朱宸材|江蘇省無錫市僑誼實驗中學

復習課是數(shù)學教學的主要課型之一，教師需要根據不同主題的特點，進行結構化的設計，形成高于日常教學的視角和觀點，體現(xiàn)數(shù)學知識、思想方法的整體性和系統(tǒng)性.TPACK是整合技術的學科教學知識（Technological Pedagogical Content Knowledge）的簡稱，其三大要素TK（技術知識）、PK（教學法知識）和CK（學科內容知識）共同作用、相互影響.TPACK視角下的初中數(shù)學專題復習課綜合性強、思維要求高，需要教師掌握完整的數(shù)學知識體系及一定的信息技術能力，并能以TPACK為指導對專題復習課進行剖析.

一、基于TPACK框架提煉初中數(shù)學專題復習課教學的分析維度

1985年，舒爾曼提出了PCK，試圖從專業(yè)能力維度給出教師專業(yè)發(fā)展的一些重要指標.2005年，科勒與米什拉引入技術知識，指出需要結合特定的教學情境來理解教師的發(fā)展，特別強調了信息技術的重要作用［1］.由此，TPACK框架成型，它將學科知識、課程知識、教學知識與信息技術相融合，形成了理論與實踐相結合的研究體系，并主要分布在理解性知識、教學目的與策略、教學內容的理解與設計、教學評價與反饋四大塊，其各組成結構之間的關聯(lián)如圖1所示［2］.

圖1 TPACK各組成結構之間的關聯(lián)

從中國知網上的相關論文可知，我國對TPACK研究涉及的主要領域有TPACK視域、教師專業(yè)成長、信息化教學能力、教師信息化教學能力和提升策略、教學設計與信息技術融合、整合技術的學科教學知識等.根據這些研究，為進一步增強實效，筆者以《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）為依據，從“為什么進行教學”出發(fā)，提煉出TPACK視角下的初中數(shù)學專題復習課教學的“3W+3H+2T”八個分析維度：教育價值（Why），即教學內容指向的教育目的；教學目標（Where），即教學要達到的目標；教學內容（What），即教什么；學情分析（How），即學生的實際能力起點；教學策略（How），即怎么教；教學評價（How），即教學效果如何實現(xiàn)；技術—教學法（TPK），即數(shù)據收集并進行教學研究；技術—學科（TCK），即學科內容的互動呈現(xiàn).

結合復習課的特點與教學設計的分析要素，筆者又將TPACK的八個維度細分為下列關注點.

教育價值（Why）：關注對復習內容必要性的認識，涉及數(shù)學需要和現(xiàn)實需要兩方面.

教學目標（Where）：以《課程標準》為依據，根據近年來的中考考查情況進行設定.

教學內容（What）：進行知識結構設計安排，復習內容既要關注橫向聯(lián)系，也要關注縱向聯(lián)系；確定教學重、難點，圍繞數(shù)學思想方法及本質特點展開.

學情分析（How）：包括學生已有基礎（對生活中相關事實的認識，對數(shù)學內容前后聯(lián)系的掌握）、學生知識掌握特點、學生思維形成特點、學生存在的困惑（由知識內容本身比較抽象、深奧以及學生認知能力不足造成）四個方面.

教學策略（How）：包括教學重點如何實施、教學難點如何突破、根據學生特點如何實施教學策略、復習效果如何達成四塊內容.

教學評價（How）：通過區(qū)域智慧平臺實施教學的前測與后測，根據學生的學情特點和掌握情況進行綜合性評價.

技術—教學法（TPK）：整合技術于專題復習，形成結構化的整體認識及學生在學習中對認知與技術使用的反饋.

技術—學科（TCK）：產生對課程基于教育技術的認可，使用技術表征學科核心內容；通過提升學習的品質來促進技術進階和升級，從而更好地服務學科發(fā)展.

二、TPACK視角下的“概率”專題復習課解析

統(tǒng)計與概率是義務教育階段數(shù)學學習的重要領域之一，在初中階段，概率主要是揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，《課程標準》特別強調數(shù)據觀念，指出教學要使學生對數(shù)據的意義和隨機性有比較清晰的認識.根據以上分析，筆者對“概率”專題復習課進行TPACK內涵解析，集中研究以下五個問題.

（1）“概率”專題復習的價值體現(xiàn)在哪里？

（2）中考專題復習涉及哪些具體的內容？

（3）學生學習的起點在哪里？會遇到哪些學習障礙？要如何解決？

（4）如何通過現(xiàn)代信息技術進行有效融合？主要的連接點有哪些？

（5）如何有效地進行復習課的組織？如何體現(xiàn)專題課的教學效果？

下面，筆者基于TPACK，對隨機現(xiàn)象的可能性進行深入的可行性分析與內涵研究.

