金正嬌 劉熙

摘 要：HPM視角下的教學是當今教育的一大革新.“二項式定理”蘊含著濃厚的數(shù)學文化底蘊，其發(fā)展源遠流長.本文追溯二項式定理的發(fā)展歷程，并對其進行重構式教學運用.首先，以法國數(shù)學家蒙特摩爾的籌碼游戲為切入點，猜想二項式定理，感受數(shù)學的探究之樂；其次，采用“組合數(shù)分析法”和意大利數(shù)學家卡斯蒂隆的“先異后同法”證明二項式定理，幫助學生形成數(shù)學理性思維；再次，借助楊輝三角探究二項式系數(shù)的性質，既加強數(shù)與形的結合，又傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；最后，設計具有綜合性、探究性、啟發(fā)性的課后作業(yè)，深化基礎知識，啟迪數(shù)學思考.

關鍵詞：HPM；二項式定理；中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；教學設計

1 教材分析

“二項式定理”選自人教A版選擇性必修第三冊第六章第三節(jié)，解決二項n次式的展開問題，與初中代數(shù)知識密切聯(lián)系，是繼高中排列與組合之后的學習內容.在牛頓發(fā)明微積分的過程中，二項式定理的發(fā)現(xiàn)是一個關鍵節(jié)點［1］，二項式定理也是連接初等數(shù)學與高等數(shù)學的一座橋梁，因而二項式定理貫穿了初中—高中—大學階段.

2 學情分析

學生在初中階段已經(jīng)掌握了多項式的乘法法則，在高中階段的同章前兩節(jié)已經(jīng)學習了分步乘法計數(shù)原理和組合數(shù)的相關知識，具備從組合的視角思考問題和分析問題的能力；已經(jīng)學習了數(shù)學歸納法，具備一定的抽象概括和歸納能力.

3 教學目標

① 掌握二項式定理、二項展開式的通項公式，會求二項式特定的項和系數(shù)，會應用二項式系數(shù)的基本性質；

② 從二項式定理的歷史軌跡出發(fā)，引導學生得出二項式定理，歸納二項式系數(shù)的基本性質，體會歸納—猜想—論證的思想方法，培養(yǎng)學生的探究能力和邏輯思維能力；

③ 從二項式定理的相關歷史出發(fā)，培養(yǎng)學生的數(shù)學文化素養(yǎng)和嚴謹求實、堅持不懈的探究精神.

4 教學重難點

教學重點：二項式定理的得出、二項式系數(shù)的性質總結.

教學難點：二項式定理的推導、二項式系數(shù)與組合知識的聯(lián)系.

5 教學過程

5.1 創(chuàng)設情境，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

【設計意圖】在歷史上，德國數(shù)學家萊布尼茨和瑞士數(shù)學家約翰·伯努利將正整數(shù)次冪的二項式定理推廣到三項以上情形，實現(xiàn)了二項式定理的多元推廣，實現(xiàn)了定理的“橫向”推廣，即“元”的推廣.以歷史定理進行設問，培養(yǎng)學生的推理論證和邏輯思維能力，繼續(xù)探究多元多項式的展開，讓學生領略古人的杰出成就，感受數(shù)學文化，實現(xiàn)知識層面的進一步飛躍，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力［6］.

參考文獻：

［1］ 宋軍，吳現(xiàn)榮.源于數(shù)學史，教學更自然——二項式定理教學設計［J］.福建中學數(shù)學，2017（11）：1417.

［2］ 歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術出版社，2003.

［3］ 汪曉勤，韓祥臨.中學數(shù)學中的數(shù)學史［M］.北京：科學出版社，2002.

［4］ 李文林.數(shù)學史概論（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［5］ 人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中數(shù)學教科書選擇性必修第三冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.