樓倩

摘 要：推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)基本的思維方式.初中階段的推理按類型分為幾何推理和代數(shù)推理.很多初中數(shù)學(xué)教師注重幾何推理，而忽視代數(shù)推理，從而導(dǎo)致在教學(xué)過程中缺少對學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng).為后面更長遠的學(xué)習(xí)帶來阻礙，也無法提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文從代數(shù)推理的現(xiàn)狀、推理之間的關(guān)系及代數(shù)推理能力的培養(yǎng)策略三部分進行探析.

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；初中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

新課程標準中指出，發(fā)展學(xué)生的推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).推理能力的培養(yǎng)是一個需要在不同階段有意識地蘊涵滲透、循序漸進的過程.初中階段，教師在幾何教學(xué)中都很注重學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，主要是由于以圖形為載體的幾何推理，形象直觀，符合初中學(xué)生的認知特點.而在代數(shù)教學(xué)中，注重的只有“數(shù)學(xué)運算”這個核心素養(yǎng)，代數(shù)推理側(cè)重于“數(shù)與代數(shù)”中的運算、變形、性質(zhì)等內(nèi)容，比較抽象，經(jīng)常被忽視.事實上，代數(shù)推理更能反映學(xué)生邏輯思維能力的層次，而且在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對學(xué)生代數(shù)推理能力的要求較高.因此，在初中階段培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力是一個重要的任務(wù).

1 代數(shù)推理的現(xiàn)狀

1.1 推理意識的“弱化”

初中階段的代數(shù)推理知識集中體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”中的數(shù)與式、方程、不等式、函數(shù)等方面，這些內(nèi)容并沒有像幾何推理那樣專門設(shè)置“證明”的章節(jié)，而是分散在各冊教材中.所以如果教師沒有有意識地培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，在教學(xué)過程中弱化代數(shù)推理過程，學(xué)生便不會有意識地發(fā)現(xiàn)在初中階段的學(xué)習(xí)過程中其實都蘊涵著代數(shù)推理，進而學(xué)生的代數(shù)推理能力的培養(yǎng)就很難加強.

從上表可以看出，內(nèi)容分布在七年級、八年級及九年級上冊.隨著年級的提高，代數(shù)推理知識的內(nèi)容所占的比重呈現(xiàn)下降趨勢.但相應(yīng)內(nèi)容在抽象程度上的要求卻呈現(xiàn)上升趨勢.從代數(shù)推理能力培養(yǎng)的角度來看，可以發(fā)現(xiàn)教材編排意圖是蘊涵滲透逐級遞增.這就需要初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中有意識地去培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力.不能讓學(xué)生學(xué)完初中數(shù)學(xué)，還不知道什么是代數(shù)推理.

1.2 數(shù)形結(jié)合“偏于形”

不同學(xué)段有不同的知識儲備、身心發(fā)展和經(jīng)驗積累.很多初中數(shù)學(xué)教師認為代數(shù)推理初中生難以理解，是屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)范圍.初中生只要將幾何推理學(xué)好就行.而高中數(shù)學(xué)教師認為初中階段對學(xué)生的代數(shù)推理滲透較少，導(dǎo)致學(xué)生的代數(shù)推理能力較弱，使得初高中代數(shù)推理銜接不良.

這其實都是片面的認識.事實上，初中階段，學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，他們的認知能力正處于由感性認識到理性認識發(fā)展的階段.他們已具備一定的抽象思維能力，可以感悟推理的邏輯性.要做好初高中代數(shù)推理的銜接的教學(xué)，作為初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分認識代數(shù)推理對發(fā)展學(xué)生思維、推理等能力及提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價值，有意識地在教學(xué)過程中滲透代數(shù)推理.

1.3 簡略運算“取代”推理過程

運算的應(yīng)用環(huán)節(jié)是代數(shù)學(xué)習(xí)中十分重要的環(huán)節(jié)，也是代數(shù)演繹推理過程的主要體現(xiàn)形式.但初中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生并未感受到完整的演繹推理過程.究其原因，一方面是由于師生大多將運算過程簡單地等同于代入公式或利用法則運算，并沒有把其視為演繹推理的過程.另一方面是由于教材設(shè)計和教學(xué)實施過程中，幾乎都采用了簡化的過程，代數(shù)推理的過程展開不夠.而且教材中很少有例習(xí)題專門訓(xùn)練或考查學(xué)生的推理能力，這樣師生就很難體會到其中的演繹推理過程.

