孫青

摘要：隨著數(shù)學(xué)新課程改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)審美教育的研究受到越來越多的關(guān)注.如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)審美教育，引導(dǎo)學(xué)生去感悟、體會、傳遞數(shù)學(xué)之美，成為迫切需要解決的問題.研究基于“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)，探究數(shù)學(xué)審美教育的實施路徑，以“傳遞美”為目標(biāo)，以“圖形”為載體，通過GeoGebra動態(tài)圖形助力課堂教學(xué)，讓學(xué)生在直觀的、動態(tài)的、充滿新意的課堂學(xué)習(xí)中去感悟、體會、傳遞數(shù)學(xué)之美，進(jìn)而把數(shù)學(xué)教學(xué)由知識的傳授、思維的培養(yǎng)推向一個更高的平臺.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；審美教育；課堂教學(xué)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：“沒有審美教育，就沒有任何教育.”審美教育是素質(zhì)教育的重要組成部分.隨著數(shù)學(xué)新課程改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)審美教育的研究受到越來越多的關(guān)注.數(shù)學(xué)審美教育又稱“數(shù)學(xué)美學(xué)教育”，它是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力、激發(fā)學(xué)生的審美情趣、樹立學(xué)生的審美理想為目標(biāo)的教育.那么如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)審美教育，引導(dǎo)學(xué)生去感悟、欣賞數(shù)學(xué)之美呢？本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為研究對象，探究數(shù)學(xué)審美教育的實施路徑，通過GeoGebra（下文簡稱GGB）動態(tài)圖形助力課堂教學(xué)，讓學(xué)生在直觀的、動態(tài)的、充滿新意的課堂學(xué)習(xí)中掌握橢圓的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程，感悟數(shù)學(xué)美的本質(zhì)，欣賞數(shù)學(xué)之美.

1教材的地位和作用

本節(jié)內(nèi)容選自蘇教版普通高中教科書選擇性必修第一冊第3章第1節(jié)，它以“展示背景、建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線”為主線，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問題情境中抽象出橢圓的過程為教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)而掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.不僅突出了解析幾何里曲線方程與方程曲線相聯(lián)系、函數(shù)與圖形相結(jié)合的重要思想，同時還與前面章節(jié)的圓及后面章節(jié)的雙曲線、拋物線等知識的研究有很多相似之處，所以，從教材結(jié)構(gòu)上來說，它起到了承上啟下的作用，從研究方法上來說，反映了數(shù)學(xué)和諧的統(tǒng)一美.

2挖掘教材，把握數(shù)學(xué)美的特征

“一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)美分為生活中的美和思維領(lǐng)域的美，包括數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式、應(yīng)用形式、文化價值，以及思維領(lǐng)域的統(tǒng)一、和諧、簡潔、奇異、邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)戎T多方面.”數(shù)學(xué)美在形成人類的理性思維和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、別的學(xué)科不可替代的作用，這正是數(shù)學(xué)的魅力所在.而“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)則是體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的有效載體，具體表現(xiàn)為奇異美、對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美和嚴(yán)謹(jǐn)美.

2.1奇異美

奇異美指的是數(shù)學(xué)中存在著許多“奇異”的現(xiàn)象，它們會在令人“驚異”之余，給我們帶來無限遐想.如：在立體幾何中，用一個平面（不經(jīng)過圓錐的頂點）去截一個圓錐面，當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時，平面與圓錐面的交線是一個圓.若改變平面的位置時，平面與圓錐面的交線則會是橢圓、拋物線或雙曲線.這是一個非常奇妙的現(xiàn)象.

2.2對稱美

世間萬物都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)關(guān)系，有著豐富的對稱美.對稱美是為人們比較容易感知的，它是一種形式上的美，能給人們一種勻稱的美感.數(shù)學(xué)中的對稱美不僅體現(xiàn)在圖形上，還體現(xiàn)在代數(shù)上.幾何學(xué)中的軸對稱圖形、中心對稱圖形都能給人以舒適美觀之感，而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的奇妙之處就在于它在圖形上既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在代數(shù)上也能給人以對稱美之感受.

