王昱皓,曲風(fēng)龍

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

隨著科技的不斷發(fā)展,混合反散射問(wèn)題已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到了雷達(dá)探測(cè)、聲納識(shí)別、醫(yī)學(xué)成像和無(wú)損探傷。本文主要關(guān)注使用分解方法基于遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)同時(shí)定位和反演混合散射體位置和形狀的反散射問(wèn)題。KIRSCH[1]對(duì)于Dirichlet邊值的散射問(wèn)題首次提出了分解方法,之后對(duì)于分解方法的研究有了很多出色的成果,文獻(xiàn)[2]—[8]均使用分解方法對(duì)單一介質(zhì)或障礙物的散射問(wèn)題進(jìn)行了研究,但在現(xiàn)實(shí)情況下,探測(cè)的物體是復(fù)雜多樣的,因此,KIRSCH等[9]在先驗(yàn)假設(shè)下,研究了具有聲軟邊界條件的障礙物和可穿透介質(zhì)的混合逆散射問(wèn)題,XIANG等[10]考慮了介質(zhì)內(nèi)有埋藏障礙物和外部不可穿透障礙物的混合逆散射問(wèn)題。本文擬利用分解方法對(duì)一個(gè)可穿透介質(zhì)和一個(gè)不可穿透障礙物的混合散射問(wèn)題進(jìn)行研究,希望將混合散射問(wèn)題擴(kuò)展到具有復(fù)雜邊界條件的情形。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

定義D1?3為可穿透非齊次介質(zhì),D2?3為不可穿透障礙物且D1∪D2=?(圖1),折射指數(shù)滿足Re[n(x)]>0并且Im[n(x)]≥0。總場(chǎng)為u,入射場(chǎng)為ui=eikx·d,散射場(chǎng)為us=u-ui,其中k為波數(shù),d∈2為入射方向。根據(jù)散射體的不同性質(zhì),折射指數(shù)是不相同的,因此先驗(yàn)假設(shè)在非齊次介質(zhì)D1中Re[n(x)]>1且在齊次背景介質(zhì)中n(x)=1。混合散射模型可由方程組(1)表示,

(1)

圖1 混合散射模型

(2)

(3)

2 正散射問(wèn)題

本節(jié)將用變分方法證明問(wèn)題(1)—(2)對(duì)應(yīng)的解的適定性。由于入射場(chǎng)ui在全空間滿足Helmholtz方程Δu+k2u=0,令(u,v):=(us,vs),得到如下邊值問(wèn)題:

(4)

(5)

下面介紹映射N(xiāo)的重要性質(zhì),見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

應(yīng)用格林定理,將問(wèn)題(4)轉(zhuǎn)化為一個(gè)變分問(wèn)題,找解w:=(u,v),滿足如下變分形式:

(6)

這里

令

a(w,φ)=:a1(w,φ)+a2(w,φ)=F(φ),

(7)

其中,

由引理1得

(8)

這里C是只與半徑R有關(guān)的正常數(shù)。

3 逆散射問(wèn)題

根據(jù)定理3,引入解算子G:Y→L2(2),定義為

G(f,g,h)T=u∝,

(9)

這里,Y:=L2(D1)×H-1/2(?D1)×H-1/2(?D2)且u∝是問(wèn)題(4)的解u對(duì)應(yīng)邊界數(shù)據(jù)(f,g,h)T∈Y的遠(yuǎn)場(chǎng)模式。

引理2 算子G是緊的并且在L2(2)中是稠密的。

證明算子G的緊性可由橢圓方程的內(nèi)部正則性結(jié)果得到。只需要證明G的共軛算子G*是單射即可證明G在L2(2)中是稠密的。

令(w,p)為問(wèn)題(4)的解,(u,v)為問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)入射場(chǎng):

的解。

由格林定理,得

因此有

(10)

由于us=u-ui和w都滿足散射條件,于是有

將其代入式(10),利用邊界條件,有

(11)

z∈(D1∪D2)?φz∈R(G),

這里R(G)表示G的值域。

和函數(shù)wz(x)=χ(|x-z|)Φ(x,z),x∈3。

顯然,wz(x)∈C∝(3)是問(wèn)題(4)的解,因此

為了使用分解方法,引入遠(yuǎn)場(chǎng)算子F:L2(2)→L2(2),形式如下:

(12)

顯然,Fg是入射Herglotz波函數(shù)

(13)

