田云鳳,史江濤,劉文靜

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺 264005)

1 背景知識及主要結(jié)果

在文獻(xiàn)[2]中,GIORDANO刻畫了每個非正規(guī)子群皆自正規(guī)的群的結(jié)構(gòu)。對于p-群,文獻(xiàn)[3]和[4]完全分類了每個非循環(huán)子群皆正規(guī)的p-群。 作為文獻(xiàn)[3]和[4]的推廣,文獻(xiàn)[5]和[6]決定了所有非交換子群皆正規(guī)的群。

考察非循環(huán)p-子群或自正規(guī)或正規(guī)的群,SHI在文獻(xiàn)[7]中證明了下述結(jié)論:

定理1[7]設(shè)G是群,p是|G|的最小素因子,令P∈Sylp(G)則

(1)如果G的每個非循環(huán)p-子群都在G中自正規(guī),則G為p-冪零;

(2)如果G的每個非循環(huán)p-子群都在G中正規(guī),則G為p-冪零或P正規(guī)于G;

作為上述文獻(xiàn)的推廣,考察超可解的非循環(huán)子群皆自正規(guī)的群,KUTNAR等在文獻(xiàn)[8]中得到了:

定理2[8]設(shè)G是非循環(huán)群,則G的每個超可解的非循環(huán)子群皆自正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)G為下列群之一:

(1)Zp×Zp,p是素數(shù);

(2)四元數(shù)群Q8;

定理3[9]設(shè)G為至少含一個非循環(huán)真子群的群,則G的每個非循環(huán)真子群皆非正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)G為下列群之一:

(1)G/Φ(G)是非交換單群,且滿足Φ(G)=Z(G)是循環(huán)的,其中Φ(G)是G的Frattini子群,Z(G)是G的中心;

文獻(xiàn)[9]定理1.3指出:對比文獻(xiàn)[8]定理1.2中的分類和文獻(xiàn)[9]定理1.1中的分類,可得下述結(jié)論:

定理4[9]設(shè)G為至少含一個非循環(huán)真子群的可解群,則G的所有非循環(huán)真子群皆非正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)G的所有非循環(huán)真子群皆自正規(guī)。

作為上述定理4的改進(jìn)和推廣,不需要用到文獻(xiàn)[8]定理1.2和文獻(xiàn)[9]定理1.1,本文直接證明了下述結(jié)論成立:

定理5 設(shè)群G至少含一個非循環(huán)真子群,則G的每個非循環(huán)真子群皆自正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)G為每個非循環(huán)真子群皆非正規(guī)的可解群。

2 定理5的證明

證明必要性:因為群G的每個非循環(huán)真子群皆自正規(guī),自然有G的每個非循環(huán)真子群皆非正規(guī),下面只需證明群G可解。

令P1′為M的Sylowp1-子群。對任意2≤i≤s,令Pi為M的Sylowpi-子群,則Pi也是G的Sylowpi-子群。由于M循環(huán),知M=P1′×P2×…×Ps。因為M正規(guī)于G,有P1′正規(guī)于G。于是G=MP1=(P1′×P2×…×Ps)P1=(P2×…×Ps)P1,其中P2×…×Ps循環(huán)。

如果P1正規(guī)于G,則G是冪零群。于是G的每個極大子群皆正規(guī),由題設(shè)知G的每個極大子群都循環(huán),此時G不存在非循環(huán)真子群,與題設(shè)矛盾。故P1不正規(guī)于G。

令x=bj2(at)i2,j2和i2是正整數(shù)。因為〈bh〉=〈bx〉,則存在正整數(shù)u,使得:bh=(bx)u=(bu)x。于是a-i1b-j1bbj1ai1=a-ti2b-j2bubj2ati2,即a-i1bai1=a-ti2buati2。把等式兩邊同時左乘b-1后,得等式(1):

b-1a-i1bai1=b-1a-ti2bbu-1ati2。

(1)

由h的任意性得NG(Hg-1)≤Hg-1,從而Hg-1=NG(Hg-1),即Hg-1=(NG(H))g-1。因此有H=NG(H),說明群G的每個非循環(huán)真子群都自正規(guī)。證畢。