2.3簡潔美

簡潔美表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的符號、公式、概念、推理過程以及思想方法等各個方面.而它在高中數(shù)學(xué)新教材中則主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)、形式和方法上，將復(fù)雜的實際問題或者圖形劃歸為簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式.如：橢圓定義的奇妙之處就在于它不僅能用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行文字表述，即：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距.還能用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行符號表示，即：PF1+PF2=2a（2a>F1F2），其中，PF1表示動點P到定點F1的距離，PF2表示動點P到定點F2的距離，2a表示距離之和，F(xiàn)1F2表示焦距.這樣，用符號語言表示橢圓的定義，它表達(dá)的既簡潔，又方便學(xué)生去記憶.

2.4統(tǒng)一美

畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過：“凡是美的東西都具有一個共同特征，這就是部分與部分之間，以及整體之間固有的協(xié)調(diào)一致.”這說的就是統(tǒng)一美，其通常表現(xiàn)為概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一、數(shù)學(xué)與其它科學(xué)的統(tǒng)一.如：在研究橢圓的方程時，可以類比圓的研究過程，按照“建立平面直角坐標(biāo)系→設(shè)動點的坐標(biāo)→找限定條件→代入點的坐標(biāo)→化簡”這五個步驟去推導(dǎo)橢圓的方程，這說明橢圓與圓在研究方法上具有統(tǒng)一性，反映了數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一之美.

3基于審美教育的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實踐

3.1創(chuàng)設(shè)動態(tài)直觀的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)學(xué)生的審美興趣，感悟數(shù)學(xué)之美

問題情境1生活中有很多形狀的物品，同學(xué)們能列舉出哪些是橢圓形狀的物品嗎？太陽系中行星的運行軌跡又是什么樣的呢？

學(xué)生說出生活中常見的橢圓形物品，并且描述太陽系中行星的運行軌跡后，教師利用多媒體展示天體運行的動態(tài)圖形，通過生活中常見的橢圓物品和行星運行的動態(tài)圖形，引導(dǎo)學(xué)生對橢圓產(chǎn)生直觀的感知.

設(shè)計意圖：觀察生活中的橢圓和行星的運行軌跡，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)美，能夠激發(fā)學(xué)生研究橢圓的審美興趣.

問題情境2在生活中有很多橢圓形狀的物品，那么在數(shù)學(xué)中有沒有呢？在蘇教版普通高中教科書必修第二冊專題“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究”中，用一個平面（不經(jīng)過圓錐的頂點）去截一個圓錐面，當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時，平面與圓錐面的交線是一個圓.改變平面的位置時，那么平面與圓錐面的交線是什么形狀呢？

學(xué)生思考平面與圓錐面的交線可能是哪些形狀，并發(fā)表自己的觀點.教師利用GGB動態(tài)演示平面與圓錐面交線的形狀，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，改變平面的位置時，平面與圓錐面的交線可能是橢圓、拋物線和雙曲線（如圖1）.

設(shè)計意圖：通過舊知識，引出新問題，讓學(xué)生去回憶蘇教版普通高中教科書必修第二冊專題“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究”的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，并借助GGB立體動態(tài)圖形演示平面與圓錐面交線的不同情形，能夠直觀的、動態(tài)的幫助學(xué)生了解交線的三種情況，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的審美情趣，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)的奇異之美.

問題情境3改變平面的位置時，平面與圓錐面的交線什么時候是橢圓？什么時候是拋物線？什么時候是雙曲線？

教師運用GGB立體動態(tài)圖形再次演示平面與圓錐面交線的變化情況，設(shè)圓錐母線與軸所成的夾角為θ，平面與圓錐軸所成角為α0<α<π/2.學(xué)生進(jìn)行觀察，教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，得出結(jié)果有以下三種情形：

第一種情形，當(dāng)θ<α<π/2時，平面與下圓錐的所有母線都相交，與上圓錐不相交，平面與圓錐面的交線是一條封閉的曲線，我們稱之為橢圓.

