郭妍利 李振飛

（1.陜西師范大學歷史文化學院；2.西北大學文化遺產(chǎn)學院）

神禾原戰(zhàn)國秦陵園位于陜西省西安市長安區(qū)南郊，2004～2008年間，陜西省考古研究院在此進行了四年的發(fā)掘工作，揭露了一座由亞字形大墓、兆溝、垣墻、從葬坑、建筑基址等構成的大型戰(zhàn)國秦陵園遺址。陵墓雖遭嚴重的盜掘，但仍出土了較多重要文物，其中在直通大墓槨室的早期盜洞內發(fā)現(xiàn)一批制作精良的象牙算籌[1]，籌身涂飾以紅、黑色彩，此類形制未見于以往的考古發(fā)現(xiàn)及文獻記載。

成書于兩漢之交[2]的《九章算術·方程》章中關于“正負術”的記載，被認為是中國最早對“負數(shù)”概念進行說明和使用的珍貴文獻。魏晉時期的數(shù)學家劉徽對此注釋有：“正算赤，負算黑，否則以邪正為異?！盵3]一般解釋為在進行正負數(shù)的計算時，用紅色算籌代表正數(shù)，黑色算籌代表負數(shù)。也有說法認為這里指的是用不同擺放方式的算籌代表正負數(shù)，或者“邪、正”指的是截面呈三角、方形的不同形狀算籌[4]。而神禾原秦陵墓發(fā)現(xiàn)的紅、黑彩算籌是否與劉徽提到的赤黑算及古代正負數(shù)概念的運用有關值得引起關注。

一、神禾原出土涂色算籌概況

神禾原戰(zhàn)國秦陵墓發(fā)現(xiàn)的象牙算籌均集中散落在早期盜洞D5的偏東側，近豎井狀出口處，該盜洞西端即延伸入槨室內部。牙籌附近分布有金柄鐵削、玉圭、銅匜及金花、金扣、珍珠等遺物。從出土位置及遺物種類來看，這些物品原應是放置在槨室內部，屬于墓主貼身日用以及較珍貴的器物，是被盜賊移至盜洞下部但未拿走或散落的一部分。

這批算籌均為象牙質地，長短、粗細幾乎完全一致。多數(shù)完整，少數(shù)有不同程度的殘斷。牙籌整體呈細圓棒狀，部分籌身兩端微收窄，表面光滑，磨制精細，兩端截面齊整。完整籌身通長為18.3～18.5、直徑0.49～0.54厘米，單體重5.7～7.7克。以完整的算籌（含粘接復原的個體）以及殘余籌身長度大于完整器一半的斷籌計數(shù)，該批算籌總數(shù)至少為61根。

根據(jù)籌身彩繪及加工方式的不同，這批算籌可分為素白色、紅白色、紅黑色三種類型。另有兩根殘籌受沁嚴重，無法辨識。

素白籌，僅1根。通體光素，無另外的色彩涂飾。長18.4、直徑0.52厘米，重7.2克。

紅白籌，30根。兩端有各長3.4厘米的紅褐色彩繪，彩繪保存狀況一般，易成片狀脫落，且脫落面十分光滑，應是以紅色顏料混合生漆涂抹形成的漆皮。中段無彩繪，呈牙白色。兩端漆皮段與籌身中段間有一圈極細的刻槽作為分界線（圖一）。

圖一 神禾原秦陵出土紅白籌

紅黑籌，28根。兩端亦有各長3.4厘米的紅褐色漆皮，脫落嚴重。籌身中段為黑色，顏色因保存狀況不同深淺不一，且未觀察到刷漆導致的片狀脫落現(xiàn)象。另從斷籌截面可以觀察到該層黑色與象牙籌身結合緊密，部分還滲入籌身內部一圈，滲透深度約為0.1～0.2毫米，故推測黑色部分應為顏料浸染而成。此類籌身兩端紅褐色漆皮段與中間染黑段之間也發(fā)現(xiàn)有一圈極細的刻槽分界線，兩部分的界限十分整齊（圖二）。

圖二 神禾原秦陵出土紅黑籌

據(jù)上述三個類型的算籌形制可以推測出這批算籌的加工程序：

第一步，將象牙原料切割、打磨成圓棒狀。不加其余裝飾即成素白籌；

第二步，在象牙圓棒距離兩端3.4厘米的位置刻劃一圈，標記范圍；

第三步，在兩端刻線范圍以外刷涂混合了紅色顏料的生漆，干燥后即成紅白籌；

第四步，使用布料、皮革或者黏土等將刻劃好的象牙圓棒兩端包裹住，然后整體放進黑色顏料溶液中浸泡。晾干后去除兩端的包裹物，然后在兩端刷涂混合了紅色顏料的生漆，干燥后即成紅黑籌。

