何建東 厲豐群 沈海全|浙江省紹興市越州中學(xué)

遵循以立德樹人為核心的育人理念，高中數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實踐中，教師要重視課堂情境的合理設(shè)置、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展培養(yǎng)、數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示滲透及教學(xué)過程的和諧互動，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）為教學(xué)行動之“綱”，以教材為教學(xué)行動之“本”，既凸顯新課程改革鮮明理念之“目”，又緊抓新教學(xué)發(fā)展關(guān)鍵之“標(biāo)”，借教學(xué)行動研究之力，出數(shù)學(xué)教學(xué)好課之果.

筆者所在學(xué)校的“教學(xué)行動研究小組”將新課程、新教材和新高考（以下簡稱“三新”）下的數(shù)學(xué)教學(xué)研究作為行動內(nèi)容，注重研討并實踐以“特色鮮明的教學(xué)設(shè)計、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)組織、清新自然的教學(xué)儀態(tài)、娓娓道來的教學(xué)風(fēng)格、和諧融洽的教學(xué)氛圍”為核心特點的課堂教學(xué)，取得了一系列優(yōu)異的教學(xué)教研成果.下面，筆者以一節(jié)紹興市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課“直線的傾斜角與斜率”（人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊第二章第1節(jié)）為例，闡述優(yōu)質(zhì)課堂教學(xué)的設(shè)計及思考.

一、把握教學(xué)本質(zhì)，設(shè)計有效活動

學(xué)科教學(xué)關(guān)鍵在課堂，要把握教學(xué)本質(zhì)，教師就需要組織學(xué)生開展有目的、有計劃的有效學(xué)習(xí)活動.

教學(xué)本身是一個關(guān)聯(lián)兩個以上對象的系統(tǒng)性實踐活動，需要教師與學(xué)生雙方深度參與，且一直在不斷動態(tài)變化、交往實踐.學(xué)科教學(xué)的本質(zhì)是一種學(xué)習(xí)的活動，關(guān)鍵在學(xué)而不是教，其活動主體是學(xué)生.課堂中如果沒有學(xué)生真正的學(xué)習(xí)活動，或只有教師講而沒有學(xué)生聽，或?qū)W生聽了卻不懂，這些都不是真正的教學(xué).只有在教師的科學(xué)組織下，學(xué)生達(dá)成了有效的學(xué)習(xí)，這才是真正的教學(xué).課堂教學(xué)更是一種特殊的學(xué)習(xí)活動，它有著很強的指向性，需要教師組織實施既包括講解、評析、輔導(dǎo)，也包括展示、演繹，還包括釋疑、評價等活動，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)活動可以真正進(jìn)行，最終收到切實可見的成效.

把教學(xué)活動的關(guān)注點從“教師的教”轉(zhuǎn)向“學(xué)生的學(xué)——有效學(xué)習(xí)活動”后，教師才算把握了課堂教學(xué)的本質(zhì).在這一基礎(chǔ)上，我們再去評價課堂教學(xué)的質(zhì)量，其根本點就是學(xué)生是否在課堂中進(jìn)行了積極有效的學(xué)習(xí)活動.這與新課程理念所倡導(dǎo)的“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）相吻合.

二、契合好課特征，實施優(yōu)質(zhì)教學(xué)

當(dāng)前，基礎(chǔ)教育正在“三新”背景下開啟新一輪改革實踐，鼓勵教師深入透徹地理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》，細(xì)致全面地研讀教材，在“綱舉目張，標(biāo)本兼顧”的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮自身的個性與潛能，使教學(xué)行為富有個性和特色.一個好的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計應(yīng)當(dāng)具有確定明晰的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行科學(xué)的教學(xué)預(yù)設(shè)，創(chuàng)建和諧的教學(xué)氛圍，采取多樣的教學(xué)形式，組織有效的教學(xué)活動，進(jìn)而促成學(xué)生的有效學(xué)習(xí).

（一）精心研究教材，匠心設(shè)計教案

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)圍繞核心素養(yǎng)的落實，精選、重組教學(xué)內(nèi)容，明確教學(xué)要求，設(shè)計教學(xué)方案.教師要根據(jù)教學(xué)環(huán)境和學(xué)生實際，結(jié)合自己對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和教材編寫意圖的深度理解，進(jìn)行科學(xué)精到的處理，設(shè)計獨具匠心的教案，以保證教學(xué)活動的有效和生動.