第二種情形，當(dāng)θ=α?xí)r，平面與下圓錐一條母線不相交，其余母線都相交，與上圓錐不相交，平面與圓錐面的交線是一條不封閉的曲線，我們稱之為拋物線.

第三種情形，當(dāng)θ>α?xí)r，平面與上、下圓錐都相交，且上、下圓錐都有無數(shù)條母線與平面不相交，平面與圓錐面的交線是兩條不封閉的曲線，我們稱之為雙曲線.

橢圓、拋物線、雙曲線，統(tǒng)稱為圓錐曲線.

設(shè)計意圖：利用GGB立體動態(tài)圖形，讓學(xué)生觀察平面與圓錐面交線的變化規(guī)律，尋找圓錐母線與軸所成的夾角θ和平面與圓錐軸所成角α0<α<π/2之間的關(guān)系，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一之美和思維嚴(yán)謹(jǐn)之美.

問題情境4聯(lián)想生活中的經(jīng)驗，當(dāng)我們把一個有水的水杯放在桌面上時，它的正截面是一個圓；當(dāng)我們把水杯傾斜時，它的斜截面則不是圓，而是一個橢圓.圓的幾何特征是圓上各點到圓心的距離相等，那么由斜截圓錐面所得的圖形是否也具有類似的幾何特征呢？

在斜截面的兩側(cè)分別放置一個球，使它們都與截面相切（切點分別為F1，F(xiàn)2），且與圓錐面相切，兩球與圓柱面的公共點分別構(gòu)成圓O1和圓O2（如圖2）.

設(shè)點P是斜截面與圓柱面的截線上任一點，過點P作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2于M，N兩點，則PM和PF1，PN和PF2分別是球O1和球O2的切線.因為過球外一點作球的切線，則切線長相等，所以

PF1=PM，PF2=PN，

故PF1+PF2=PM+PN=MN.

因為MN為圓錐的母線，所以線段MN是一個常數(shù).也就是說，截線上任意一點到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于一個常數(shù)（如圖3）.

學(xué)生通過觀察圖形和推理過程得到橢圓的幾何特征：一個橢圓具有兩個定點F1，F(xiàn)2，使得橢圓上任意一點到這兩個焦點的距離之和等于常數(shù).

設(shè)計意圖：聯(lián)想生活中的經(jīng)驗，類比圓的幾何特征，來猜想橢圓是否也有類似的幾何特征，這反映了圓與橢圓之間具有統(tǒng)一之美；再通過GGB立體動態(tài)圖形，用數(shù)學(xué)的語言來推理論證交線與橢圓幾何特征之間的聯(lián)系，能夠讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美.

問題情境5平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡一定是橢圓嗎？如果是橢圓，是否還需滿足別的條件？

3.2開展數(shù)學(xué)實驗，探索橢圓定義的形成過程，體會數(shù)學(xué)之美

實驗1老師讓學(xué)生拿出課前事先準(zhǔn)備好的一塊圖版、一根定長的細(xì)繩和兩枚圖釘，按要求進(jìn)行動手畫圖.

第一步：將兩圖釘固定在同一點，拉緊繩子，移動筆尖，這時候發(fā)現(xiàn)筆尖（動點）畫出的圖形（軌跡）是一個圓；

第二步：蔣兩枚圖釘分別固定在兩點（兩點間的距離要小于繩子的長度），拉緊繩子，移動筆尖，這時候發(fā)現(xiàn)筆尖畫出的圖形是一個橢圓；改變兩定點間的距離，多嘗試幾次（兩點間的距離始終要小于繩子的長度），這時候發(fā)現(xiàn)筆尖畫出的圖形是扁平程度不同的橢圓；

第三步：拉緊繩子，將繩子的兩端分別固定在圖釘上，使得兩圖釘間的距離等于繩子的長度，這時候發(fā)現(xiàn)筆尖畫出的圖形是一條線段.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生按4人一小組開展數(shù)學(xué)實驗，通過探索實驗，能夠讓學(xué)生初步對橢圓所要滿足的條件有一定的了解，同時也能體會到學(xué)習(xí)橢圓知識的樂趣，在實驗中體會數(shù)學(xué)的奇異之美.

