田鮮麗 常春鋒 陳華威
教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)不斷踐行深度學(xué)習(xí)的教學(xué)理念,培養(yǎng)學(xué)生具有批判性、創(chuàng)新性思維的能力,使其養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、主動學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的習(xí)慣,最終,完成新課程核心素養(yǎng)教學(xué),實現(xiàn)立德樹人根本任務(wù)。
一、問題提出
新課標指出,普通高中的培養(yǎng)目標是進一步提升學(xué)生的綜合素質(zhì),著力發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng),使學(xué)生具有理想信念和社會責(zé)任感,具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力,具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力。高中數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)學(xué)科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面承擔(dān)著重要的歷史使命。新課程背景下,如何更好地完成教學(xué)目標,實現(xiàn)教師專業(yè)發(fā)展是高中教學(xué)改革的重中之重。為此,我?guī)ьI(lǐng)團隊深挖教材,從概念教學(xué)出發(fā),幫助學(xué)生把抽象概念簡單化,深度思考數(shù)學(xué)思想。下面以全概率公式教學(xué)設(shè)計為例進行逐步探究。
二、教材剖析
本節(jié)課選自普通高中教科書北師大版數(shù)學(xué)(選擇性必修一)第六冊“概率”第一節(jié)“隨機事件的條件概率”。全概率公式是概率論中的重要公式,通過互斥事件的概率加法公式和條件概率的乘法公式計算概率,抽象出全概率公式。在“條件概率”的基礎(chǔ)上,從已知簡單事件的概率推算出未知復(fù)雜事件的概率,蘊含了“化整為一、積零成整”,將受多個因素影響的復(fù)雜事件概率分解成若干個簡單事件概率之和,反映了部分與整體、數(shù)據(jù)優(yōu)化、化復(fù)雜為簡單的辯證思想,核心是培養(yǎng)學(xué)生拆分整合、抽象概括、用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。教學(xué)重點是“以學(xué)生為本”,利用“問題串”等引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、自主探究、合作交流,通過模型演示、案例分析,使學(xué)生探索知識的來龍去脈,理解其本質(zhì),學(xué)會應(yīng)用情境和借助全概率公式來解決實際問題,達到切實學(xué)好數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的,實現(xiàn)授人以漁的育人理念。
三、目標解析
本節(jié)課通過尋找隨機現(xiàn)象的規(guī)律并從數(shù)學(xué)上加以刻畫,了解全概率公式的背景來源、基本思想,掌握全概率公式的適用環(huán)境、解決方法和實際應(yīng)用。
為達成教學(xué)目的,教研組采取模型演示的方法,用“三門問題”創(chuàng)設(shè)情境, 用“問題串”引導(dǎo)學(xué)生自主思考、自主學(xué)習(xí)、合作探究,步步深入。通過探究過程,學(xué)生體會和模型有關(guān)的隨機思想、部分與整體的轉(zhuǎn)化,有利于培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,以及提出問題、分析問題、解決問題的能力。
通過深化概念的形成、消化及應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,通過深度學(xué)習(xí)逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。借助小組合作探究和課后資料查閱、報告整理,逐步培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和科研興趣。
四、學(xué)情分析
概率的應(yīng)用性和實踐性較強,為了讓學(xué)生掌握全概率公式的計算和使用環(huán)境,教學(xué)中可以讓學(xué)生自主探究,抽象總結(jié)出全概率公式的概念。重點是幫助學(xué)生完成概念的構(gòu)建,突破對全概率公式的理解及應(yīng)用難點,讓學(xué)生深度理解樣本空間的劃分。通過反思,深度學(xué)習(xí)概念及本質(zhì)、靈活掌握概念的應(yīng)用環(huán)境、使用方法。讓學(xué)生學(xué)會拆分樣本空間,鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和計算能力,實現(xiàn)學(xué)以致用。
五、教學(xué)策略
首先,從模型演示引入“三門問題”,從特殊到一般,層層遞進,用“問題串”啟發(fā)和引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究,達到理解、掌握知識的目的。選擇實例,設(shè)計問題。問題驅(qū)動興趣,讓學(xué)生主動參與知識探究,養(yǎng)成習(xí)慣,提升能力。其次,通過探究式教學(xué)提出探究問題,確定探究方案,完成探究過程。獨立思考和小組合作為不同認知基礎(chǔ)的學(xué)生提供了交流的機會,能實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目的。探究過程中重視學(xué)生思維的形成,通過探究,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生真正成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“探索者”。最后,落實立德樹人根本任務(wù),培育學(xué)生科學(xué)精神和創(chuàng)新意識,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。通過知識與生活的深度融合,提高教學(xué)的有效性,引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值。教師建立多元評價體系,增強學(xué)生自信,幫助學(xué)生認識自我,完善并改進教學(xué)。
六、教學(xué)設(shè)計
(一)創(chuàng)設(shè)情境,引入課題
教師拿出山羊、汽車、三扇門模型。汽車放置于三扇門其中一扇的后面,其他門后均為山羊。讓學(xué)生選定任意一扇門,不允許打開,教師將打開另外一扇門,打開的既不是學(xué)生選定的,也不是學(xué)生想要的汽車。教師問:同學(xué)們是否要改變你的選擇,改選另一扇沒有打開的門呢?讓學(xué)生親自參與教學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過“問題串”啟發(fā)學(xué)生思考:
作為參與者的你,是否要改變你的選擇,改選另一扇沒有打開的門?你決策的依據(jù)是什么?怎樣求改選另一扇沒有打開的門獲得汽車的概率?