在這節(jié)課中，考慮到“直線的傾斜角與斜率”是高中解析幾何內(nèi)容的起始課，執(zhí)教者設(shè)計了一個有趣的拼圖游戲“為什么缺了一塊”，組織開展活動“為什么用同樣的幾塊幾何形狀拼圖，第二種拼圖方案比第一種方案‘少一塊’”（如圖1所示），從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知活動的矛盾沖突，由此揭示：需要用更加入微的數(shù)學(xué)眼光來研究和思考這個幾何問題.這也是該章要學(xué)習(xí)的一個新的數(shù)學(xué)分支——解析幾何，要求學(xué)生能用更加精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)這個問題.

圖1 用同樣的幾塊幾何形狀拼圖（不同方案）

特質(zhì)評析：這一情境貫穿整節(jié)課的始終，是教學(xué)設(shè)計的一大亮點.既激起學(xué)生的好奇心與認(rèn)知沖突，也緊扣解析幾何學(xué)習(xí)“從形到數(shù)再到形”“以入微的視角與方式分析解決直觀的幾何問題”的必要性，為后續(xù)學(xué)習(xí)、掌握直線的傾斜角與斜率內(nèi)容之后，從解析的角度進(jìn)行回答提供素材，同時為課堂小結(jié)時回到《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的“三會”（用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界）觀點，使課堂教學(xué)前后呼應(yīng)作鋪墊.

緊接著，執(zhí)教者設(shè)計了一個環(huán)環(huán)相扣的教學(xué)環(huán)節(jié)“思維問題—思想方法—思路途徑”，層層遞進(jìn)，使學(xué)習(xí)得以徐徐展開.

【思維問題】解析幾何到底是一門怎樣的學(xué)科？它經(jīng)歷了怎樣的發(fā)展歷程？本章要學(xué)哪些內(nèi)容？按怎樣的路徑展開？（引導(dǎo)學(xué)生閱讀章引言，給出回答）

【思想方法】借助平面直角坐標(biāo)系，把幾何基本元素（點）與代數(shù)基本對象（數(shù)、有序數(shù)對或數(shù)組）對應(yīng)，進(jìn)而建立曲線的方程（點的軌跡），將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì).

【思路途徑】以平面直角坐標(biāo)系為工具，確定曲線的基本元素及基本關(guān)系、建立曲線的方程、通過方程研究曲線的有關(guān)問題.

（二）貫徹課程理念，生成流暢過程

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過自己的獨立思考及與他人交流，最終自己“悟”出來并不斷發(fā)展的.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、切實貫徹課程理念，設(shè)計并生成流暢自然的教學(xué)過程，顯得特別重要.教師必須明白學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，明晰課堂需要的教學(xué)目標(biāo)，明了教學(xué)過程的環(huán)節(jié)設(shè)置.

為此，執(zhí)教者組織實施了六個教學(xué)環(huán)節(jié)“閱讀引言，先行組織”“探索要素，揭示課題”“推導(dǎo)公式，體會本質(zhì)”“學(xué)以致用，解決問題”“課堂小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)”“目標(biāo)檢測，作業(yè)布置”，并適時適切地設(shè)計了一系列的“問題—追問—探究—追問—例題—變式”，把整個教學(xué)內(nèi)容串聯(lián)起來，使其成為系統(tǒng).舉例如下.

【問題】確定一條直線的幾何要素是什么？

【追問1】“兩點確定一條直線”是個幾何公理，不需要借助于平面直角坐標(biāo)系，但我們要利用平面直角坐標(biāo)系給直線“定位”，那么平面直角坐標(biāo)系的定位功能如何體現(xiàn)？

【追問2】請大家思考，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過一點P可以作無數(shù)條直線l1，l2，l3，……，它們組成一個直線束，如何利用坐標(biāo)軸把這些直線區(qū)別出來？

【追問3】如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“直線相對于x軸的傾斜程度”？

【追問4】你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？

【探究】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α.（教材第52頁）

（1）已知直線l經(jīng)過O（0，0）那么α與O，P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

（2）類似地，如果直線l經(jīng)過點P1（-1，1），，α與P1，P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系？

（3）一般地，如果直線l經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

【追問1】當(dāng)直線P1P2與x軸平行或者重合時，上述式子還成立嗎？為什么？

【追問2】我們知道，直線P1P2上的向量以及與它平行的向量都是直線的方向向量.你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？

【例題】已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.

