李想

摘 要：概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.但在日常教學(xué)中，理想與現(xiàn)實(shí)存在諸多差距.“平方根”作為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型課例，以其為引，從把握學(xué)科知識(shí)、掌握教學(xué)知識(shí)、運(yùn)用技術(shù)知識(shí)角度闡述緊扣課標(biāo)教材，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，推動(dòng)課堂的自然生長(zhǎng).

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；核心素養(yǎng)；平方根

1 問題提出

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，是數(shù)學(xué)學(xué)科的基石，更是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流的工具^［1］.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）中明確指出：教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，并在過(guò)程中發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維.由此可見，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.初中階段是學(xué)生抽象邏輯思維迅速發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，概念教學(xué)肩負(fù)著引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際問題抽象數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)概念，探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式分析解決問題的重任，因此，受到教育工作者的廣泛重視.但在日常教學(xué)中，它往往卻是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的短板，存在諸多問題.第一，缺乏整體思考，過(guò)于追求短期效果，導(dǎo)致學(xué)習(xí)呈孤立狀；第二，缺乏過(guò)程關(guān)注，過(guò)于追求結(jié)果，使得學(xué)生應(yīng)有的認(rèn)知感悟和思維體驗(yàn)不足；第三，缺乏學(xué)習(xí)深度，對(duì)于隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法的挖掘不夠，錯(cuò)失培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的機(jī)會(huì).那如何謀篇布局?jǐn)?shù)學(xué)概念教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，提升其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？筆者將結(jié)合參加2022年江蘇省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比所執(zhí)教的“平方根”一課，提出教學(xué)反思.

2 案例評(píng)析

2.1 教材分析

“平方根”出自《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)（蘇科版）》第四章“實(shí)數(shù)”第一節(jié)（第一課時(shí)），是繼自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等有理數(shù)的學(xué)習(xí)后認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)的開端，是一次重要的數(shù)系擴(kuò)充，亦是繼加、減、乘、除、乘方五種運(yùn)算學(xué)習(xí)后對(duì)乘方逆運(yùn)算探討的起點(diǎn)，且對(duì)后續(xù)將要學(xué)習(xí)的立方根、二次根式、求解一元二次方程有著深遠(yuǎn)影響.

從知識(shí)角度來(lái)說(shuō)，教材選擇從平方的逆運(yùn)算——開平方入手，通過(guò)計(jì)算小方格紙中長(zhǎng)方形對(duì)角線的問題情景，引出了研究平方根的必要性和平方根的相關(guān)概念，這是本單元的起始內(nèi)容，也是本課時(shí)的核心問題.

從思維角度來(lái)說(shuō)，以“開平方”開始乘方逆運(yùn)算的研究體現(xiàn)了以簡(jiǎn)馭繁的研究思路；平方根具備運(yùn)算結(jié)果與運(yùn)算過(guò)程的雙重含義；平方根概念的形成對(duì)數(shù)感和符號(hào)意識(shí)的發(fā)展起著重要作用；平方根的研究路徑為今后立方根的學(xué)習(xí)提供樣本等等.這些無(wú)疑都說(shuō)明平方根的生成與發(fā)展處處體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性和合理性，具有很高的思維價(jià)值^［2］.

2.2 學(xué)情分析

八年級(jí)學(xué)生具備了“數(shù)與代數(shù)”相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)，抽象邏輯思維逐步開始占據(jù)優(yōu)勢(shì)，但仍需要感性經(jīng)驗(yàn)的直接支持.具體分析有兩個(gè)潛在難點(diǎn)：第一，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，會(huì)計(jì)算直角三角形邊長(zhǎng)，為探究平方運(yùn)算的逆運(yùn)算奠定了基礎(chǔ).但由于邊長(zhǎng)均為正值，這在一定程度上會(huì)對(duì)學(xué)生理解和掌握平方根形成負(fù)遷移；第二，平方根概念較為抽象，又與算術(shù)平方根、立方根和無(wú)理數(shù)等內(nèi)容高度相關(guān)，四個(gè)緊密相連又易于混淆的概念將給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)一些困惑.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