另一件單獨出現(xiàn)的素色算籌兩端沒有刻劃的痕跡，可以排除是保存不善導致的掉色。該籌表面十分光滑，拋光較好，可能是作為使用者手中的工具，用于撥動、調整其余算籌以形成算式。

二、神禾原出土算籌性質的認定

算籌作為古代生產(chǎn)生活的常用工具，應用廣泛而持久，早在《論語》[5]中即有記載，也被稱為“籌”“算”“策”“筭”等。材質并無嚴格的規(guī)定，有竹、木、骨、牙乃至金屬籌，多在戰(zhàn)國晚期至東漢的墓葬中有所發(fā)現(xiàn)（表一）。

表一 考古發(fā)現(xiàn)中可確認的計算用籌不完全統(tǒng)計表

算籌的大小在早期多隨原材料的大小而定，后代隨著經(jīng)濟和數(shù)學的發(fā)展、各類算書的出現(xiàn)而漸有制度。由于算籌的材料、尺寸、形制均變化較大，在考古發(fā)掘中較難辨識，以往多稱呼為“骨條”“竹棍”，甚至“竹筷”“箸”等。已知考古工作中最早發(fā)現(xiàn)的算籌實物是1954年湖南長沙左家山戰(zhàn)國楚墓中出土的“竹簽”[18]，1956年數(shù)學家嚴敦杰在《中國古代數(shù)學的成就》一書中首先說明了此類算籌的用法，即在計算中表示復位數(shù)的“橫直互換”[19]。從統(tǒng)計表格中可以看出，目前考古發(fā)現(xiàn)的算籌實物主要集中在戰(zhàn)國晚期到東漢時期，其他時代少有發(fā)現(xiàn)。漢代的算籌長度一般為六寸[20]，約合13.8厘米[21]，實際考古發(fā)現(xiàn)中長度從6厘米[22]到23厘米[23]不等，其他時代各不相同。神禾原出土算籌長約18.4厘米，約合秦漢時期的八寸，與1986年甘肅天水放馬灘秦墓中發(fā)現(xiàn)的長20、直徑0.3厘米竹制圓棒狀算籌相近[24]，可能說明秦制算籌的尺寸相對較大。

從算籌的數(shù)量來看，文獻記載漢代使用的算籌一握為271根[25]，但是實際考古工作中發(fā)現(xiàn)的秦漢墓葬中算籌數(shù)量多為20～30枚[26]。張沛在《出土算籌考略》中使用具體的計算案例說明了一般日常生產(chǎn)、生活中常見的四則運算用二、三十枚算籌基本夠用[27]；王青建同樣認為，復雜的數(shù)學運算可能需要一百甚至數(shù)百根算籌，但是對于非數(shù)學家的一般人的計算需求來說，二、三十根足以應付[28]。這種說法是比較合理的，也說明神禾原出土的29根紅白籌、28根紅黑籌具有計算意義上的實用性。

在討論神禾原出土牙籌的性質時，應當考慮到戰(zhàn)漢時期十分流行的六博游戲中也有類似的棍狀物品，包括在游戲中投擲所使用的“箸”以及作為籌碼的“筭”。這兩類物品在形態(tài)上與作為算具的算籌十分相似，因此有必要確認神禾原出土的象牙籌是否為算具。

根據(jù)前人研究及出土實物證據(jù)，博戲中“箸”的材質主要為竹，也有銀、鉛等材質的，截面為半圓形或方形[29]。這種形狀和材料有利于投擲，而較脆的象牙圓棒顯然不能如此使用。并據(jù)《說文》“博，局戲也，六箸十二棋也”[30]、《西京雜記》“（陸博）法用六箸”[31]等說法，而知博戲用“箸”以6枚為度，數(shù)量一般較小。作為籌碼的“筭”，因為其主要功能也是計數(shù)，和算具并無本質差別，因此沒有特定的形制或者使用方法，在實際工作中一般將與其他博具同出的、有別于“箸”的籌狀物品認定為“筭”。目前尚未發(fā)現(xiàn)博戲用的“筭”有一種以上的顏色，長沙馬王堆M3出土的“筭”雖然有長短之分[32]，可能代表著不同數(shù)目的換算，但長“筭”的數(shù)量在短“筭”的2倍以上，有別于神禾原兩類算籌的同等比例。