然后讓學(xué)生展開小組討論、合作探究并展示成果。其中一個小組回答:
記:B1:選擇山羊1;B2:選擇山羊2;B3:選擇汽車; A:改選汽車
由分析知:P(B1)=P(B2)=P(B3)=,P(A|B1)=
P(A|B2)=1,P(A|B3)=0
由全概率公式得:P(A)=P(AB1)+ P(AB2)+
P(AB3)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×1+×1+×0=
設(shè)置意圖:讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活,服務(wù)于生活。讓知識融入生活,調(diào)動學(xué)生積極性,從多個維度去發(fā)現(xiàn)、解決問題,探究感知概念,深入思考問題的本質(zhì)。
(二)更新情境,認識概念
教師讓學(xué)生觀察教材184頁問題6,展開自主學(xué)習(xí)、獨立思考,舉手回答。(一分鐘時間讓學(xué)生發(fā)言)
生:設(shè)事件Bi表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”(i=1,2,3),事件A表示“取到的是一件次品”,其中B1,B2,B3兩兩互斥,A發(fā)生總是伴隨著B1,B2,B3之一同時發(fā)生,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A兩兩互斥,同樣,運用互斥事件概率的加法公式和乘法公式得到
P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)
=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.0125
設(shè)置意圖:讓學(xué)生運用互斥事件概率的加法公式和條件概率的乘法公式進行自主學(xué)習(xí),歸納出問題的共性,將其一般化,為抽象概括全概率公式做準備,為理解全概率公式的意義奠定基礎(chǔ)。讓學(xué)生時刻圍繞教材展開思考,進行深度拓展。
師:請同學(xué)們思考并總結(jié)。
生:通過上面的問題,發(fā)現(xiàn)其中隨機事件概率的共性。如果B是由原因Ai(i=1,2,…n)所引起,則B發(fā)生的概率是P(BAi)= P(Ai)P(B|Ai),由于每一個原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生,且各原因彼此互斥并涵蓋所有可能的情形,故事件B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和,即P(B)=[][n][i=1]P(Ai)P(B|Ai)。
(三)抽象概括,構(gòu)建新知
經(jīng)過剛才的總結(jié),請各小組進行樣本空間劃分。
第三小組:設(shè)Ω是試驗E的樣本空間,A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一組事件,若(1)AiAj=Φ,其中i≠j(i,j=1,2,…,n),
(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,則A1,A2,…,An稱為樣本空間Ω的一個劃分。
請學(xué)生總結(jié)并寫出全概率公式的概念。
設(shè)A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個劃分,若
P(Ai)>0(i=1,2,…n),則對任意一個事件B ?Ω 有
P(B)=[][n][1]P(Ai)P(B|Ai),該公式為全概率公式。
教師抽查后發(fā)現(xiàn),全班40個學(xué)生中有38個學(xué)生完整寫出,達到了預(yù)期目標。
教師總結(jié):全概率公式本質(zhì)上是綜合運用加法公式和乘法公式解決“多因一果”的概率問題。它告訴我們,事件B發(fā)生的概率恰好是事件B在各種可能“原因”下發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均。
設(shè)置意圖:讓學(xué)生自己感悟知識,深度學(xué)習(xí)知識的來龍去脈,培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力,并領(lǐng)悟知識的本質(zhì),深度理解概念本質(zhì),學(xué)會概念的使用方法。
設(shè)置以下“問題串”引導(dǎo)學(xué)生深度思考:(1)你認為全概率公式的推導(dǎo)過程蘊含了哪些數(shù)學(xué)思想?(2)你認為利用全概率公式求隨機事件的概率關(guān)鍵是什么呢?
