàn)自己的理解和掌握程度，提高學(xué)生的解題能力和綜合素養(yǎng).在設(shè)計(jì)實(shí)際問題的過程中，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況或興趣愛好，設(shè)計(jì)直線與圓錐曲線相關(guān)的問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.通過解決實(shí)際問題，學(xué)生可以增強(qiáng)對知識的理解，并能進(jìn)一步加深對知識的理解和記憶.

設(shè)計(jì)高考真題是一種檢驗(yàn)學(xué)生掌握程度的方式，可以幫助學(xué)生了解考試題型和難度，提高學(xué)生的應(yīng)試能力.在設(shè)計(jì)高考真題的過程中，教師可以選擇直線與圓錐曲線相關(guān)的真題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題［5］.通過解決高考真題，學(xué)生可以了解考試要求和難度，加深對知識的理解，同時(shí)還能提高學(xué)生的應(yīng)試能力和信心.

3 教學(xué)案例分析

在課程授課階段，教師首先需要明確教學(xué)目標(biāo).“直線與圓錐曲線綜合”應(yīng)當(dāng)使學(xué)生了解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其幾何意義，并掌握求解直線與圓錐曲線交點(diǎn)、切點(diǎn)、切線方程等問題的方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用直線與圓錐曲線知識解決實(shí)際問題和高考問題的能力.教學(xué)內(nèi)容通常包括直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系；直線與圓錐曲線交點(diǎn)、切點(diǎn)、切線方程的求法；直線與圓錐曲線綜合問題的解法.

在引入環(huán)節(jié)，教師可以通過展示一張火山口照片，引出火山口形狀是由直線與拋物面相交而成的，引導(dǎo)學(xué)生思考如何求出直線與拋物面相交時(shí)所得圖形（即拋物線）的方程，并讓他們聯(lián)想到其他類似情況，如直線與球面相交（即橢圓）、直線與雙曲面相交（即雙曲線）等，激發(fā)他們對本節(jié)內(nèi)容的興趣和好奇心.隨后，即可進(jìn)入探究環(huán)節(jié).通過分組合作或個(gè)人自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)生利用已有知識或網(wǎng)絡(luò)資源，探索以下幾個(gè)問題：如何判斷一條直線和一條圓錐曲線是否相交、相切或相離？如何求出一條直線和一條圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)？如何求過圓錐曲線上一點(diǎn)，并分該圓錐曲線相切的直線方程如何利用以上知識解決實(shí)際問題或高考題？

等待學(xué)生完成問題探究后，教師應(yīng)當(dāng)繼續(xù)開展討論教學(xué)環(huán)節(jié)，通過展示、交流或辯論等方式，讓學(xué)生分享自己的發(fā)現(xiàn)和感受，比較不同方法的優(yōu)劣，歸納總結(jié)規(guī)律.例如：直接代入法和韋達(dá)定理法哪種方法更簡便？為什么？求切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)為什么要先求出焦半徑？有沒有其他方法？求切線方程時(shí)為什么要用到導(dǎo)數(shù)？有沒有其他方法？解決實(shí)際問題或高考題時(shí)要注意哪些要點(diǎn)？有沒有經(jīng)驗(yàn)或技巧？

通過深入討論，學(xué)生能夠總結(jié)相關(guān)知識點(diǎn)內(nèi)容，為應(yīng)用學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.應(yīng)用教學(xué)階段，教師可以通過設(shè)計(jì)有趣或有挑戰(zhàn)性的實(shí)際問題或高考真題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，檢驗(yàn)自己的理解和掌握程度.最后，教師應(yīng)當(dāng)開展總結(jié)教學(xué).通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，可以讓學(xué)生對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、交點(diǎn)、切點(diǎn)、切線方程等問題產(chǎn)生更深入的理解，同時(shí)也提高了他們的實(shí)際問題解決能力和高考應(yīng)試水平，具有重要借鑒價(jià)值.

綜上所述，本文以“直線與圓錐曲線綜合”教學(xué)為例，提出了一些解決教學(xué)難點(diǎn)和問題的策略和流程.有效的教學(xué)策略和流程，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和興趣有著重要的作用，本文提出了相關(guān)策略，并研究了教學(xué)案例，希望能夠?qū)?shí)踐授課有所啟示和幫助.

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