李明超

數(shù)形結(jié)合是一種常見的解題方式，它的應(yīng)用不僅可以打開學(xué)生的思維，還能提升學(xué)生的解題效率。本文以初中數(shù)學(xué)為研究對象，簡述了數(shù)形結(jié)合思想，分析了采用數(shù)形結(jié)合思想開展教學(xué)的優(yōu)勢，并以案例的方式對其在解題中的應(yīng)用進(jìn)行深入的研究。

新課程理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)不單注重學(xué)生知識學(xué)習(xí)，更加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。針對這一現(xiàn)實情況，教師必須改變陳舊的教學(xué)模式，在開展基礎(chǔ)教學(xué)的同時，加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生在主動參與中獲取知識、提升能力。教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合這一教學(xué)方法，可以幫助學(xué)生建立起系統(tǒng)思維模型，提升學(xué)習(xí)效率。因此加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的研究非常重要。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合即數(shù)與形的對應(yīng)，教學(xué)中教師通過數(shù)與形間的轉(zhuǎn)化可以讓學(xué)生輕松地解答問題。隨著教學(xué)改革的發(fā)展，教師的教學(xué)理念也在發(fā)生轉(zhuǎn)變，從知識教學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)思想的培育。數(shù)形結(jié)合模式在解題中的應(yīng)用，降低了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，深化了學(xué)生對知識的理解。教師將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中，不僅解決了解題的難點(diǎn)，而且提升了學(xué)生的解題效率。教學(xué)改革的持續(xù)發(fā)展，使各個階段的教育獲得了發(fā)展，在為國家培養(yǎng)創(chuàng)新人才方面發(fā)揮著重要的作用。但人才的培養(yǎng)是一個長期的過程，特別是要打好基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)作為初中階段的一門基礎(chǔ)學(xué)科，因抽象性、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)加大了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要注重學(xué)生的知識掌握度，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，由此數(shù)形結(jié)合的思想就進(jìn)入了大家的視野，并在課堂教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)勢

（一）應(yīng)用范圍廣，適用于不同類型的數(shù)學(xué)知識

以往的初中數(shù)學(xué)教學(xué)形式單一，教師往往采取“灌輸”的方式，力圖通過詳細(xì)地向?qū)W生分析數(shù)學(xué)知識來達(dá)到讓學(xué)生理解的目的。在這一過程中，學(xué)生機(jī)械地學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去原本的魅力。長此下去，學(xué)生在數(shù)學(xué)課上就會消極，采用單一的學(xué)習(xí)方法，固化了數(shù)學(xué)思維。而數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想方法的一種，主要通過數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)換來解決實際問題，因此這一方法得到了廣泛應(yīng)用，而且根據(jù)不同的知識點(diǎn)可以展現(xiàn)出不同的效果，以此優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂。

（二）涉及思想方法，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的一種，它強(qiáng)調(diào)靈活解讀和應(yīng)用，是數(shù)學(xué)知識內(nèi)化的一種表現(xiàn)。加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生把握知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過長期的訓(xùn)練可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于不同問題的解答中，可以讓學(xué)生認(rèn)識到思想方法的重要性，通過汲取數(shù)學(xué)思想和方法完善自己的學(xué)習(xí)體系。

（三）鍛煉解題技巧，提升學(xué)生的解題效率

數(shù)形結(jié)合不單是解決問題的有效方法，更是一種思維的體現(xiàn)。學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)可以解決數(shù)學(xué)難點(diǎn)，可以達(dá)到舉一反三的效果，用它來解決更多的問題，也可以促使學(xué)生形成一種思維模式，在長期的堅持和鍛煉中掌握解題技巧，這對學(xué)生日后的成長與發(fā)展有著現(xiàn)實意義。

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

剛進(jìn)入初中的學(xué)生，因其思維、學(xué)習(xí)方法還停留在小學(xué)階段，所以在學(xué)習(xí)中會出現(xiàn)各種問題。升入初中后學(xué)習(xí)的難度會逐漸加大，這不僅影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，而且會導(dǎo)致學(xué)生降低學(xué)習(xí)興趣，從而讓學(xué)生無法全身心地進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂中。教師在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生更輕松地掌握知識，提高課堂質(zhì)量。但受到傳統(tǒng)教學(xué)形式的影響，當(dāng)下的課堂教學(xué)中還存在諸多問題。

