曠雨陽(yáng), 李興華, 王太榮

(貴州省安順學(xué)院 數(shù)計(jì)學(xué)院, 貴州 安順 561000)

0 引 言

研究非齊次線性微分方程的通解方法很多,如比較系數(shù)法、拉普拉斯變換法及其降階法,本文所研究的常數(shù)變易法也是解非齊次線性微分方程通解的一種常用方法[1]。

常數(shù)變易法本質(zhì)上是一種變量替換的思想,通過這種變量替換,可以將不容易直接利用初等積分法求解的復(fù)雜方程,轉(zhuǎn)化成已知的、可求解的方程類型,進(jìn)而求出原方程的通解[2]。因此它除了能夠?qū)σ浑A線性常微分方程進(jìn)行求解以外,在其他類型的微分方程求解中也同樣能夠得到良好的應(yīng)用[3]。

因此常數(shù)變易法在微分方程中應(yīng)用很廣,甚至在計(jì)算數(shù)學(xué)、工程科學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用甚廣。張琬等通過常數(shù)變易法構(gòu)造了一個(gè)求解非線性系統(tǒng)逼近的迭代過程來消除長(zhǎng)期項(xiàng)[4];王敏利用常數(shù)變易法與變系數(shù)思想構(gòu)出了常數(shù)替換法,利用常數(shù)替換法研究了幾種周期激勵(lì)下多頻耦合動(dòng)力系統(tǒng)的近似解析解[5];翟俊杰借助Lyapunov函數(shù)法和常數(shù)變易法研究了對(duì)互聯(lián)車輛系統(tǒng)在脈沖作用下的穩(wěn)定性[6];Douglas R利用常數(shù)變易法分別研究了一階h差分方程的Ulam穩(wěn)定性和二階h差分方程Hyers-Ulam穩(wěn)定性[7];Cǎruau Vasile利用常數(shù)變易法解決了具有不同形式P(x)的自由項(xiàng)n階常系數(shù)線性微分方程的特解[8];Al Hallak M等用常數(shù)變易法討論了強(qiáng)耦合情形下的暖膨脹和通貨膨脹[9];Xuejun Yi等利用常數(shù)變易法研究Duffing型振蕩器系統(tǒng)的全局漸近同步[10]。因此綜上所述,常數(shù)變易法在實(shí)際問題中應(yīng)用很廣,值得學(xué)習(xí)與進(jìn)一步研究探討。

1 預(yù)備知識(shí)

y0(n-1),這里x0,y0,y0(1),…,y0(n-1)是給定的n+1個(gè)常數(shù)。滿足初值條件的解稱為微分方程的特解。

定義1.3:如果一個(gè)n×n矩陣的每一列都是線性微分方程組x′=A(t)x的解,就稱這個(gè)矩陣為x′=A(t)x的解矩陣。它的列在a≤t≤b上是線性無(wú)關(guān)的解矩陣稱為在a≤t≤b上的x′=A(t)x的基解矩陣。其中A(t)是n×n矩陣,x是n維列向量。

性質(zhì)1.4(指數(shù)矩陣的性質(zhì)):如果矩陣A,B是可交換的,即AB=BA,則exp(A+B)=expAexpB;對(duì)于任何矩陣A,(expA)-1存在,且(expA)-1=exp(-A)。

定理1.5(克萊姆法則):一個(gè)含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組

2 常數(shù)變易法在求解常微分方程中的應(yīng)用研究

2.1 常數(shù)變易法在求解一階線性微分方程中的應(yīng)用

(2.1.1)

對(duì)此式微分之,得到:

(2.1.2)

將(2.1.1),(2.1.2)代入原方程得

①

②

2.2 常數(shù)變易法在求解高階線性微分方程中的應(yīng)用

設(shè)正規(guī)形n階非齊次線性微分方程為

(2.2.1)

(2.2.2)1

(2.2.3)1

(2.2.2)2

(2.2.3)2

繼續(xù)上面做法,在最后一次得到第n-1個(gè)條件

(2.2.2)n-1

和表達(dá)式

x(n-1)=c1(t)x1(n-1)(t)+c2(t)x2(n-1)(t)+…+cn(t)xn(n-1)(t)

(2.2.3)n-1

最后,式(2.2.3)n-1對(duì)t微分得到

(2.2.3)n

現(xiàn)將式(2.2.1),式(2.2.3)1,式(2.2.3)2,…,式(2.2.3)n代入原方程,并注意到x1(t),x2(t),…,xn(t)是齊次線性微分方程的解,得到

(2.2.2)n

解:對(duì)應(yīng)齊次微分方程為X″+X=0,特征方程為λ2+1=0,特征根為λ1,2=±i,因此對(duì)應(yīng)齊次微分方程的基本解組為x1(t)=cost,x2(t)=sint,因此齊次微分方程通解為x=c1cost+c2sint,應(yīng)用常數(shù)變易法,令c1=c1(t),c2=c2(t),即x=c1(t)cost+

c2(t)sint。

從此原方程通解可以看出,它是由兩項(xiàng)迭加而成的,第一項(xiàng)是相應(yīng)線性齊次微分方程的通解;第二項(xiàng)是線性非齊次微分方程的一個(gè)特解(令所有γi=0得此解)。由此便得結(jié)論:高階線性非齊次方程的通解,等于它的相應(yīng)線性齊次方程的通解與它的一個(gè)特解之和。

2.3 常數(shù)變易法在求解線性微分方程組中的應(yīng)用

設(shè)非齊次線性微分方程組x′=A(t)x+f(t),其中A(t)是區(qū)間[a,b]上的n×n連續(xù)矩陣,f(t)是區(qū)間[a,b]上的n維連續(xù)列向量,x為n維列向量。

若f(t)=0,則原方程組化為齊次線性微分方程組x′=A(t)x,設(shè)Φ(t)是齊次線性微分方程組的基解矩陣,則齊次線性微分方程組的通解為x=Φ(t)C,其中C是任意常數(shù)列向量,令C=C(t),從而X=Φ(t)C(t)是原方程組的解,這里C(t)為待定的向量函數(shù),將X=Φ(t)C(t)代入原方程組得

Φ′(t)C(t)+Φ(t)C′(t)=A(t)Φ(t)C(t)+f(t)

(2.3.1)

這里c1,c2為任意常數(shù)。

教學(xué)小結(jié):求解非齊次線性微分方程組的一般步驟為(1)求出原線性微分方程組的相應(yīng)齊次線性微分方程的基解矩陣;(2)常數(shù)變易,作變換C=C(t),把原方程化為Φ(t)C′(t)=f(t),積分后,將之代入X=Φ(t)C(t)中,就得到原方程組的通解。

教學(xué)總結(jié):從上述用常數(shù)變易法求解三類微分方程的過程可以看出,首先都是要求解對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程(組)的通解,再常數(shù)變易法,令C=C(t)(或ci=ci(t)),求出C(t)(或ci(t)),回代對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程(組)通解中的作常數(shù)變易法的C(t)(或ci(t))后,就得到原微分方程(組)的通解,故此三類線性微分方程(組)常數(shù)變易法解題步驟思路都是一致的。且此三類線性微分方程(組)的通解都是由相應(yīng)線性齊次方程(組)的通解與它的一個(gè)特解之和。