對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式。

接下來(lái)定義入射算子H:=(H1,H2,H3)T:L2(2)→Y,形式如下:

(14)

根據(jù)疊加原理和算子G的定義,可知F=GH。

下面引入如下定義的算子:

其中i,j=1,2。根據(jù)跡算子的有界性可知上述算子均有界。

定理4 遠(yuǎn)場(chǎng)算子F可以分解成如下形式:

F=GT*G*,

(15)

中間算子T:Y→Y*為

(16)

證明根據(jù)式(14)可以得到H的共軛算子H*:L2(D1)×H-1/2(?D1)×H-1/2(?D2)→L2(2)有如下形式:

(17)

可以看出,式(17)是函數(shù)

(18)

的遠(yuǎn)場(chǎng)模式并且也是問(wèn)題(4)對(duì)應(yīng)邊值數(shù)據(jù)

的解。

由于已知H*=GT,那么H=T*G*。定理得證。

為了證明分解方法,需要證明式(16)中的分解滿足定理5。

定理5 中間算子T滿足如下性質(zhì):

1) 如果k2既不是-Δ在D2中的Dirichlet特征值也不是Neumann特征值,那么T:Y→Y*是同構(gòu)的;

2)T=T1+T2,其中當(dāng)Re[n(x)]>1時(shí)T1是強(qiáng)制的,T2是緊的;

3) Im(T)是非正且緊的,即Im〈Tφ,φ〉≤0,φ∈Y。

證明首先證明性質(zhì)1)和2)。顯然,T可以分解成

現(xiàn)在證明性質(zhì)3)。根據(jù)定理4,有

I1+I2+I3+I4+I5+I6。

顯然,因?yàn)镮m[n(x)]≥0,Im(η)≤0,可以得到

接下來(lái)利用格林定理,跳躍關(guān)系和漸近關(guān)系對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析有

I6=-λ〈W+,φ3〉?D2=〈W-,λφ3〉?D2-λ〈φ3,φ3〉?D2,

那么得

因此,

這里γ=eikR/4πR。定理得證。

定理6φz定義同定理3。假設(shè)k2既不是-Δ在D2中的Dirichlet特征值也不是Neumann特征值并且在D1中Re[n(x)]>1,那么就有

(19)

這里{λj;ψj}j∈是自伴隨算子F#:=|Re(F)|+|Im(F)|的特征系統(tǒng),W(z)為指標(biāo)函數(shù)。

4 數(shù)值結(jié)果

這一節(jié)給出一些數(shù)值反演的結(jié)果,以證明提出的數(shù)值算法是有效和適用的。以下給出的所有數(shù)值結(jié)果,均在有限的入射方向和觀測(cè)方向下利用積分方程方法進(jìn)行數(shù)值反演。

數(shù)值反演所需要圖形的幾何參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 幾何參數(shù)

為了更加簡(jiǎn)潔地表示,本文所展示的數(shù)值例子都設(shè)置成相同的參數(shù),見(jiàn)表2。

表2 相關(guān)參數(shù)設(shè)置

例1 考慮根據(jù)遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)同時(shí)重建具有導(dǎo)電傳輸邊界條件的圓形介質(zhì)的邊界?D1和具有阻抗邊界條件的圓角方形障礙物的邊界?D2,見(jiàn)圖2。

圖2 同時(shí)重建圓形介質(zhì)和圓角方形障礙物

例2考慮根據(jù)遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)同時(shí)重建具有導(dǎo)電傳輸邊界條件的圓形介質(zhì)的邊界?D1和具有阻抗邊界條件的圓角三角形障礙物的邊界?D2,見(jiàn)圖3。

圖3 同時(shí)重建圓形介質(zhì)和圓角三角形障礙物

例3考慮根據(jù)遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)同時(shí)重建具有導(dǎo)電傳輸邊界條件的風(fēng)箏形介質(zhì)的邊界?D1和具有阻抗邊界條件的圓角方形障礙物的邊界?D2,見(jiàn)圖4。

圖4 同時(shí)重建風(fēng)箏形介質(zhì)和圓角方形障礙物

通過(guò)以上部分?jǐn)?shù)值算例的展示,可以看出本文所提出的數(shù)值算法在相同的探測(cè)參數(shù)下對(duì)不同形狀的混合散射體都有很好的反演效果,可以很明顯地反演出混合散射體的形狀和位置,這證明了數(shù)值算法的有效性和適用性。