2 代數(shù)推理

2.1 代數(shù)推理與推理的關(guān)系

代數(shù)推理是推理的一種類型，初中代數(shù)推理是將代數(shù)式（或關(guān)系）變形為特定的目標結(jié)構(gòu)（或關(guān)系），或用代數(shù)方法證明（或說理）.從知識上說，代數(shù)推理“涵蓋初中數(shù)學(xué)中代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容，有時還涉及圖形與證明問題”；從策略方法上說，有轉(zhuǎn)化、模型、特殊到一般、類比、歸納、演繹、消元、降次、整體等.

代數(shù)推理是從條件出發(fā)，由代數(shù)定義、代數(shù)公式、運算法則和運算律得到結(jié)論（特定的目標結(jié)構(gòu)或關(guān)系）的一種交形與轉(zhuǎn)化.因此，代數(shù)推理符合一般推理的特點.代數(shù)推理也分兩種方式，一種是從特殊到一般的歸納推理，另一種是從一般到特殊的演繹推理.一個嚴格的推理過程，一般應(yīng)包括從合情推理到演繹推理的全過程.從歸納、類比得到相關(guān)法則、規(guī)律之后，要進行較為嚴格的演繹推理.要讓學(xué)生感受到這一完整的推理體驗，豐富學(xué)生對于代數(shù)推理的經(jīng)驗.并引導(dǎo)學(xué)生開展相關(guān)的推理活動.

2.2 代數(shù)推理與幾何推理的關(guān)系

代數(shù)推理與幾何推理都具有歸納和演繹的特點，都有邏輯性、形式化特征.代數(shù)推理側(cè)重“數(shù)”與“式”的變形與轉(zhuǎn)化，具有一定的抽象性；幾何推理側(cè)重于圖形的位置與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，具有一定的直觀性.在一定條件下代數(shù)推理與幾何推理可以互相轉(zhuǎn)化，幾何推理的方法可以運用于代數(shù)推理，“數(shù)”或“式”的問題可以轉(zhuǎn)化為“形”的問題，“形”的問題可轉(zhuǎn)化為“數(shù)”或“式”的問題.初中階段很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對于數(shù)學(xué)知識的獲取和認識是通過圖象獲得的，例如函數(shù)單元.如果能夠通過代數(shù)推理讓學(xué)生以數(shù)推形，理解數(shù)與形的一致性，不僅發(fā)展代數(shù)推理能力，還有助于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識理解更加全面、立體，達到真正的“數(shù)形結(jié)合”.教會學(xué)生有效推理，使不同層次的學(xué)生獲得不同層次的發(fā)展.

2.3 代數(shù)推理與代數(shù)運算的關(guān)系

代數(shù)運算的目標是“最簡”，根據(jù)公式和運算法則進行的演算活動.代數(shù)推理以代數(shù)運算為基礎(chǔ)，既具有推理的特征，也具有運算的特征.從某種意義說，代數(shù)運算本質(zhì)上也是演繹推理.代數(shù)演繹推理過程是三段論的推理模式，即大前提，小前提，小結(jié)論.大前提一般是指推理的依據(jù)的原理、公理、定理等.如果所有的代數(shù)運算中都完整地展示，過程較為拖沓，師生難免厭煩，而且算式也不連貫，所以教材做了簡化.隨著學(xué)習(xí)的深入，大前提已經(jīng)完全掌握，要求學(xué)生每次都要寫，難免會產(chǎn)生厭煩情緒，而且易于形成思維的阻礙，因此將大前提放在括號中，為后續(xù)刪減提供了便利.等學(xué)生熟悉之后，不再作出此類要求.這樣做，不僅減輕了學(xué)生的負擔(dān)，而且可以將重心放在幫助學(xué)生理解和盡快熟悉新學(xué)習(xí)的有關(guān)知識上.讓學(xué)生充分感受到代數(shù)推理的嚴謹性，養(yǎng)成學(xué)生言之有據(jù)的習(xí)慣.

3 代數(shù)推理能力培養(yǎng)策略

3.1 推理過程外顯完整化

3.1.1 演繹推理完整化

要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和探索熱情，就要求教師精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，回歸學(xué)生的認知，回到數(shù)學(xué)的知識本位.關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入程度與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系與整體性，對學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)尤為重要.