基于教材和學(xué)情分析，本課時(shí)圍繞“平方根”這一核心概念的生成與發(fā)展，即為何要學(xué)習(xí)平方根？怎樣研究平方根？研究結(jié)果如何？還有哪些關(guān)聯(lián)內(nèi)容？確定教學(xué)目標(biāo)如下：

（1） 體會(huì)研究平方根的必要性，了解平方根的起源與發(fā)展；

（2） 了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根；

（3） 了解平方與開方互為逆運(yùn)算，理解平方根的相關(guān)事實(shí)，會(huì)用平方運(yùn)算求非負(fù)數(shù)的平方根；

（4） 經(jīng)歷知識(shí)的生成與發(fā)展，體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)，主動(dòng)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題，并感受和欣賞數(shù)學(xué)之美.

2.4 教學(xué)過(guò)程

2.4.1 運(yùn)算入手巧設(shè)疑

問題1：同學(xué)們，數(shù)學(xué)為人們提供了觀察、感知、探索世界的方式，小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)了加法，這是生產(chǎn)生活的需要，隨后研究了加法的逆運(yùn)算——減法，而為了簡(jiǎn)化加法又學(xué)習(xí)了乘法以及乘法的逆運(yùn)算——除法；初中階段為了簡(jiǎn)化乘法進(jìn)一步學(xué)習(xí)了乘方，這時(shí)我們不禁思考：乘方有沒有逆運(yùn)算呢？

生：應(yīng)該有吧.

【設(shè)計(jì)意圖】教材中雖未直接用逆運(yùn)算引出“平方根”，但卻處處暗藏運(yùn)算線索.故筆者通過(guò)類比加與減、乘與除的互逆關(guān)系，首先激發(fā)學(xué)生基于“運(yùn)算完備性”思考乘方的逆運(yùn)算，以此引導(dǎo)學(xué)生邏輯清晰地整體梳理運(yùn)算體系結(jié)構(gòu)，站在更高層次俯瞰接下來(lái)要學(xué)習(xí)的平方根、立方根等內(nèi)容，讓學(xué)生親歷問題的生成，感受提好數(shù)學(xué)問題的重要性.

2.4.2 關(guān)聯(lián)生活提問題

活動(dòng)一：出示校園航拍圖，抽象出正方形、直角三角形和圓.

（1） 如果正方形的面積為16m²，那么它的邊長(zhǎng)x與面積之間具有怎樣的等量關(guān)系？

（2） 如果直角三角形“勾三”“股四”，那么“弦x”與它們具有怎樣的等量關(guān)系？

（3） 如果圓的面積為9/4π，那么圓的半徑x與面積之間具有怎樣的等量關(guān)系？

生1：x²=16，x²=25，x²=9/4.①

師追問：如果正方形的面積為2m²呢？如果勾四股五弦是多少呢？如果圓的面積為5π呢？

生2：x²=2，x²=41，x²=5.②

【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際生活中抽象數(shù)學(xué)問題，獲得“正方形”“三角形”“圓”三個(gè)基本圖形，利用已學(xué)知識(shí)得出6個(gè)關(guān)于x的方程.第①組三個(gè)方程的底數(shù)為有理數(shù)，旨在引出平方根的定義；第②組三個(gè)方程底數(shù)為無(wú)理數(shù)，旨在為平方根的表示方法及其性質(zhì)做好鋪墊.

2.4.3 歸納抽象生概念

活動(dòng)二：觀察第①組三個(gè)方程，思考使等式成立的x是否存在？是否唯一？若存在，x為多少？

生3：存在，不唯一，x=±4；x=±5；x=±3/2.

師追問：你有什么發(fā)現(xiàn)？能將結(jié)論一般化嗎？

生4：使這些等式成立的x都有兩個(gè).可以將結(jié)論一般化為：當(dāng)x²=a時(shí)，滿足條件的x有兩個(gè).

師再次追問：很重要的發(fā)現(xiàn).那對(duì)于一般化的a有要求嗎？

生5：若a是正數(shù)，滿足條件的x有兩個(gè)；若a是負(fù)數(shù)，就不存在這樣的x.

師：很好，把a(bǔ)分成了正數(shù)與負(fù)數(shù)討論，大家思考，漏掉了什么沒？

生6：若a＝0，滿足條件的x就是0，只有一個(gè).

