陳鐘洪

【摘要】建模的數(shù)學思想應用于高中的數(shù)學解題過程中，可極大程度上提升學生的解題效率和解題準確率.強化學生建模思維的培養(yǎng)，讓更多的學生了解目前高中數(shù)學新課程的改革發(fā)展方向，培養(yǎng)學生的建模思維能力，也是學生核心素養(yǎng)的教學要求之一，這凸顯了數(shù)學建模作為數(shù)學學習過程中的重要方法.本文結(jié)合高中數(shù)學建模的相關教學案例以及教學特點，從教學實踐的角度進行數(shù)學建模的教學闡述，以概率和統(tǒng)計教學內(nèi)容為例進行詳細闡述，希望能提高高中數(shù)學建模教學的質(zhì)量.

【關鍵詞】高中數(shù)學;建模;概率與統(tǒng)計

數(shù)學建模是高中數(shù)學的重要學習內(nèi)容之一，要求學生在學習數(shù)學建模的過程中了解數(shù)學建模的本質(zhì)，了解數(shù)學建模的知識、構建過程，幫助學生形成自己的建模知識體系，讓更多的學生通過自主探索和應用來提升建模的數(shù)學素養(yǎng).數(shù)學模型的構建是學生學習數(shù)學的一種重要方式，是解決數(shù)學問題的重要手段，也是提升學生綜合素養(yǎng)的重要路徑.從近幾年的高考數(shù)學分析來看，高考數(shù)學中關于數(shù)學建模的考查內(nèi)容越來越多，文章從概率和統(tǒng)計這一知識點進行數(shù)學建模的教學策略講解和分析，希望能進一步幫助學生了解數(shù)學建模知識，形成數(shù)學建模思想，將建模意識貫穿于數(shù)學學習的全過程.

1?數(shù)學建模培養(yǎng)學生數(shù)學能力分析

長期以來，我國數(shù)學教育一直重視數(shù)學與實際、數(shù)學與其他學科的關系，與國外的數(shù)學教育相比，具有基礎扎實、訓練嚴格的傳統(tǒng)優(yōu)勢，但是，學生的知識面窄、內(nèi)容形式呆板，注重理論而不注重實踐應用.隨著現(xiàn)代經(jīng)濟的發(fā)展，學生生活中的一些數(shù)學知識體現(xiàn)也越來越明顯，學生可以利用自我所學習的數(shù)學知識解決生活中的難題，教師也可以通過創(chuàng)建相應的生活情境，讓學生思考自我的數(shù)學知識應用條件，從多個方面引導學生思考，從而培養(yǎng)學生的應用意識和能力.數(shù)學模型是一種很好的學習方式，它包括合作學習、自主學習、探究性學習等多種要素和功能.建模是一個從學習到使用，再到完成的逐步過程，是學習與應用相結(jié)合的過程.數(shù)學并不是所有都由老師教給他們，而是需要他們自己去摸索.

培養(yǎng)邏輯推理和抽象思考能力.模型是一種從具體到抽象的認識過程，通過將思維轉(zhuǎn)換為理解，可以增強學生的抽象能力.

培養(yǎng)學生的合作精神.數(shù)學模型的教學要求具有多個領域的知識，這就要求擁有不同知識結(jié)構的人們經(jīng)常聚在一起，互相討論，從中得到靈感和利益.學生在學習中團結(jié)合作，相互啟發(fā)，理性妥協(xié)，求同存異，在不知不覺中提高了合作能力，為未來的科研工作奠定了堅實的基礎.

提高學習水平.學生在進行建模的時候，需要學習的知識往往會受到年齡和問題的影響，而教師沒有足夠的時間去彌補，只會給他們講解一些基本的思路和方法，這就需要他們自己去解決問題，分析問題，從而提高了學習水平，終身受益.

培養(yǎng)學生分析、綜合、解決問題的能力.認識論把模型看作是一種心理和思想的活動，沒有固定的方式，也沒有固定的模式，但是非常復雜，需要強大的應變能力.數(shù)學模型需要分析和綜合、抽象和概括、比較和類比、系統(tǒng)化和具體化四個階段，前者是核心，后者是解決問題的關鍵.通過對模型的實踐，學生可以最大程度上發(fā)散自我的思維，提升自我的應變能力，在解決問題的過程中，加強了學生數(shù)學知識整合的應用能力，提升了學生綜合解決問題的能力.