在浙教版七上《2.3有理數(shù)的乘法》這節(jié)由“位于三峽白鶴梁的用做水位測量標志的線刻石魚”的實際情境導(dǎo)入，學(xué)生很順利能夠完成“兩個正數(shù)相乘”和“一正一負相乘”的情況.但學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法法則時最大的難點在于“兩個負數(shù)相乘”的情況.實際上，“負負得正”并非緣于現(xiàn)實情境，所以繼續(xù)用實際情境提問就不符合實際情況，學(xué)生難以理解.教師這時可以引導(dǎo)學(xué)生進行演繹推理，提出將負數(shù)拆成兩個正數(shù)相減的方式，滿足分配律推理可以得到結(jié)果.然后總結(jié)兩個負數(shù)相乘的規(guī)律.從特殊到一般，這樣的引導(dǎo)是建立在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識上，幫助學(xué)生建立了新知識與已有知識的自然聯(lián)系，教學(xué)效果明顯優(yōu)于現(xiàn)實情境的直接導(dǎo)入所有內(nèi)容.演繹推理的深入引入給出了充分的探析過程，讓學(xué)生充分開展演繹推理活動，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力.

3.1.2 加強合情推理與演繹推理的融合

在教材設(shè)計的運算法則和運算規(guī)律、公式的探究環(huán)節(jié)中，大部分都是合情推理.而一個嚴格的推理過程，一般應(yīng)包括從合情到演繹的全過程.但在實際教學(xué)過程中，教師往往在歸納、類比得到有關(guān)法則、規(guī)律之后便沒有進行較為嚴格的演繹推理.因此很多法則、規(guī)律及公式的探究僅僅停留在合情推理的層面.例如在浙教版八下《1.2二次根式的性質(zhì)（2）》中學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)時，教材設(shè)計以下問題：

下面我們繼續(xù)探索二次根式的性質(zhì).

填空（可用計算器計算）：

先讓學(xué)生用計算器計算四組具體數(shù)的運算，然后讓學(xué)生猜想規(guī)律，這是一個合情推理的過程.但教材沒有再進行后續(xù)的演繹推理.實際上這個二次根式性質(zhì)的證明可以根據(jù)算術(shù)平方根的概念和記法給出證明.這樣就能實現(xiàn)合情推理到演繹推理的完整過程.當然，這是在學(xué)生學(xué)有余力的情況下，讓學(xué)生經(jīng)歷這個閉環(huán)，養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣.讓學(xué)生對于代數(shù)推理有一個完整的認識，而非只停留在合情推理，更有利于培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理的能力.即使有時學(xué)生能力不允許進行嚴格證明，也可以通過舉例或?qū)ζ渌R的適度類比等方式對合情推理的結(jié)論予以進一步解釋，加深學(xué)生對知識的理解.

3.2 加強數(shù)形結(jié)合

3.2.1 化“形”為“數(shù)與式”

代數(shù)推理可以運用幾何推理的方法，“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”與“式”的問題.代數(shù)推理側(cè)重“數(shù)”與“式”的轉(zhuǎn)化，具有一定的抽象性.教學(xué)中應(yīng)關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)推理達到真正的“數(shù)形結(jié)合”.

教材基于課程標準的要求，沒有相關(guān)的例題做示范來刻意發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力.考慮到“人人都獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念.教師可以對教材中的內(nèi)容做適度拓展，讓能力較強的學(xué)生得到提升.在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的相關(guān)知識后，可以讓學(xué)生繼續(xù)通過代數(shù)推理的方法研究二次函數(shù)的形狀、對稱性、增減性和最值等性質(zhì).提出二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，為什么不是一條直線.讓學(xué)生嘗試說明理由，如果學(xué)生覺得困難，提醒學(xué)生從最特殊、最簡單的二次函數(shù)y=x²開始進行說理.學(xué)生第一反應(yīng)就是畫圖，在函數(shù)圖象上取三個點發(fā)現(xiàn)這三個點不在同一條直線上.提醒學(xué)生這還是從“形”的角度觀察發(fā)現(xiàn)的，能不能從“數(shù)”的角度進行說理.學(xué)生想到可以三個點中取兩個點求出直線解析式，發(fā)現(xiàn)兩條直線不一樣，說明三個點不在同一直線上.學(xué)生經(jīng)過多種方法從“數(shù)”的角度進行思考解決說理，理解了函數(shù)圖象與函數(shù)關(guān)系式的聯(lián)系，從而更加深刻地理解函數(shù)的基本性質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的代數(shù)推理能力.