師：好的，要注意分類討論的完整性.

師生共同小結(jié)：當(dāng)a＞0時(shí)，使x²=a成立的x是存在的，且有兩個(gè)；當(dāng)a=0時(shí)，使x²=a成立的x是存在的，就是0；當(dāng)a＜0時(shí)，使x²=a成立的x是不存在的.

由此引出平方根定義：如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)對(duì)三個(gè)“冪”為平方數(shù)的例子進(jìn)行平方根存在性和唯一性分析，尤其從一開始就提出唯一性問題，是為了引導(dǎo)學(xué)生從概念生成伊始就自我固化“正數(shù)平方根有兩個(gè)”這一重要事實(shí)，避免生成“漏負(fù)”的常見錯(cuò)誤而難于糾正的困擾.然后從特殊到一般，通過(guò)對(duì)于a的討論，化解概念生成中關(guān)于開平方“非負(fù)性”的難點(diǎn)，使得新知學(xué)習(xí)自然生長(zhǎng)，并潛移默化地滲透分類討論這一重要數(shù)學(xué)思想.

2.4.4 深入研究探性質(zhì)

活動(dòng)三（1）個(gè)人答題：求出下列各數(shù)的平方根：25；16/81；15；0.09.

（2） 小組合作：請(qǐng)同學(xué)們小組合作，按照步驟完成下列任務(wù).

① 組員輪流抽取卡片（教師提供），并說(shuō)出卡片上的數(shù)是否有平方根，若有，請(qǐng)寫下來(lái)，若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

② 小組交流，判斷組員的運(yùn)算結(jié)果是否正確；

③ 從中選1個(gè)“印象最深刻”的數(shù)，整理在“學(xué)案”上，進(jìn)行組內(nèi)交流；

④ 班級(jí)全體組間交流，歸納結(jié)論.

某一學(xué)生小組展示：

師生共同歸納得出平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

【設(shè)計(jì)意圖】個(gè)人答題是對(duì)平方根問題的及時(shí)鞏固，按照《新課標(biāo)》的要求從“求百以內(nèi)整數(shù)的平方根”到“求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根”設(shè)計(jì)平方數(shù)、分?jǐn)?shù)、非平方數(shù)、小數(shù)的平方根問題.其中涉及小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，小數(shù)平方根的數(shù)位問題，較大的數(shù)的短除法等知識(shí)要點(diǎn)，前后聯(lián)系鞏固平方根的定義，為后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)奠定基礎(chǔ).

小組合作旨在讓學(xué)生于具體解題中發(fā)現(xiàn)問題，并通過(guò)選取“印象深刻”的數(shù)，體會(huì)自主學(xué)習(xí)的樂趣，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)進(jìn)行問題歸類，并做一般化處理，最終“自然”地得出相應(yīng)結(jié)論，以此激發(fā)學(xué)生的探究熱情，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)收集、處理、分析及歸納的能力，滲透分類討論思想，培養(yǎng)合作意識(shí)^［3］.

2.4.5 概念辨析促理解

問題1：已知底數(shù)和指數(shù)求冪，這是什么運(yùn)算？

問題2：已知冪和指數(shù)求底數(shù)，這是什么運(yùn)算？

師生共同討論：（1） 平方運(yùn)算；（2） 求平方根，即求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方.

問題3：你能說(shuō)一說(shuō)“平方”“平方根”“開平方”的關(guān)系嗎？

生7：平方和開平方都是運(yùn)算，應(yīng)該互為逆運(yùn)算，就像“加和減”“乘和除”一樣；而平方根是開平方運(yùn)算的結(jié)果.

師：非常好，“平方根”是數(shù)，“開平方”是運(yùn)算.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)底數(shù)、指數(shù)、冪“知二求一”分析，引導(dǎo)學(xué)生感受求平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而引出開平方的定義，并通過(guò)辨析易混概念“平方”“平方根”“開平方”，幫助學(xué)生深化平方根概念理解，剖析其數(shù)學(xué)本質(zhì).