實驗2教師借助GGB動態(tài)模擬演示橢圓的繪制過程，讓學(xué)生再一次體會兩定點間的距離與定長之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：應(yīng)用GGB的動態(tài)軌跡跟蹤功能，能夠幫助學(xué)生直觀地、動態(tài)地觀察橢圓上動點P的運動規(guī)律，使學(xué)生感受橢圓定義的發(fā)展過程，加深學(xué)生對橢圓定義的理解，體會數(shù)學(xué)之美.

問題情境6通過上述兩個實驗，同學(xué)們能否歸納出橢圓上動點P需要滿足什么樣的幾何條件？

學(xué)生根據(jù)自己的實驗，并且結(jié)合觀察老師用GGB演示的橢圓形成的動態(tài)圖形，比較容易發(fā)現(xiàn)：

① 當(dāng)動點P到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和大于兩個定點間的距離時，動點P的軌跡是一個橢圓（如圖4）；

② 當(dāng)動點P到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于兩個定點間的距離時，動點P的軌跡是一條線段（如圖5）；

③ 當(dāng)動點P到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和小于兩個定點間的距離時，動點P的軌跡不存在（如圖6）.

進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距即F1F2=2c.而PF1+PF2=2a（2a>F1F2），其中，PF1表示動點P到定點F1的距離，PF2表示動點P到定點F2的距離，2a表示距離之和.

設(shè)計意圖：學(xué)生通過歸納總結(jié)得出橢圓的定義，將實驗結(jié)論歸納抽象成為數(shù)學(xué)問題，揭示橢圓定義的數(shù)形關(guān)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)之美.

3.3自主探究，化繁為簡推導(dǎo)橢圓的方程，傳遞數(shù)學(xué)之美

問題情境7同學(xué)們，現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義，前面我們知道圓是在平面直角坐標(biāo)系中建立方程的基礎(chǔ)上來研究的，圓錐曲線都有其對應(yīng)的方程，橢圓也不例外，那么，你認(rèn)為怎樣去給橢圓建立平面直角坐標(biāo)系最合理？才能使所得方程更簡潔、更美觀呢？

引領(lǐng)學(xué)生一起回顧圓的方程在平面直角坐標(biāo)系中的探究過程，類比這一過程，尋找最合理的給橢圓建立平面直角坐標(biāo)系的方法，大部分學(xué)生以兩焦點F1，F(xiàn)2的連線作為x軸，線段F1F2的中垂線作為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy；但也有少數(shù)幾個學(xué)生以F1，F(xiàn)2所在直線作為y軸，線段F1F2的垂直平分線作為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，或者以橢圓的某一個焦點為原點來建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對圓的方程探究過程的回顧，既能夠讓學(xué)生合理選擇建立平面直角坐標(biāo)系的方法，又能夠為學(xué)生按正確步驟來推導(dǎo)，為用簡潔、合理的代數(shù)式來表示橢圓的方程作鋪墊；通過學(xué)生自己動手選擇建系方案，能夠讓他們感受到數(shù)學(xué)圖形的對稱美、形式美和統(tǒng)一美，很好地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

問題情境8類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，我們?nèi)绾稳ネ茖?dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

學(xué)生先回憶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的步驟：建立平面直角坐標(biāo)系→設(shè)動點的坐標(biāo)→找限定條件→代入點的坐標(biāo)→化簡，簡稱“建、設(shè)、限、代、化”.然后按照這五個步驟來推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.其過程如下：

以F1，F(xiàn)2所在直線作為x軸，線段F1F2的垂直平分線作為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

