張楠 吳立寶 劉忠新

摘 要：對《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》初中“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容與《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》進行比較，研究發(fā)現(xiàn)：在達成核心素養(yǎng)導向下課程目標的過程中，新課標將“圖形與幾何”領(lǐng)域三大主題中的內(nèi)容要求進行優(yōu)化.針對不同內(nèi)容主題，應(yīng)借助演繹證明探索“圖形的性質(zhì)”，借助運動變化剖析“圖形的變化”，借助量化分析研究“圖形與坐標”，力求將核心素養(yǎng)貫徹落實到促進結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容呈現(xiàn)及實施中.

關(guān)鍵詞：義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）；圖形與幾何；比較研究；核心素養(yǎng)

聚焦《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（簡稱《2022年版課標》）與《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（簡稱《2011年版課標》），針對初中“圖形與幾何”領(lǐng)域，基于核心素養(yǎng)導向分析其內(nèi)容變化與價值意蘊，并針對該部分內(nèi)容給出教學建議，以期最大程度地發(fā)揮課程標準對于教學的指導作用.

1 以核心素養(yǎng)視角觀主題

在初中階段，“圖形與幾何”領(lǐng)域主要以發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力、推理能力為核心.［1］學生在小學階段初步認識立體圖形和平面圖形的基礎(chǔ)上，進一步在初中階段學習圖形與幾何，通過學習“圖形的性質(zhì)”，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.同時，在實踐探究中，學生可以處理直接和間接經(jīng)驗之間的關(guān)系.通過學習“圖形的變化”，學生可以從運動的觀點理解圖形在運動變化中的變與不變.學習“圖形與坐標”可以幫助學生探索數(shù)學研究的新視角.學生在學習三大主題內(nèi)容的過程中，將演繹證明、運動變化、量化分析貫穿始終，這樣的學習過程有助于學生在空間觀念的基礎(chǔ)上進一步建立幾何直觀，提升學生的抽象能力和推理能力.

在“圖形的性質(zhì)”主題中，強調(diào)以基本事實為出發(fā)點，推導圖形的幾何性質(zhì)和定理，以實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)與推理論證為落腳點，［2］培養(yǎng)學生會用幾何眼光觀察現(xiàn)實世界，用幾何思維思考現(xiàn)實世界，用幾何語言表達現(xiàn)實世界，其中尺規(guī)作圖便是進行動手實踐操作實現(xiàn)直接經(jīng)驗獲得的一大重要路徑.《2022年版課標》更為強調(diào)實驗探究與直觀發(fā)現(xiàn)的重要性，為了落實幾何直觀、抽象能力等素養(yǎng)，同時發(fā)展創(chuàng)新意識，重點強調(diào)實驗探究與直觀發(fā)現(xiàn)，將實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證作為學生的三個認識層次，前者為后者奠定基礎(chǔ)，層層遞進，穩(wěn)步提升.課程內(nèi)容緊密圍繞數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，著重強調(diào)其所涉獵的應(yīng)用領(lǐng)域，通過實物和模型，探索從物體中抽象出來的點線面角以及幾何體的概念與性質(zhì)，重視抽象能力的培養(yǎng)，進一步促進落實幾何直觀，還為發(fā)展創(chuàng)新意識奠基.

“圖形的變化”主題強調(diào)從運動變化的觀點研究圖形，理解“變化中的規(guī)律性”與“變化中的不變性”是學習該部分最為關(guān)鍵的要義.［3］其不變最基本的就是距離與角度的不變性，因此軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移的共同特征是“保距性與保角性”，在呈現(xiàn)知識內(nèi)容時要注重數(shù)學知識與方法的層次性和多樣性，力求培養(yǎng)學生將文字形式描述的圖形的變化過程在腦海中以動態(tài)形式浮現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上發(fā)展幾何直觀與抽象能力.這種不變性在直觀上較易理解，關(guān)鍵在于考查學生如何用數(shù)學的方法進行嚴謹刻畫，針對課程內(nèi)容的組織，既要處理好直觀與抽象的關(guān)系，同時要對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，不斷探索發(fā)展學生核心素養(yǎng)的新思路.學習此部分的關(guān)鍵在于找準變化中的不變量，以靜制動，靈活切換圖形的動與靜，并將幾何語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學語言.同時關(guān)注數(shù)學學科發(fā)展前沿，在選擇課程內(nèi)容時關(guān)注該部分所涉及的數(shù)學文化，逐漸拓展和加深課程內(nèi)容.