【變式1】設(shè)D（m，0），若過A，D兩點的直線l的傾斜角為60°，求m的值.

【變式2】經(jīng)過點A作直線l，若直線l與連接B，C兩點的線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍.

特質(zhì)評析：這一鏈?zhǔn)皆O(shè)計不僅流暢自然、絲絲入扣、環(huán)環(huán)相套，而且充分彰顯了新課程新教材的理念，緊緊抓住解析幾何的本質(zhì)，基本思想是“首先需要把圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式，然后用代數(shù)方法算出結(jié)果，最后把算出來的結(jié)果再轉(zhuǎn)化成幾何形式”.這兩次轉(zhuǎn)化的橋梁就是笛卡爾提出的兩個基本觀點“用坐標(biāo)表示點，用方程表示曲線”.解析幾何主要有兩大任務(wù)“根據(jù)曲線的幾何條件，把它的代數(shù)形式表示出來；通過曲線的方程來討論它的幾何性質(zhì)”［1］.

（三）激活學(xué)生興趣，創(chuàng)建和諧課堂

課堂是教學(xué)的主陣地，也是教學(xué)活動中教師與學(xué)生互動生成的場所.學(xué)科教學(xué)設(shè)計無論創(chuàng)設(shè)了多少預(yù)見的成分，最終都落腳于數(shù)學(xué)課堂.一節(jié)優(yōu)質(zhì)高效的數(shù)學(xué)課，需要教師想方設(shè)法去激活學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，同時充分組織創(chuàng)建和諧有序的課堂氛圍.

執(zhí)教者為了能夠在課堂教學(xué)過程中調(diào)動學(xué)生的聽課積極性和教學(xué)參與度，設(shè)計了自主思考、課堂板演、小組討論、解答投屏、問答交流、畫圖展示等豐富多彩的教學(xué)方式.舉例如下.

【問題】確定一條直線的幾何要素是什么？

［師生活動］學(xué)生獨立思考作答.

【追問】你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？

［師生活動］教師演示直線l從與x軸平行或重合時開始繞直線上一個點旋轉(zhuǎn)的過程，讓學(xué)生直觀感受直線的傾斜角的變化范圍是0°≤α＜180°，然后采取邊問邊答的方式使學(xué)生明確這一判斷.

【探究】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α.已知直線l經(jīng)過O（0，0）那么α與O，P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

［師生活動］學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出點O，P及直線l，先進(jìn)行獨立思考，然后在學(xué)習(xí)小組內(nèi)交流；與此同時，教師巡視察看指導(dǎo)，讓學(xué)生將自己的想法在全班交流，或者通過投屏展示分享，適當(dāng)時候可以對傾斜角進(jìn)行分類討論.

特質(zhì)評析：專家指出，“三新”背景下的課堂教學(xué)設(shè)計與實施，都需要較為明顯地體現(xiàn)在課堂的主體——學(xué)生身上.教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生的三種學(xué)習(xí)狀態(tài)：參與狀態(tài)、交流狀態(tài)、達(dá)成狀態(tài).從這個角度講，教師要以優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)為追求，在課堂教學(xué)的全過程，充分引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與教學(xué)活動，組織生成形式豐富的活動，達(dá)成良好可見的教學(xué)效果.

（四）展現(xiàn)綜合素質(zhì)，追求課堂效果

“三新”背景下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)對教師提出了更高的要求，從深入領(lǐng)會課程理念，到全面研讀教材內(nèi)容，再到設(shè)計實施教學(xué)流程，都凝聚著教師的綜合素質(zhì).在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師更應(yīng)努力追求良好的課堂效果，使課前預(yù)設(shè)服務(wù)并服從于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展與數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的達(dá)成.

在這節(jié)課中，執(zhí)教者規(guī)范自身的教學(xué)行為，如利用三角尺規(guī)范地畫圖，利用投影筆舒服地示范動作，面向全體學(xué)生投以親切關(guān)懷的眼神，穿著得體清新的服裝等，這就充分展示了其注重細(xì)節(jié)、尊重學(xué)生、尊重課堂的個人素質(zhì)修養(yǎng).

