施睿 王天志

摘 要：二項式定理是高考的高頻考點，常以選擇題或填空題的形式考查，主要考點為求展開式特定項系數(shù)和常數(shù)項.該類問題相對來說比較獨立，解法靈活.本文主要通過分析近八年高考全國理科卷，明確二項式定理的考查題型、類型、核心考點以及分值，進(jìn)一步為學(xué)生掌握二項式定理相關(guān)問題指明方向.

關(guān)鍵詞：二項式；二項式定理；特定項系數(shù)

二項式定理是人教A版數(shù)學(xué)教材選擇性必修第三冊第六章第三節(jié)的內(nèi)容，屬于選擇性必修主題三：概率與統(tǒng)計.教材（文中的教材均指人教A版數(shù)學(xué)教材）主要詳細(xì)講解了二項展開式的通項公式和二項式系數(shù)的性質(zhì).普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）中要求學(xué)生要能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.因此，二項式定理的考查主要以容易和中等難度的試題為主.

1 近八年的考情分析

根據(jù)教材中關(guān)于二項式定理的例題和習(xí)題，本文將常見二項式的類型分為：標(biāo)準(zhǔn)型、乘積型、推廣型和加法型.標(biāo)準(zhǔn)型：形如（a+b）ⁿ（n∈N）就稱為標(biāo)準(zhǔn)型；乘積型：含二項式定理的多項式的積式，形如（a+b）ⁿ（c+d）^m（n，m∈N）；推廣型：本文中推廣型特指三項式，形如（a+b+c）ⁿ（n∈N）；加法型：含二項式定理的多項式的和式，形如（a+b）^m+（a+b）^m+1+（a+b）^m+2+…+（a+b）ⁿ（n，m∈N）.其中，最常見的是標(biāo)準(zhǔn)型和乘積型.

為了研究二項式定理在高考中的考查情況，本文主要統(tǒng)計分析了2015—2022年的全國高考卷（理科），共25套高考卷（包括2015年全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷、2016—2020年全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷、2021—2022年全國甲卷和全國乙卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷）.統(tǒng)計分析25套高考卷中的二項式定理的考查題型，二項式類型、核心考點和分值（表1）.

如表1所示，近八年的高考除了2021年沒有考查二項式定理外，其余七年均有涉及.涉及題型以選擇題和填空題為主，分值都是5分，主要考查二項式的標(biāo)準(zhǔn)型和乘積型，推廣型只在2015年全國Ⅰ卷中出現(xiàn)了一次，而加法型在近八年全國理科卷中并沒有出現(xiàn).高考全國卷主要以求展開式特定項系數(shù)和展開式常數(shù)項為核心考點.

2 回歸教材分析真題

回歸教材，可發(fā)現(xiàn)近八年的高考真題均能在教材中可以找到“原型”，教材中大多都是標(biāo)準(zhǔn)型，求標(biāo)準(zhǔn)型的展開式、特定系數(shù)和常數(shù)項的習(xí)題；乘積型在教材中出現(xiàn)了兩次，分別在教材34頁復(fù)習(xí)鞏固第2題和教材38頁綜合應(yīng)用第5題（1） ，都考查了展開式中特定項的系數(shù)；推廣型在教材中出現(xiàn)了兩次，分別在教材38頁綜合應(yīng)用第5題（5） 和（6），都考查了展開式中特定項的系數(shù).此外，教材中還出現(xiàn)加法型的練習(xí)，在教材34頁復(fù)習(xí)鞏固1（1）和教材38頁拓廣探索第9題，都考查了展開式中特定項的系數(shù).教材中的大部分習(xí)題都以考查展開式中特定項系數(shù)和常數(shù)項為主，與高考考查的核心知識一致.

4 結(jié) 語

基于以上的分析，可以考慮在二項式定理專題復(fù)習(xí)時制定如下的復(fù)習(xí)計劃：

（1） 回歸教材，分析真題.通過真題的分析比較，能發(fā)現(xiàn)真題的“原型”幾乎都來源于教材.將真題整理、歸類，得出?？嫉目键c與未考查過的考點，針對?？嫉闹R點要著重講解，讓學(xué)生完全理解以及掌握其解題方法；針對沒有考查過的知識點也不能忽視，至少需要學(xué)生掌握，對教材中所涉及的知識點進(jìn)行全方位的復(fù)習(xí)；

（2） 考點分析，明確重點.二項式定理的相關(guān)知識在高考中十分常見，雖然所占分值不高，但這一類題都屬于難度偏低或中等的題，對絕大部分學(xué)生來說是不應(yīng)該失分的.與其口頭強調(diào)二項式定理的重要性，不如將近幾年關(guān)于二項式定理的核心考點以及分值等信息整理成表格直觀呈現(xiàn)，引起學(xué)生的重視，進(jìn)一步明確二項式定理的重難點知識；

（3） 分析學(xué)情，因材施教.在正式進(jìn)入復(fù)習(xí)階段前，制作一份測試卷，讓學(xué)生在不查閱教材的前提下完成.其目的是了解學(xué)生之間的個體差距，同時讓學(xué)生意識到自己的知識漏洞，教師也可以根據(jù)學(xué)生的格個體差異，調(diào)整復(fù)習(xí)進(jìn)度和內(nèi)容，針對不同層次的學(xué)生，設(shè)計不同的學(xué)案，實現(xiàn)因材施教，符合學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律；

（4） 制定目標(biāo)，精選例題.將考點細(xì)分，針對每一個小的知識點給不同層次的學(xué)生制定相應(yīng)的復(fù)習(xí)目標(biāo).同時，給不同層次的學(xué)生挑選相應(yīng)的例題，為滿足所有學(xué)生的需求，設(shè)置必做題和選做題.

教材中關(guān)于二項式定理的內(nèi)容并不多，主要是二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理可以解決求特定項系數(shù)和常數(shù)項等問題，而二項式系數(shù)的性質(zhì)可以解決求二項式系數(shù)最值和二項式系數(shù)和等問題.雖然，在近八年的全國卷中均未考查過二項式系數(shù)的性質(zhì)，但仍需要引起學(xué)生的注意與重視.