（一）教師教學(xué)方法單一

在以往的數(shù)學(xué)課堂中，教師會采取“灌輸”的模式開展，并試圖通過“題?！睉?zhàn)術(shù)讓學(xué)生掌握某個知識點(diǎn)，這不僅加大了學(xué)生的壓力，而且限制了學(xué)生的發(fā)展。針對這一現(xiàn)實情況，教師只有加強(qiáng)創(chuàng)新和優(yōu)化教學(xué)方法，才能為數(shù)學(xué)課堂注入更多的趣味元素，才能在這種思想方法的引導(dǎo)下習(xí)得知識、解決問題，并促使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)。

（二）數(shù)學(xué)難度大，降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

從小學(xué)到初中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度明顯加大，這就導(dǎo)致部分學(xué)生在課堂的收獲甚微，從而打擊了學(xué)生的信心，降低了學(xué)習(xí)熱情。教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想則可以輕松地解決這一問題，通過數(shù)和形的轉(zhuǎn)變可引發(fā)學(xué)生深入思考，以此來降低學(xué)習(xí)難度，讓學(xué)生有效理解知識，為其數(shù)學(xué)綜合思維能力的發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)。

（三）教師忽視數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用，特別是在初中階段，貫穿著整個過程，對其的應(yīng)用影響著學(xué)生解答問題的速度與能力。但在以往的教學(xué)中很多教師都忽視了對其的應(yīng)用，忽視了在解題中滲透數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)為教學(xué)的重點(diǎn)在于解決實際問題。其實不然，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生必備的一項能力，特別是初中生正處在形象思維向抽象思維過渡的階段，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)非常重要。

四、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用分析

在數(shù)學(xué)問題的解決中學(xué)生只有靈活應(yīng)用知識，并通過有效的訓(xùn)練才能獲得更多的答題技巧，也才能進(jìn)一步提升自身解決實際問題的能力。而在這一問題的解決過程中，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用可以將題目中的條件直觀地展現(xiàn)出來，便于學(xué)生理解其中的含義，并最終提升學(xué)生解決問題的能力。

（一）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決正數(shù)和負(fù)數(shù)問題

剛進(jìn)入七年級的學(xué)生，思維還處在形象階段，面對難度更大、抽象性更強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，只有在教師的引導(dǎo)下才能完成，才能進(jìn)一步提升其數(shù)學(xué)思維能力。例如，在正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念的教學(xué)中，教師便可以采用數(shù)軸的方法對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，首先在黑板上畫出一個數(shù)軸，中點(diǎn)表示為0，左邊為負(fù)數(shù)，右邊為正數(shù)，然后再創(chuàng)設(shè)“氣溫低于0度和氣溫高于0度”的生活情境，讓學(xué)生將-5度、-10度和+5度、+10度刻畫在數(shù)軸上，以幫助學(xué)生把握正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念。這一簡單應(yīng)用，給了學(xué)生啟發(fā)，而且在接下來的重點(diǎn)學(xué)習(xí)中，學(xué)生也可以舉一反三，結(jié)合這一思想方法解答問題。

（二）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

函數(shù)是中學(xué)階段的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，但由于函數(shù)的抽象性和邏輯性，學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了各種問題。所以在學(xué)習(xí)中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生采取數(shù)形結(jié)合的方法對一元一次方程、一元二次方程以及二元一次方程進(jìn)行歸納，將其特點(diǎn)展現(xiàn)出來，方便學(xué)生理解和接受，進(jìn)而在解答方程問題時能夠游刃有余。為了深化學(xué)生的學(xué)習(xí)，教師可以設(shè)置問題“一次函數(shù)與二次函數(shù)存在哪些異同點(diǎn)”，此時學(xué)生就會想到利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答，首先在紙上畫出一次函數(shù)y=kx+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c（且a≠0）的圖象，學(xué)生便可以清晰看到兩者的區(qū)別。然后再根據(jù)對不同函數(shù)圖象的分析，讓學(xué)生認(rèn)識到了一次函數(shù)和二次函數(shù)各元素的作用，為學(xué)生后續(xù)根據(jù)各元素的作用解答問題提供了特定的條件。

（三）巧用數(shù)形結(jié)合思想解答幾何問題

初中數(shù)學(xué)幾何知識的范圍很廣，有三角形、平行四邊形、圓形和圓柱體知識等，為了幫助學(xué)生探究其中的本質(zhì)，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。比如，在“勾股定理”這節(jié)知識的教學(xué)中，教師可以為學(xué)生展示生活類的問題，讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的知識和以往的經(jīng)驗進(jìn)行解答，然后利用數(shù)形結(jié)合思想將題目中的條件轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理知識解答現(xiàn)實問題。