2?高中數(shù)學建模的教學探究——以概率與統(tǒng)計教學內(nèi)容為例

2.1?了解模型的成立原理和方法，解決對應思維問題

數(shù)學的建模過程中，不同的數(shù)學模型對應不同的數(shù)學知識點，需要學生掌握數(shù)據(jù)的特點，了解題目的意思才能進一步對題目進行綜合判斷，才能選擇恰當?shù)臄?shù)學模型來解決數(shù)學問題.了解不同數(shù)學模型的功能和應用特點，才能達到更高層次的學習.數(shù)學建模不能流于形式，需要幫助學生更好地理解所學，建模的原理歸納和靈活應用才是數(shù)學建模的本質(zhì)能力培養(yǎng)要求，需要讓學生從記憶中選擇恰當?shù)哪Ｐ蛠斫鉀Q數(shù)學問題.

例1?在某學校的教學活動中，教師為了驗證不同方式的記憶效率開展了相應的實驗.教師隨機選擇班級中的40名同學，將同學隨機分成兩組，每組20個人.第1小組在記憶某種東西的時候，采用第一種記憶方式，第2小組在記憶同樣東西的時候，采用第二種記憶方式，通過對學生記憶效率進行測試，得到了如圖1所示的莖葉圖.要求學生思考，根據(jù)圖象，能知道哪種記憶方式的效率更高？為什么？

這道題目的分析和解題過程其實就是一種圖象建模的過程，在這道題目的考查內(nèi)容中，主要是針對記憶效率的高低進行實際問題的研究和分析.考查了學生莖葉圖、總體數(shù)、平均數(shù)等相關的數(shù)學基礎概念，也考驗了學生數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)學建模能力以及數(shù)學思維能力.

2.2?引導學生實踐學習建模，掌握建模知識

關于離散型隨機變量的超幾何分布、二項分布在獨立重復試驗中的概率計算等，在教科書中已有大量的現(xiàn)成數(shù)學模型.在教學中，教師要讓學生理解數(shù)學模型的構建，了解模型是用來解決怎樣的數(shù)學問題，如何構建模型，如何找到模型中的變量，模型的求解需要考慮的問題.只有如此，教師才能把已有的數(shù)學模型的教學功能發(fā)揮出來，使學生的數(shù)學建模能力得到有效的開發(fā).比如，超幾何分布教學中，在解釋該數(shù)學模型的構建過程中，需要讓同學們思考，如何解決哪些問題的超幾何分布？什么是該模式所包含的數(shù)量？有哪些限制？在求解該模型時，需要注意的問題有哪些？在此基礎上，結(jié)合實例，對所提出的問題進行具體的實例分析對比，從而進一步強化模型應用.

例2?某大學鄉(xiāng)村支教團隊總共有6名男生，4名女生.想要在這10名同學中隨機抽取5名同學參加支教活動，求抽到的同學中恰有3名女同學的概率？

建模過程?考慮將本題目中的10名同學看作學生熟悉的彩色球，然后4名女同學看作為4個白色球，題目可以理解成在10個彩色球中隨機選擇不放回的方式取出5個球，求取到3個白色球的概率.根據(jù)數(shù)學模型，可以得到：P（x=3）=C34C26C510.

2.3?拓展建模思維，建立新模型

數(shù)學教育的實質(zhì)就是對數(shù)學思維的傳授，而數(shù)學思維的教學則可以擴展到從一種數(shù)學模式到另一種模式的思考.一個數(shù)學模型的擴充可以看成一個新的數(shù)學模型，因為這個數(shù)學模型包含了數(shù)學建模的基本元素，所以它是一種很好的教學方法.擴展成模的最大優(yōu)勢在于，以已有的模型為基礎，采用相似或類推的方法，以便于掌握和訓練思想.同時，這種方法在老師和學生中都很流行，只要教師預先設定，就能很好地創(chuàng)造高效率的課堂.

例如?日常生活中的問題：一批商品中有20個一等品、15個二等品、5個三等品.現(xiàn)從中抽取8件商品，求其中抽到2件二等品和1件三等品的概率是多少？

這個題目的解答需要在超幾何分布的基礎上進行拓展，建立對應的數(shù)學模型，比如，在相同的N個彩色球中，有M個白色球，有R個紅色球，現(xiàn)從中不放回取n個球，則取到i次白球和j次紅球的概率為：P（x=i，y=j）=CimCjrCn－i－jN－M－RCnN.