設(shè)置意圖:讓學(xué)生回顧知識,總結(jié)知識的建構(gòu)過程,啟發(fā)學(xué)生搭建知識網(wǎng)絡(luò)。
(四)應(yīng)用公式,鞏固新知
例:一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病,在患有此種疾病的人群中,通過化驗有95%的人呈陽性反應(yīng),而健康的人通過化驗也會有1%呈陽性反應(yīng),某地區(qū)此病患者人數(shù)占0.5%,則:某人化驗結(jié)果為陽性的概率是多少?請各組派代表板書解答。
五個小組板書全部正確。(答案:由全概率公式可知:P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%)
開展課堂小組對抗賽進行概念的深度學(xué)習(xí):教師下發(fā)課前準備的定時練,出示10個關(guān)于全概率公式的選擇題,讓五個小組展開比賽,10分鐘后進行互換批改,結(jié)果發(fā)現(xiàn)準確率達到95%,超出課前估計水平。
(五)課題小結(jié),提煉過程
教師再次提出問題:同學(xué)們,本節(jié)課你有什么收獲?在這個過程中你有什么體會?
設(shè)置意圖:通過談過程、體會,讓學(xué)生重溫知識的形成過程,進行課堂反思,深度理解全概率公式概念的應(yīng)用環(huán)境、使用方法,把知識連貫化、系統(tǒng)化。
(六)布置作業(yè),課后探究
1.課本188頁練習(xí)1。
2.實踐探索:課余時間,小組通過查閱“波利亞罐子問題”談?wù)劊翰ɡ麃喒拮訂栴}與傳染病的關(guān)系,我們?nèi)绾巫龊梅揽卮胧?進行小組探究,提交探究報告或成果。
設(shè)置意圖:鞏固知識,熟練利用全概率公式;培養(yǎng)學(xué)生查閱資料、閱讀文獻的能力;根據(jù)研究報告完成情況組織評選,通過評委、專家審核,評價學(xué)生對全概率公式的理解、掌握情況。對本節(jié)課的教學(xué)進行評估,完善教學(xué)策略;根據(jù)新課標要求,落實改革創(chuàng)新、完善人格、培育人才、造福人民的目標,落實立德樹人根本任務(wù),提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),為國家培養(yǎng)創(chuàng)新型拔尖人才奠定基礎(chǔ)。
七、反思評價
本節(jié)課在條件概率的基礎(chǔ)上,通過多個簡單事件的概率,推算出未知復(fù)雜事件的概率,是本章內(nèi)容的總結(jié)和綜合應(yīng)用。教學(xué)中采用學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作探究的教學(xué)方法,激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強了學(xué)生的求知欲。利用“問題串”引導(dǎo)學(xué)生思考,使其進行深度學(xué)習(xí),以問題為導(dǎo)向,深度挖掘知識的形成過程,圍繞新課程核心素養(yǎng)要求,使學(xué)生輕松學(xué)會知識、學(xué)會學(xué)習(xí)。同時也有助于教師改進教學(xué),提高教學(xué)質(zhì)量。由于時間的把控,部分學(xué)生的發(fā)言要求沒有得到滿足,一部分極好的思路沒有得到吸納。實踐證明,學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、參與度得以提高,實現(xiàn)了教學(xué)目標,達成了數(shù)學(xué)課程標準要求,落實了以生為本、立德樹人的根本任務(wù)。
八、總結(jié)
高中數(shù)學(xué)教改源于教材,高于教材,以生為本,學(xué)為中心。在教師的精心組織下,學(xué)生經(jīng)歷思考、探究、驗證、應(yīng)用等環(huán)節(jié),自然地得到新知識、新方法。通過深度學(xué)習(xí),經(jīng)歷深層次思考,感悟?qū)W習(xí)方法,達成教育目的。以后,我們會積極開發(fā)校本課程,融合深度學(xué)習(xí)概念,完成培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新型人才的教育使命。
參考文獻:
[1]何玲,黎加厚.促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J].現(xiàn)代教育,2005(5):29-30.
[2]田鮮麗.高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的策略研究[D].北京:首都師范大學(xué),2012.
(作者單位:河南省上蔡第一高級中學(xué))
編輯:趙飛飛