例如，“老師要求同學(xué)們測量學(xué)校旗桿的高度，小明發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1 m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5 m后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，你能幫助小明求出旗桿的高度嗎？”根據(jù)題目的條件，學(xué)生可以畫出相應(yīng)的圖形，而后會發(fā)現(xiàn)旗桿和地面兩者的結(jié)合正好是直角三角形的兩條直角邊，然后會聯(lián)想到所學(xué)的勾股定理知識，再根據(jù)勾股定理的概念和公式，自然可以列出勾股定理的方程。求解：設(shè)繩子的長度AB為x m，則旗桿的高度AC為（x-1） m，在直角三角形ABC中，得出AC2+BC2=AB2，也就是（x-1）2+52=x2，由此可以得到x=13，則x-1=12，所以旗桿的高度為12 m。

又如，在圓的有關(guān)知識的學(xué)習(xí)中，為了提升學(xué)生對圓的認(rèn)識，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，分析圓和圓的位置關(guān)系，而后加深學(xué)生的印象。最后教師再設(shè)計相應(yīng)的習(xí)題，鼓勵學(xué)生解答，不但豐富了學(xué)生的知識儲備，而且提升了學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的效率。

（四）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)不等式問題

學(xué)生若采取傳統(tǒng)的方法解答不等式，需要求出每一個不等式的解集，在數(shù)軸上畫出來，然后找到不等式的公共部分便可以得到不等式組的解集。因此，在這部分知識點(diǎn)的教學(xué)中，教師可以從簡單的題目入手，在學(xué)生熟悉數(shù)形結(jié)合思想方法后，再加大學(xué)習(xí)難度，為學(xué)生多設(shè)計幾個題目，最后邀請學(xué)生將自己解題的方法和過程展現(xiàn)出來。有的學(xué)生采取了直接計算的方法，有的學(xué)生用數(shù)軸表示，這是學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力的充分體現(xiàn)。為了開闊學(xué)生的思維，教師可以將班內(nèi)學(xué)生劃分為不同的小組，指導(dǎo)學(xué)生以小組的方式求出如下的二元一次方程組：x+2y=2m-5x-2y=3-4m，若x為正數(shù)，y為負(fù)數(shù)，求m的取值范圍。本道題目和以往的二元一次方程求解不同，因為題目中有未知數(shù)m，但教師可以指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行思考。在小組討論中，深得數(shù)形結(jié)合思想方法的學(xué)生會提出采取數(shù)軸的方法解答，然后根據(jù)題目中給出的條件，得到m的取值范圍。經(jīng)過長期的訓(xùn)練，學(xué)生不僅掌握了不等式的解答方法，而且為日后利用這一數(shù)學(xué)思想方法解答更高難度的問題奠定了基礎(chǔ)。

（五）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決線性規(guī)劃問題

數(shù)形結(jié)合方法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，在此類問題的解答中，根據(jù)題目給出的條件作圖，然后通過分析找出正確的區(qū)域，最后進(jìn)行作答。例如，在解決如下線性規(guī)劃問題“若x、y、z滿足約束條件x≤2，y≤2，x+y≥2，則z=x+2y的取值范圍是多少？”時，就可以引導(dǎo)學(xué)生采用畫圖的方式畫出x與y的數(shù)軸（如圖1），然后根據(jù)題目中給出的條件進(jìn)行繪制，再通過觀察與分析就可以輕松得到問題的答案。

由上可見，在線性規(guī)劃問題的解答中，利用數(shù)形結(jié)合法解答問題非常重要，但需要學(xué)生畫出正確的區(qū)域，才能根據(jù)題目條件得到正確的答案。因此在此類問題的解答中，學(xué)生必須牢記數(shù)形結(jié)合方法，如此才能提升學(xué)生答題的速度和準(zhǔn)確率。

綜上所述，初中生只有靈活應(yīng)用知識，在問題的解答中才能更加游刃有余。同樣，教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，可以使復(fù)雜問題簡單化，可以將抽象的數(shù)學(xué)語言以直觀的圖形展示出來，可以幫助學(xué)生把握住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。而且大量的教學(xué)實踐研究顯示：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可以促進(jìn)學(xué)生的全面提升與發(fā)展，在當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。數(shù)形結(jié)合是一種先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想，教師對其的應(yīng)用創(chuàng)新了教學(xué)模式，因此在日后的教育教學(xué)中，教師要將數(shù)形結(jié)合的思想融入數(shù)學(xué)問題的解答中，通過創(chuàng)新模式、細(xì)化目標(biāo)，吸引學(xué)生主動參與，同時激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將學(xué)生的內(nèi)在潛力挖掘到位，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定堅實的基礎(chǔ)。

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（作者單位：貴州省興仁市波陽鎮(zhèn)田灣中學(xué)）

編輯：張俐麗