3.2.2 化“數(shù)與式”為“形”

代數(shù)推理的抽象性決定了其教學(xué)的困難性.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要精心設(shè)計教學(xué)情境和教學(xué)活動，將代數(shù)問題通過圖形直觀加深理解.

在浙教版七下《3.3多項式的乘法》中，學(xué)生學(xué)習(xí)多項式相乘的法則時，先創(chuàng)設(shè)問題情境，一間廚房的平面布局如圖，我們可以用下面幾種方法表示廚房的總面積？

說明多項式與多項式相乘出于解決實際問題的需要，并說明法則的合理性.通過用不同方法計算同一矩形的面積，所得結(jié)果相同，（a+n）（b+m）=a（b+m）+n（b+m）=m（a+n）+b（a+n）=ab+am+bn+mn.這樣的結(jié)論通過圖形直觀加以解釋，然后用分配律來進行代數(shù)推理得到結(jié)果，加深學(xué)生對多項式相乘法則的理解.

3.3 在運算中夯實代數(shù)推理之基

3.3.1 恢復(fù)被簡化的演繹推理過程

代數(shù)領(lǐng)域中的演繹推理主要體現(xiàn)在運算的應(yīng)用環(huán)節(jié)，但實際上在學(xué)習(xí)過程中師生并未感受到其中豐富的演繹推理.由于教材設(shè)計和教學(xué)推理過程中，運算過程全部被簡化，所以大部分師生將運算過程簡單地等同于代入公式或利用法則進行運算，并沒有把它視為演繹推理的過程.教師需要把這些被簡化的推理過程恢復(fù)，讓學(xué)生充分感悟代數(shù)推理.

在浙教版《等式的基本性質(zhì)》中解一元一次方程教材例題分析5x=50+4x.教材解答：方程兩邊都減去4x，得5x-4x=50+4x-4x，合并同類項，得x=50.這個求解過程體現(xiàn)演繹推理，即大前提是等式的基本性質(zhì)，小前提是5x=50+4x是一個等式；結(jié)論是在等式5x=50+4x的兩邊都減去4x，5x-4x與50+4x-4x仍然相等，得到5x-4x=50+4x-4x.但是像這樣表述略顯啰嗦，所以教材呈現(xiàn)的是簡化后的形式.教材把大前提（依據(jù)）寫在小括號里跟在每步過程的后面其實就是強調(diào)代數(shù)推理都是步步有據(jù).等到后面熟練后可以改為常態(tài)形式，不用再寫大前提（見圖）.外顯推理過程，讓推理的過程看得見，讓學(xué)生充分感受到代數(shù)推理的嚴謹性，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力.

3.3.2 自我糾錯思辨，理清代數(shù)推理依據(jù)

為了讓學(xué)生理清代數(shù)推理的依據(jù)，我們可以利用學(xué)生平時學(xué)習(xí)中的一些典型錯題，對這些錯題進行分析思辨，加深學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生的代數(shù)推理能力.例如浙教版七下《第五章分式的加減》這一節(jié)教材中有一道作業(yè)題，先化簡，再求值：x²x-1+11-x，其中x=-32.有學(xué)生第一步就是同乘以（x-1），去分母化成整式進行運算.這個錯誤就是學(xué)生把分式化簡與等式變形兩種類型的題目搞混了.通過糾錯思辨使學(xué)生明白分式化簡的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，而等式變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì).在這樣糾錯的活動中理清代數(shù)推理的依據(jù)，提高代數(shù)推理的能力.

總之，在初中階段加強代數(shù)推理能力是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然要求.作為教師最重要的是給學(xué)生種下代數(shù)推理的種子，讓其自然萌發(fā)，為學(xué)生在今后的代數(shù)推理能力的發(fā)展上打下基礎(chǔ).培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力，不僅需要教師對學(xué)生進行長期螺旋式滲透教學(xué)，更需要學(xué)生對數(shù)學(xué)充滿熱情，勇于去感悟和嘗試.通過數(shù)學(xué)教育能讓學(xué)生獲得核心素養(yǎng)，就是我們的終極目標.

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