“圖形與坐標”是指利用坐標系并用代數(shù)方法來研究幾何圖形，以代數(shù)的視角重新刻畫圖形與空間中的位置關(guān)系，切實說明代數(shù)方法是解決幾何問題的一大利器，突出數(shù)形結(jié)合思想.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何將復雜的問題簡單化，該部分學習關(guān)鍵是理解坐標系作為參照系的作用，此部分內(nèi)容借助平面直角坐標系這一幾何工具進行幾何圖形的研究，成功實現(xiàn)問題的簡化，并通過經(jīng)歷圖形上點的定位過程和操作過程來發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，［4］同時也強調(diào)刻畫圖形運動的動態(tài)過程，通過經(jīng)歷點的坐標與圖形的變化之間的關(guān)系逐步發(fā)展運算能力.

2 以課標比較視域析內(nèi)容

在初中，《2022年版課標》仍保持圖形與幾何領(lǐng)域中“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三大主題，從推理證明、運動變化、數(shù)形結(jié)合三個方面進行研究.“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容經(jīng)過修改后更為整合精煉，避免知識內(nèi)容的碎片化，強調(diào)知識間的關(guān)聯(lián)性和內(nèi)在邏輯.同時《2022年版課標》增強整體性、一致性以及階段性，強調(diào)數(shù)學教育既要突出數(shù)學特征，又要蘊含教育特征，既要表述學科思維，又要表述認知心理，一定程度上增強了數(shù)學課程的指導性與可操作性.

2.1 對內(nèi)容結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)的分析

數(shù)學課程標準中內(nèi)容結(jié)構(gòu)主要是指不同學段的課程內(nèi)容所涵蓋的知識領(lǐng)域及其主題的分布.［5］與《2011年版課標》相比，《2022年版課標》將原來的三個學段（小學為第一、二學段，初中為第三學段）調(diào)整為四個學段（小學分為第一、二、三學段，初中為第四學段），并通過整合主題內(nèi)容以及加強各學段之間的聯(lián)系的方式實現(xiàn)四個領(lǐng)域中課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.在《2022年版課標》對內(nèi)容結(jié)構(gòu)進行調(diào)整后，一方面要求教師在教學當中能夠適應(yīng)調(diào)整后的課標，對所用教材進行適當?shù)娜∩?，細化育人目標；另一方面對于需要增加的?nèi)容要能夠進行補充，明確實施要求，按照新課標的要求來進行課堂教學的實施.

《2011年版課標》的課程內(nèi)容是按照“學段+領(lǐng)域”設(shè)計安排的，并在此基礎(chǔ)上分別展開三個學段的課程內(nèi)容.而基于內(nèi)容統(tǒng)整的理念，《2022年版課標》中課程內(nèi)容是按照“領(lǐng)域+學段”的方式設(shè)計，這種設(shè)計思路通過加強主題之間的聯(lián)系來凸顯“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心內(nèi)容，有助于實施者從整個義務(wù)教育階段的視角把握各學段內(nèi)容間的聯(lián)系以及各領(lǐng)域內(nèi)容的整體性.在內(nèi)容呈現(xiàn)上由“學段+領(lǐng)域”過渡到“領(lǐng)域+學段”來凸顯核心內(nèi)容，重視培養(yǎng)學生空間幾何思維與科學探究能力.

此外，《2022年版課標》基于“內(nèi)容要求”增加了“學業(yè)要求”與“教學提示”，指明了學生需要重點學習哪些內(nèi)容，每一塊內(nèi)容的掌握程度如何，怎樣學習才能夠達到學業(yè)要求標準，從以上三個方面完整全面地表述課程內(nèi)容，增強了課程標準的指導性，使教師對于教材的知識建構(gòu)更系統(tǒng)、準確.學業(yè)質(zhì)量的提出，是改變以往重知識、技能的評價體系和標準的重要突破口，在傳承知識評價的同時明晰了相應(yīng)核心素養(yǎng)的達成度，全面而清晰地描繪出應(yīng)達成的育人藍圖，具有重要的理論指導和實踐操作價值.