2.4?注重教材課程資源開發(fā)和拓展

在新課改背景下，以概率與統(tǒng)計為主題的模型研究，在數(shù)據(jù)采集方面，一方面可以直接使用新教材的資料作為背景;另一方面，為了使資料更逼真，教師可以自己開發(fā)，在時間和條件允許的情況下，讓學生親自體驗數(shù)據(jù)采集的過程.以新教材為基礎，開發(fā)新的課程資源.教師可以根據(jù)新教材所提供的相關環(huán)境，對相關的資源進行開發(fā)，一方面可以從已有的文獻資料中尋找到相關的現(xiàn)實情況：另一方面，還可以根據(jù)現(xiàn)實生活中的實際情況，挖掘出有價值的數(shù)學模型的教學資源.從課程資源的開發(fā)上，教師要有對資源的認識與利用，既要在日?；顒又袑ふ疫m宜的活動環(huán)境，又要在諸如《統(tǒng)計年鑒》等社會資源中尋找與之相關的資料，并在其他學科中發(fā)掘適合教學的資源，充分挖掘活動背后的數(shù)據(jù)，將其轉(zhuǎn)換成符合學生認知的背景材料.

例如?根據(jù)數(shù)學教材關于“統(tǒng)計案例公司員工的肥胖情況調(diào)查”的模型建設，教師可根據(jù)教材中給出的數(shù)據(jù)背景為例，通過建立統(tǒng)計公司BMI值的相關數(shù)學模型，可以引導學生以學校為單位采集部分教師學生的BMI值，也可以到某個公司去隨機選擇100名男女員工進行BMI值的調(diào)研，抑或選擇自己小區(qū)內(nèi)部分男女居民BMI值作為調(diào)研樣本.這些都是數(shù)學模型建立的過程，將數(shù)學教學知識和學生的生活緊密聯(lián)系起來，關注調(diào)查數(shù)據(jù)收集的方法以及數(shù)學模型建立的過程，通過實例調(diào)查的方式進行數(shù)學數(shù)據(jù)的收集，以便于提升學生的模型思維.

2.5?改變單一的數(shù)學考試方式

考試作為一種重要的教學活動，是對學生的學習狀況和對教師教學質(zhì)量的評價.傳統(tǒng)的概率理論、數(shù)學統(tǒng)計課都是以期末閉卷形式進行，教師們一般都是根據(jù)一定的題目和形式，而學生們則是將大量的時間浪費在死記硬背的公式和概念上，忽視了所學知識的運用.盡管綜合分數(shù)是根據(jù)平時和期末考試的兩個百分比來進行的，但是，平時的考試主要是通過下課后的習題來進行，而對于學生的學習動機和對作業(yè)的態(tài)度也有很大的不同.因此，必須對傳統(tǒng)的考試方法進行改革，以提高學生的綜合應用能力.一般來說學生的成績測試可分為兩個重要的組成部分，第一部分是閉卷考試，占比為60%，主要考查了學生對數(shù)學基礎知識基本原理的理解.第二部分為開卷考試，占比為40%，主要組成部分是學生平時的課堂學習表現(xiàn)、課后測試、課外實踐等，主要以考勤課堂表現(xiàn)作業(yè)為主.課后實驗和課外實踐主要測試學生的綜合應用能力，教師提供一定的實踐問題，或參與社會實踐調(diào)查，收集資料；這種靈活多樣的考試制度，既可以激發(fā)學生的學習熱情，又可以促進學生的實際運用.

例如?在學生學習了概率統(tǒng)計相關的知識之后，教師組織學生進行課外實踐，收集調(diào)研資料.將數(shù)學建模的思維和方法應用到實踐中，能達到理解、深化、鞏固、提升的教學效果，根據(jù)實際情況選擇相應的學習資料，學生可自由組隊深入實踐.利用調(diào)查統(tǒng)計的方法觀察分析問題，收集資料利用所學習的電腦技術完成建模，對某些具體問題進行分析、解決，并撰寫書面報告.比如，在空閑的時候，可以觀察到學校門口的公交車上每一次的乘客數(shù)量，然后根據(jù)這些信息，制定出一套可行的公交調(diào)度計劃：包括發(fā)車時刻表、需要的車輛數(shù)量，如何才能兼顧乘客與公共汽車公司的利益.

3?結(jié)語

綜述，通過將數(shù)學模型的概念融入數(shù)學概率統(tǒng)計教學的各個環(huán)節(jié)，既可以充分發(fā)揮概率統(tǒng)計的實用價值，又可以把概率統(tǒng)計的知識和實際應用聯(lián)系起來，同時也可以加深學生對概率統(tǒng)計的認識和理解.

【課題項目：本文系福建省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“新高考背景下高中數(shù)學建模教學的實踐研究”；項目編號：FJJKZX21-096】

參考文獻：

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