例如，執(zhí)教者特別設(shè)計了一個環(huán)節(jié)，圍繞“探索直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素”這一任務(wù)，以發(fā)揮直角坐標(biāo)系的定位功能為思維導(dǎo)向，通過問題引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動.

第一步，明確直角坐標(biāo)系的定位功能體現(xiàn)在原點為“基準(zhǔn)點”、坐標(biāo)軸為“基準(zhǔn)方向”.

第二步，以公共點在x軸上的直線束為特例，探究利用坐標(biāo)軸把這些直線區(qū)分開來的幾何條件，實現(xiàn)從“傾斜程度”（定性）到“傾斜角”（定量）的過渡.

第三步，推廣到一般，得出傾斜角的定義及傾斜角的范圍.

第四步，總結(jié)提升，讓學(xué)生明確用x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角定量刻畫直線的方向，這個角是存在的、確定的、唯一的.

這一過程是一種極為自然融洽的教學(xué)雙向活動，可以讓學(xué)生情不自禁地置身其中，享受數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué).

特質(zhì)評析：一個好的教學(xué)設(shè)計要通過一個好的課堂實施得以落實與顯化.教師如果能夠在課堂教學(xué)中充分展現(xiàn)自己的綜合素質(zhì)，即教態(tài)、語言、板書、應(yīng)變等，讓學(xué)生切身感受教育教學(xué)的魅力，聽課就會成為學(xué)生享受知識的過程，由此，教師對于良好課堂教學(xué)的預(yù)期就必定可以很好地達(dá)成.一名優(yōu)秀的教師總是能去努力抓住學(xué)生的心理，用富有吸引力的語言、創(chuàng)新的表達(dá)形式，充分調(diào)動學(xué)生的積極性和求知欲，使學(xué)生能充分利用短暫的課堂學(xué)習(xí)，學(xué)到知識，學(xué)到方法，開啟思維［2］.

（五）設(shè)計系列問題，拓展數(shù)學(xué)思維

基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出，注重思維訓(xùn)練的數(shù)學(xué)教學(xué)尤其如此.設(shè)計情境和提出問題的目的是啟發(fā)學(xué)生思考，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生通過解決課堂教學(xué)中的系列問題，拓展數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

執(zhí)教者不僅重視在課堂上充分借用問題鏈把教學(xué)過程串聯(lián)起來，集點成線，織線成網(wǎng)，把知識內(nèi)容構(gòu)建成系統(tǒng)的體系，而且重視在課堂小結(jié)時，調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，引導(dǎo)其積極表達(dá)課堂學(xué)習(xí)體會，并設(shè)計如下具有課堂延伸性的課外提問.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們獲得了哪些數(shù)學(xué)知識？在獲得知識的過程中，你們感悟了哪些數(shù)學(xué)思想？得到了哪些人生啟示？

這為執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生借用“三會”觀點給課堂作結(jié)提供了銜接呼應(yīng).其設(shè)計意圖如下.

將該節(jié)主要內(nèi)容“傾斜角”代數(shù)化為“斜率”：第一步，數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化，這是解析幾何的根本思想；第二步，由“兩個點確定一條直線”而斷定傾斜角可以用兩點的坐標(biāo)來表示；第三步，由傾斜角刻畫了直線的方向，從而聯(lián)想到直線的方向向量，并建立傾斜角與方向向量、三角函數(shù)之間的聯(lián)系.這能反映數(shù)學(xué)的整體性、聯(lián)系性.以“一個對象的不同表示方式之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化”的思想指引思考的方向.這些思想、觀念蘊含于斜率概念的形成過程中，通過小結(jié)將它們揭示出來，有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，對理性思維的發(fā)展也很有好處.而在推導(dǎo)斜率計算公式時，學(xué)生需要運用從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，這也能助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

最后，執(zhí)教者以一幅展現(xiàn)解析幾何思想的框架圖（如圖2所示）結(jié)尾.

圖2 解析幾何思想框架

特質(zhì)評析：數(shù)學(xué)學(xué)科相當(dāng)重視數(shù)學(xué)思想和思維.教師需要精心研究、挑選并確定課堂例題、課堂提問和課后習(xí)題，以確保訓(xùn)練的有效性.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師還要努力提高思維層次和深度，要從提高問題的“含金量”入手.教師的每一個設(shè)計、每一堂課，都要設(shè)法提供給學(xué)生一系列有思考價值的問題，通過對這些問題的分析、研究、解決、反思來提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).