2.2 對內(nèi)容要求調(diào)整的分析

《2022年版課標》相比于《2011年版課標》的內(nèi)容要求有增加與強化的地方，也有刪除和弱化的部分，既有整合也有分化，經(jīng)過比較視域下的探析發(fā)現(xiàn)：知識的整合注重整體性與階段性，更為強調(diào)幾何直觀與代數(shù)表達的關(guān)聯(lián)，重視幾何中的代數(shù)推理，避免知識零散，聚焦核心要求，形式變革突出，加強了課程標準的指導性.具體變化見表1，對每一處的分析變化如下：

2.2.1 增加的內(nèi)容分析

《2022年版課標》中將一些內(nèi)容要求由選學轉(zhuǎn)變?yōu)楸貙W，強調(diào)學生對知識點更深度地挖掘，將知識的來龍去脈梳理清晰，整合碎片化知識，強調(diào)知識的整體性，對較難理解的部分新增了學習要求，使學生學習圖形與幾何領(lǐng)域的知識難度有所增加.在“圖形的概念”主題中，新增“表達兩點之間距離”的要求，不僅會度量兩點之間距離，還需要準確表達出兩點之間的距離，從會到能，逐步發(fā)展學習能力，并將相交線與平行線部分的基本事實描述進行修改，在“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”前新增“在同一平面內(nèi)”，進一步增強學生精準表達能力與數(shù)學的嚴謹性.新增必學內(nèi)容垂徑定理，高度重視概念教學與單元整體教學，強調(diào)理解概念的本質(zhì)屬性并感悟數(shù)學的抽象性.新增理解多邊形定義、梯形概念以及厘清矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系，強化角平分線的概念、兩條平行線之間距離的概念以及三角形內(nèi)心與外心，凸顯知識主線，強調(diào)對概念與定理的理解.

2.2.2 強化的內(nèi)容分析

由了解層次提升到理解層次，“圖形的變化”及“圖形與坐標”兩大主題在內(nèi)容要求上稍作修改，將軸對稱與軸對稱圖形的概念要求由“了解”修改為“理解”，進一步要求學生對該部分知識內(nèi)容進行掌握，強調(diào)培養(yǎng)學生幾何直觀與空間思維，給予教師對學生知識理解方面的教學提示，并在教學質(zhì)量上提出更高要求，將目標導向、問題驅(qū)動，活動任務(wù)與持續(xù)性評價貫穿始終，讓學生深入理解知識的形成過程，從不同角度理解幾何圖形，自主地進行知識的建構(gòu).相比《2011年版課標》擴大了知識面，使學生掌握的概念更加全面，形成幾何圖形的知識框架，豐富了對幾何圖形的認識.此外，在圖形與幾何的領(lǐng)域中，推理是主旋律，《2022年版課標》對于推理部分的強化體現(xiàn)在：將“知道數(shù)學證明要合乎邏輯”中“證明”修改為“思維”，強調(diào)學生在初中階段數(shù)學思維形成的重要性，教師應(yīng)關(guān)注學生思維的邏輯性與基本活動經(jīng)驗的積累，注重在幾何教學中代數(shù)推理的滲透.總之，強化內(nèi)容要求后，目標聚焦于加深學生對幾何知識的理解程度，關(guān)注學生思維起點，強調(diào)概念的重要性，重視小學與初中的思維銜接與過渡，力求實現(xiàn)知識的橫向遷移，逐步形成幾何直觀的數(shù)學思維.