另外，作為算具的算籌一般與筆、硯、墨、削一類的文具和與計算相關的度量衡器等同出，西漢《急就篇》有語：“筆硯籌算膏火燭”[33]，可見算籌在生活中常與文具組合使用，這種組合關系理論上也會反映在墓葬中。而雖然經(jīng)歷過嚴重的盜掘和焚毀，神禾原秦陵園內出土的數(shù)千余件（組）器物中并未發(fā)現(xiàn)與六博棋相關的遺物、文字等信息。另外60余枚象牙算籌多出土于盜洞之中，原始位置及器物組合信息已經(jīng)無從確認，但算籌附近散落有多柄金、銀柄鐵削，或可作為牙籌與文具同出的證據(jù)。前人研究也進一步指出現(xiàn)今出土的博戲用算籌多出自楚地，而計算用籌多出自黃河流域，尤其是秦隴地區(qū)[34]，進一步佐證了神禾原牙籌的算籌屬性要大于博籌。

綜合考慮以上信息，可以判斷神禾原戰(zhàn)國秦陵墓的象牙籌應為算籌，而非六博戲所使用的“箸”或者“筭”。

在基本認定神禾原牙籌的算籌屬性后，通過形態(tài)觀察可以認識到，這批牙籌最大的特征為其上的彩繪，籌身現(xiàn)存的涂色在視覺上表現(xiàn)為“紅白”與“紅黑”色。此種白黑籌并不見于同時期的文獻記載。但是劉徽記錄的赤黑算[35]，從使用方式來說，與神禾原牙籌十分相符。注文中赤黑算的應用環(huán)境是“今兩算得失相反”[36]，說明魏晉時期使用紅黑算籌來表示正負數(shù)、輔助正負數(shù)運算已成定式。

負數(shù)概念的出現(xiàn)要早于抽象化的運算法則的確立。一般認為，實際生產(chǎn)生活中存在的得失、盈虧等不同性質的情況提供了負數(shù)產(chǎn)生的思想基礎[37]。李儼認為負數(shù)的產(chǎn)生不晚于秦代[38]，相應的用以表示正負數(shù)運算的算籌也應當出現(xiàn)在先秦時期。這時的負數(shù)記錄與使用方式與漢代算書中體系化的總結可能存在一定差異，最早的赤黑算應當就是兩類形態(tài)有差別的算籌，用于指代不同的概念。

因此，神禾原秦陵墓發(fā)現(xiàn)的這種白黑籌的組合可能是赤黑算的早期形態(tài)，是先秦時期正負數(shù)概念形成以及運算規(guī)則探索階段的成果。

三、涂色算籌的使用方式管窺

神禾原戰(zhàn)國秦陵墓墓主身份十分尊貴，算籌用來進行數(shù)學計算的可能性不大，更可能是作為統(tǒng)治、管理者記錄其下屬的功過或者對下屬的賞罰等行為的計數(shù)工具。類似的發(fā)現(xiàn)雖然不見于其他戰(zhàn)漢時期的高等級墓葬，但可以通過出土文獻得到一些線索。

1983～1984年湖北江陵張家山西漢早期墓葬出土的竹簡《算數(shù)書》中，第29“醫(yī)”條說：“程曰：醫(yī)治病者得六十筭（算）□□廿筭（算）□□程□弗……得六十而負幾何？曰：負十七筭（算）二百六十九分筭（算）十一。其術曰：以今得筭（算）為法，令六十乘負筭（算）為實?！盵39]方家對這條文獻里的“得算”“負算”有著不同的認識，但多認為這里面使用了負數(shù)的概念。鄒大海認為這是對醫(yī)生治病效果的一種考核，分別代表醫(yī)治效果的好壞，應當是比較合理的。甘肅出土的《居延漢簡》中也有較多關于“負算（筭）”的記載：其中一例記載一位叫做“甲渠侯鄣”的官員因為“……六石具弩一，衣不足，負一筭；塢上望火頭三，不見所望，負三筭……”等原因，最終一共“負十一筭”[40]。這里的“負筭”很明顯是扣分性質的記錄。

漢代文獻中對負數(shù)概念的運用多與考核、功過有關，依然帶有相當?shù)膽眯再|。但是使用“筭（算）”這種計量單位，使得上述不同的病例、不同的錯誤等事件抽象為數(shù)值上的“一（負）”，具有了代數(shù)的含義，使得用實體的赤黑籌來表示這種功過就顯得十分直觀。比如假設“甲渠侯鄣”在上半年的考核中“負十一筭”，但是在下半年的考核中“得十二筭”，那么在年末的總結中就可以先用黑籌擺出“十一”，再用紅籌擺出“十二”；然后如《九章算術》中總結的“同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之”的法則，用黑籌的“十一”抵消掉紅籌的“十一”，于是剩下紅籌的“一”，所以最終全年考核成果是正數(shù)，表示有功。