設(shè)動點P（x，y）為橢圓上任意一點，F(xiàn)1F2=2c，則F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），

根據(jù)橢圓的定義可知PF1+PF2=2a（2a>2c），

即（x+c）2+y2+（x－c）2+y2=2a（2a>2c），

將這個方程移項后兩邊平方，得

（x+c）2+y2=4a2－4a（x－c）2+y2+

（x－c）2+y2（2a>2c），

整理得a2－cx=a（x－c）2+y2（2a>2c），

兩邊再平方，得

a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2，

因為a2－c2>0，所以可設(shè)a2－c2=b2（b>0），

于是得b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0），

兩邊同除以a2b2，得x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由上述過程可知，橢圓上的任意一點P（x，y）都滿足上面的這個方程，反過來，也可以證明上面這個方程的解（x，y）都在已知橢圓上.

這樣，焦點為F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）的橢圓方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

類似地，焦點為F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c）的橢圓的方程

y2a2+x2b2=1（a>b>0）.

以上這兩種方程我們都叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中b2=a2+c2.

設(shè)計意圖：通過類比圓的研究讓學(xué)生來推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，說明圓與橢圓之間的探究方法具有一定的統(tǒng)一性與和諧性，能夠讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一、和諧之美.通過“建、設(shè)、限、代、化”這五個步驟把橢圓的方程用一個簡潔、合理的代數(shù)式表達(dá)出來，能夠讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)符號語言的簡潔之美.

4基于審美教育課堂教學(xué)的一點思考

普羅克洛斯認(rèn)為：“哪里有數(shù)，哪里就有美”.一個符號、一個公式、一個概念、一條曲線、一個圖形、一種思想、一個方法，無不蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)美.由于高中生容易受到知識水平和生理、心理等因素的影響，在學(xué)習(xí)過程中很容易忽視數(shù)學(xué)美的存在，更不要說數(shù)學(xué)審美了.因此激發(fā)學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力、樹立健康的審美理念刻不容緩.為此可以開設(shè)了“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”這節(jié)研究課.

在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者首先通過生活中橢圓形狀的物體，并利用多媒體展示太陽系中天體運行的動態(tài)圖形，讓學(xué)生對橢圓產(chǎn)生了一定的直觀感知，激發(fā)學(xué)生的審美興趣，感悟生活中的數(shù)學(xué)之美.然后以知識回顧為導(dǎo)向，GGB動態(tài)演示平面與圓錐面交線之間的變化規(guī)律，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的審美興趣，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中的奇異美.緊接著，讓學(xué)生經(jīng)歷動手實踐操作，GGB動態(tài)演示橢圓生成的過程，探索橢圓定義的形成過程，體會數(shù)學(xué)之美.最后，類比圓的方程探究過程，按照“建立平面直角坐標(biāo)系→設(shè)動點的坐標(biāo)→找限定條件→代入點的坐標(biāo)→化簡”這五個步驟，在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生自己去推導(dǎo)橢圓的方程，傳遞數(shù)學(xué)之美.通過這樣一個過程，將數(shù)學(xué)美的特征貫穿于“橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程”的課堂教學(xué)中，為學(xué)生練就一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的“慧眼”，更是為學(xué)生提供歷經(jīng)“感悟美”“體會美”“傳遞美”的平臺，體會數(shù)學(xué)知識的“活力”與“魅力”，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，從而提高學(xué)生專研數(shù)學(xué)的精神，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，把數(shù)學(xué)教學(xué)由知識的傳授、思維的培養(yǎng)推向一個更高的平臺.

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［3］ 陳建權(quán).基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)美育教學(xué)實踐研究——以“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”為例.［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報（基礎(chǔ)教育版），2022（23）：6.

［4］ 周建鋒. 挖掘橫向聯(lián)系，構(gòu)建研究型課堂——以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（8）：20.

［5］ 吳啟霞. GeoGebra助力高中數(shù)學(xué)問題解決課堂教學(xué)的實踐研究——以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課的教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2022（15）：76.