2.4.6 回顧反思留懸念

師：同學(xué)們，本節(jié)課我們研究了哪些內(nèi)容？涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你能用思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行簡(jiǎn)單梳理嗎？

師：根據(jù)今日所學(xué)，大家有什么疑問，或是還能提出什么問題嗎？

提示：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，但我們生活中好像經(jīng)常用到的是正的那個(gè)，這是為什么呢？平方是乘方的最特殊、最簡(jiǎn)單的形式，開平方自然也是開方的最簡(jiǎn)單的形式，那接下來(lái)我們想研究什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖】好的課堂一方面應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，將知識(shí)、方法串點(diǎn)成線，連線成面，形成體系，另一方面要留足懸念，引導(dǎo)學(xué)生思考，主動(dòng)延伸課堂，形成善質(zhì)疑，會(huì)學(xué)習(xí)的品質(zhì).

3 教學(xué)反思與啟示

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，其核心就是數(shù)學(xué)概念，即反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式.李邦河院士曾指出：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)立足于數(shù)學(xué)本質(zhì)，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)效發(fā)展，發(fā)揮學(xué)科育人優(yōu)勢(shì)，最終實(shí)現(xiàn)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的終極目標(biāo).如何組織數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢？筆者結(jié)合“平方根”課例，認(rèn)為要注意以下幾點(diǎn).

3.1 把握學(xué)科知識(shí)，提高概念教學(xué)質(zhì)量

常言道：要給學(xué)生一杯水，教師要有一桶水，更要成為長(zhǎng)流水.因此，教師組織好數(shù)學(xué)概念教學(xué)的前提是自身具備過(guò)硬的學(xué)科素養(yǎng)，只有教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延以及背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有深刻的理解，才能據(jù)此有目標(biāo)地設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué).那如何把握學(xué)科知識(shí)呢？鉆研課標(biāo)、教材是規(guī)范動(dòng)作，教材是育人目標(biāo)的物化產(chǎn)物，教學(xué)不可脫離教材，但亦不可對(duì)教材“唯命是從”，教師需深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)，揣摩教材編寫意圖，從表面到本質(zhì)，從孤立到系統(tǒng)地把握概念深層結(jié)構(gòu)，明晰知識(shí)體系構(gòu)成.當(dāng)然，查閱學(xué)術(shù)論著、進(jìn)行相關(guān)研究則是自選動(dòng)作，兩者結(jié)合，可以更加有效地挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升教師學(xué)科素養(yǎng).“平方根”教學(xué)設(shè)計(jì)將本節(jié)放入單元甚至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中，從“數(shù)的發(fā)展”與“運(yùn)算的封閉”兩個(gè)角度審視本節(jié)內(nèi)容，挖掘內(nèi)在思想方法及理性精神，為教學(xué)實(shí)施打下學(xué)科基礎(chǔ).

3.2 掌握教學(xué)知識(shí)，構(gòu)建概念教學(xué)模式

教師教學(xué)過(guò)程中抓住“生長(zhǎng)點(diǎn)”“發(fā)展點(diǎn)”“提升點(diǎn)”，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)生成，重視數(shù)學(xué)思維發(fā)展，才能組織出“自然生長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)教學(xué)，形成人與知識(shí)共生的良性循環(huán)，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效模式.而在“平方根”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，這一點(diǎn)是貫穿始終的，從最初對(duì)于學(xué)情的分析，到之后教學(xué)過(guò)程的若干環(huán)節(jié)，如從學(xué)生熟悉的校園航拍引入新課、從引導(dǎo)學(xué)生思考平方有沒有逆運(yùn)算發(fā)起對(duì)新知識(shí)的探索，這些引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、經(jīng)歷知識(shí)的生成與發(fā)展的設(shè)計(jì)均是遵循這一原則，以期培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)和終身發(fā)展需要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 運(yùn)用技術(shù)知識(shí)，助力概念教學(xué)優(yōu)化

近年來(lái)，“信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)整合”成為教學(xué)研究的熱門話題.多媒體計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)以其可視、直觀等優(yōu)勢(shì)為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了強(qiáng)大的技術(shù)支撐.在“平方根”教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拓發(fā)展”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生操作幾何畫板等軟件，通過(guò)計(jì)算、繪圖，進(jìn)一步加深對(duì)于平方根的理解，并滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、極限等重要數(shù)學(xué)思想，以實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)的拓展，涵養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)精神.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 葉新和.“平方根”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（1）：5-7+11.