類似的記錄是對赤黑籌的早期形態(tài)使用場景的生動表現(xiàn)，不同顏色的算籌即作為實際生產(chǎn)生活中的“功”與“過”、“賞”與“罰”、“收”與“支”等對立事件的載體?？梢酝贫ǖ氖?，此類實際應用增多后，因代數(shù)化后的正負值運算具有直觀性和總結性，“正負術”這種簡便運算的法則也就應時產(chǎn)生，其大體演變脈絡為從表示實際對立含義的雙色算籌抽象為具有一定數(shù)值意義的“赤黑算”，而后隨著數(shù)學理念的發(fā)展徹底的代數(shù)化。

四、中國古代正負數(shù)的表達及記錄方式

赤黑算的最早出現(xiàn)在《九章算術·方程》劉徽注中，是秦漢時期負數(shù)概念發(fā)展到較為成熟階段的產(chǎn)物，它的出現(xiàn)表明正負數(shù)運算已經(jīng)代數(shù)化，有利于解決抽象的數(shù)學問題，在不同時代的算書、記錄中有著不同的表達方式。至遲在魏晉時期，實際的正負數(shù)相關運算中已經(jīng)在使用制式的赤黑籌?？上КF(xiàn)存的劉徽注解不存圖形，魏晉時期的記錄方法無法證實。

流傳至今的南宋數(shù)學家秦九韶的《數(shù)書九章》中關于“正負開方術”的部分可見在所畫籌式附近注明“負”字[41]，可知在南宋時期的數(shù)學記錄中，是以標注的方式來區(qū)別正負數(shù)，同時有可能使用赤、黑畫法。結合北宋沈括在《夢溪筆談·卷八·象數(shù)二》中又提到“算法用赤籌、黑籌，以別正、負之數(shù)”[42]以及書中其他關于籌算的記載，如“運籌如飛”等，可知宋代的實際數(shù)學運算中也仍然使用赤黑籌。

金元之際的數(shù)學家李治改進了正、負數(shù)的記錄方式。他在《測圓海鏡》中繼續(xù)使用“邪正”的方式來標記正負數(shù)，但是區(qū)別于將負數(shù)全用斜線表達，他在籌式中畫一斜線來表示該數(shù)為負數(shù)[43]。在他的另一本著作《益古演段》中雖然未提及赤黑籌，但是在第五十四、五十七問的條目中均提到被減者“以紅志之”[44]，可能是對赤黑籌使用方式的簡化。其原因可能是色籌在記錄中要頻繁換筆，十分不便，制作也相對繁瑣[45]。

到了明代，珠算盛行，基本取代了籌算。珠算中用不靠梁、框的虛珠（或稱懸珠、負珠）來表示負數(shù)，這使得在記錄中用顏色、形狀來表示正負數(shù)十分困難且不直觀，因此多采用在數(shù)值旁標注“負”字的方法。而在清代中晚期隨著西方傳教士的大量進入與西方數(shù)學的傳播，算書中開始在數(shù)值前用減號表達負值，這種表示方式隨著西學的流行被逐漸接受[46]。

五、神禾原涂色算籌的數(shù)學史意義

綜合前文觀點，可以推測神禾原出土涂色牙籌可能為劉徽所記述的用于表示正負數(shù)的赤黑算的前身。它是戰(zhàn)國秦漢時期應用數(shù)學發(fā)展到了一定程度的產(chǎn)物，也在客觀上促進了這一時期數(shù)學中關于正負數(shù)計算的理論化、規(guī)則化。神禾原秦陵墓出土的涂色算籌將中國古代使用正負數(shù)概念進行運算的時間提早至戰(zhàn)國晚期，相比于《九章算術》中記載的“正負術”早了兩百余年，與國外最早由古印度數(shù)學家在公元7世紀提出的正、負數(shù)的四則運算法則相比早了八百余年[47]。

囿于材料的限制，本文提出的觀點多有疏漏，僅作為引玉磚石，以請于方家。期待在未來的考古工作中能發(fā)現(xiàn)更多的算書、算具等實物資料，為這一假設提供更多的證據(jù)支持，也為了解戰(zhàn)國秦漢時期數(shù)學發(fā)展狀況提供更多的機會。

本文在相關資料梳理及寫作過程中得到劉鐵先生的大力幫助，特此致謝！

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