2.2.3 整合與分化的內(nèi)容分析

恰當?shù)恼吓c分化增強了課程標準的指導性，《2022年版課標》將角的概念理解、大小比較和度量單位的換算等要求以及三角形內(nèi)角和定理與推論部分要求進行整合，避免知識零散，促成結(jié)構(gòu)化；在“圖形的性質(zhì)”主題中變化較大的是對于尺規(guī)作圖要求的強化，不再將尺規(guī)作圖的內(nèi)容要求集中為單獨一部分，而是分布到平行線、三角形以及圓等領(lǐng)域的內(nèi)容要求中，通過尺規(guī)作圖，學生進一步理解圖形的性質(zhì)及概念，并在基本活動經(jīng)驗與動手操作的感性經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，自主地進行知識的建構(gòu)，形成數(shù)學知識、技能、思想方法，培養(yǎng)幾何直觀，深化數(shù)學思維，促進抽象意識與應(yīng)用意識的協(xié)同發(fā)展.除了對部分內(nèi)容要求進行整合之外，還將平行線的判定定理與性質(zhì)定理進行分點細化，更為細致地描述了對平行線問題掌握程度的要求，使每一章節(jié)的教學目標更清晰.有整有分，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)更為清晰，符合“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征課程的課程內(nèi)容”這一課程理念，有助于教材編寫與教學設(shè)計中明確核心內(nèi)容，在一定程度上避免了知識的碎片化，在此基礎(chǔ)上促進教師單元整體教學的實施.

2.2.4 刪減與弱化的內(nèi)容分析

《2022年版課標》刪減并弱化了部分內(nèi)容，例如：刪去“探索切線與過切點的半徑的關(guān)系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線”.刪減后縮小學生應(yīng)掌握的知識范圍，使重點更為突出，更細致地強調(diào)了對學生的要求，語言表述更為精煉，將“了解直棱柱、圓柱的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作模型”中刪去“實物”一詞，經(jīng)此弱化后，突出強調(diào)數(shù)學模型不僅限于實物模型，由此擴展了模型的范圍，給學生更多的自主發(fā)揮空間，增強了學生的創(chuàng)造性.此外，《2011年版課標》中括號里的文字為“有一個頂點為原點，有一條邊在橫坐標軸上”，而《2022年版課標》刪去了“有一條邊在橫坐標軸上”，減少知識的碎片化，更加體現(xiàn)出課標的針對性和發(fā)展性，讓學生所學知識更加精簡.因此，《2022年版課標》聚焦于培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)容，精煉學習重點，更利于學生構(gòu)建知識框架體系，逐步形成解決問題的能力.

3 教學建議

《2022年版課標》聚焦于細化教學目標設(shè)置、突出尺規(guī)作圖內(nèi)容、整合碎片化知識、凸顯問題導向四個方面，明確知識內(nèi)容在各學段應(yīng)達成的核心素養(yǎng)目標.現(xiàn)根據(jù)內(nèi)容要求方面的變化給出部分教學建議：借助多維視角的觀察，逐步形成幾何直觀；借助幾何論證進行推理，發(fā)展數(shù)學邏輯思維；借助幾何語言的表達，深刻理解抽象概念；借助尺規(guī)作圖，實現(xiàn)操作與想象的接軌.

3.1 借助多維視角觀察，逐步形成幾何直觀

圖形與幾何的學習注重幾何直觀的培養(yǎng)，提倡以多維視角對圖形與幾何進行深入研究，主要用以下三種視角來研究圖形：第一，初中圖形與幾何領(lǐng)域的主要部分是研究圖形的性質(zhì)，通過度量的方式來研究圖形的性質(zhì)，引導學生理解歐幾里得平面幾何的基本思想并感悟幾何體系的基本框架，培養(yǎng)學生初步的抽象能力、更加理性的幾何直觀以及空間想象力.［6］第二，針對圖形的變化主題的學習可采用變換幾何的視角，《2022年版課標》明確要求學生了解軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移這三類基本的圖形運動基本特征，會用圖形的運動認識、理解和表達現(xiàn)實世界中相應(yīng)的對稱之美，感悟圖形有規(guī)律變化產(chǎn)生的美，會用幾何知識表達物體簡單的運動規(guī)律，對學生學業(yè)質(zhì)量的要求不限于坐標知識，還要求學生學會觀察并思考動態(tài)過程.第三，以解析幾何視角進行研究，主要針對圖形與坐標部分的學習，多采取數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，從多角度、多維度理解圖形與幾何的性質(zhì)，將三種視角結(jié)合對圖形進行探究，進一步適應(yīng)新課標對學生知識理解深度的要求.

3.2 借助幾何推理論證，發(fā)展數(shù)學邏輯思維

課標變化的基本原則是增加代數(shù)推理與增強幾何直觀，幾何推理以圖形為載體，而對于代數(shù)推理，我們更多的是在代數(shù)領(lǐng)域中去應(yīng)用，在幾何領(lǐng)域中往往被忽略，教材中有很多代數(shù)推理在幾何中運用的素材，要重視系統(tǒng)挖掘，有意識地在幾何教學中滲透代數(shù)推理.有意識地把推理能力貫穿于數(shù)學學習的各個活動以及學習環(huán)節(jié)中，借助圖形性質(zhì)的學習，教授幾何論證的方法，落實幾何論證的能力，以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力為導向，強調(diào)推理證明，學生能夠根據(jù)已有的事實或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學的邏輯體系.《2011年版課標》中強調(diào)“知道數(shù)學證明要合乎邏輯”，而《2022年版課標》中將“證明”修改為“思維”，強調(diào)數(shù)學思維的重要性，學生必須依靠獨立思考來學習數(shù)學，教師要不斷引導學生自發(fā)生成數(shù)學思維，在學習過程中鼓勵一題多解，拓展思維寬度，核心素養(yǎng)的感悟由感性上升為理性，體會數(shù)學思維的嚴謹性，最終形成縝密的邏輯思維.

3.3 借助幾何語言表達，深刻理解幾何概念

《2022年版課標》在內(nèi)容要求上多處由“了解”變?yōu)椤袄斫狻?，不僅在學習結(jié)果上強調(diào)學生對于知識的內(nèi)化程度，而且在學習過程上提倡聯(lián)系生活實際.數(shù)學概念是具有抽象性的，與生活相關(guān)聯(lián)的數(shù)學能夠?qū)⒊橄笞兙唧w化.因此，教師應(yīng)該多關(guān)注生活中的數(shù)學，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學在生活中的具體應(yīng)用，感悟數(shù)學學習的重要性.教師多挑選與學生生活相關(guān)的例子進行課堂導入，借助真實情境化抽象為具體，以問題解決為出發(fā)點，在教學中聯(lián)系具體情境，把數(shù)學幾何元素融合到學生的學習和生活中，通過現(xiàn)實生活或數(shù)學世界中的真實情境，引導學生感悟圖形的性質(zhì)，充分考慮學生原有認知基礎(chǔ)，聚焦本節(jié)課核心要求并借鑒實施效果不斷完善教學，實現(xiàn)幾何語言與代數(shù)語言的靈活轉(zhuǎn)化，改變學生死記硬背式的概念學習方式，推進學生對數(shù)學概念的理解深度，挖掘數(shù)學概念背后的事實原理，清楚概念形成的來龍去脈，從現(xiàn)實世界入手，借助圖形分析問題，形成解決問題的思路，以此更好地適應(yīng)新課標要求.

3.4 借助直尺圓規(guī)作圖，實現(xiàn)操作與想象融合

識圖和畫圖是學習幾何的主要手段，不僅要通過圖形直觀來學習幾何概念和原理，還要在學習幾何知識的基礎(chǔ)上正確地畫出圖形并更深刻地理解圖形，兩者互相促進，和諧發(fā)展.《2022年版課標》將原來集中教學的尺規(guī)作圖內(nèi)容分散到不同章節(jié)中，該變化是落實幾何直觀的一大重要舉措，更為強調(diào)學生基本活動經(jīng)驗的重要價值，凸顯尺規(guī)作圖探究意蘊.學生不僅要掌握基本作圖方法，還要將尺規(guī)作圖作為數(shù)學探究的手段，并融入到學習圖形的全過程中，通過尺規(guī)作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系.尺規(guī)作圖是體現(xiàn)綜合能力的一種數(shù)學活動，涉及的知識也很廣泛，以教育質(zhì)量提升為導向，強調(diào)體現(xiàn)知識線、情境線和能力線，教師在設(shè)計教學過程時要給予學生探究機會，使其預設(shè)出目標圖形并掌握作圖方法，促進學生對于綜合知識的運用，強調(diào)教師在教學中啟發(fā)學生感悟數(shù)學的內(nèi)在原理，讓學生經(jīng)歷整個數(shù)學探索的過程，培養(yǎng)學生的動手能力與實踐能力，實現(xiàn)從直觀到抽象的過渡，同時可借助信息技術(shù)的演示或?qū)嵨锏牟僮鞯冉虒W輔助來呈現(xiàn)所學.

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