（一）教育價值（Why）

在蘇科版義務教育教科書《數(shù)學》（以下簡稱“蘇科版教材”）中，統(tǒng)計與概率部分的內容是分年級按螺旋式上升結構編排的，點多面廣，亟須通過專題復習將這些散落的知識進行串聯(lián)，形成知識學習的結構.教師要結合解題方法的歸納及數(shù)學思想方法的提煉和總結，發(fā)展學生分析、處理數(shù)據的意識和能力，培養(yǎng)學生對概率的應用意識及數(shù)學推理能力.

（二）教學目標（Where）

目前的中考趨向將畢業(yè)和升學合并考查，它以學業(yè)達標為主，兼顧高一層級學校選拔.同時，中考命題以各學科的課程標準為依據.因此“概率”專題復習課的教學應基于《課程標準》，綜合考慮中考的考查和選拔要求.

1.以《課程標準》為依據深化目標

《課程標準》指出，要“能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結果，了解隨機事件的概率”，并“通過大量重復試驗”，借助其發(fā)生頻率的穩(wěn)定性，會用頻率估計概率.當前，大量的重復性試驗完全可以借助現(xiàn)代技術模擬進行.教師要通過數(shù)據的隨機性以及概率與統(tǒng)計的關系，發(fā)展學生的數(shù)據意識和模型觀念，使其能以統(tǒng)計與概率的模型和思維來解決生活中的實際問題.

2.以中考試題為依據細化目標

近七年無錫市中考數(shù)學試卷對概率類問題的考查具有較強的穩(wěn)定性，多以解答題的形式出現(xiàn)，分值在8分左右，考點也以隨機概率為主，要求結合實例用列表或樹狀圖進行求解，其考查情況如表1所示.

表1 2016—2022年無錫市中考數(shù)學試卷對概率類問題的考查情況

（三）教學內容（What）

由《課程標準》可知，概率是研究與揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的工具，其重要作用是幫助進行決策.“概率”專題復習，涵蓋概率的意義、事件的描述與分類、隨機事件發(fā)生的概率求解、日常生活中對隨機概率問題的補充與延伸、通過簡單概率模型解決生活中的實際問題等.從對立統(tǒng)一的觀點來看，概率中的必然與偶然會產生一對辯證關系，而通過對概率本質的研究，可發(fā)展學生的邏輯推理能力.利用現(xiàn)代教育技術可更大程度地打開想象空間，有利于將一些碎片化的知識進行結構化的整體呈現(xiàn)，體現(xiàn)蘇科版教材螺旋上升的編排特點.此外，若能聯(lián)系統(tǒng)計的相關知識，將概率與統(tǒng)計知識打通并進一步梳理，則有利于學生進入高中以后對概率內容的進一步學習.

（四）學情分析（How）

初中階段，學生已經學習了概率的意義，能理解生活中的簡單隨機概率，會用列表或畫樹狀圖的方法計算隨機事件的概率，對頻率與概率的關系有了感性的認知.初三學生邏輯思維能力漸趨成熟，具備一定的推理歸納能力，但在全面性和深刻性等方面仍有欠缺，需要進一步提升，在理解概率中的公平問題時也存在一定的障礙.因此在專題復習課教學中，教師需要通過問題情境的方式循序漸進地提出問題，形成問題鏈或問題群，引導學生進行有效的發(fā)散思維和收斂思維訓練，讓學生能通過實例判斷事件的公平性.

（五）教學策略（How）

1.突出重點

以問題鏈的形式展開教學，突出研究的主問題.教師可通過技術平臺整合大數(shù)據，推出“分總式”或“總分式”結構的問題串.前者先提出一系列子問題，再歸總至主問題；后者先提出主問題，再發(fā)散出一系列子問題.

2.突破難點

教師可通過數(shù)據平臺等關聯(lián)中考真題，對學生在問題解答過程中出現(xiàn)的集中錯誤進行大數(shù)據分析，歸納主要的錯誤原因，然后以此為依據，引導學生探索三步概率的解法，逐層釋疑，分步推進，在突破難點的同時，幫助學生形成如圖2所示的概率知識結構網絡.

圖2 概率知識結構網絡

（六）教學評價（How）

《課程標準》指出，教學評價有育人和導向作用，主要分為課堂評價和學業(yè)水平評價.教師需要通過維度多元、主體多樣的教學評價，對專題復習課進行教后反思與再認識，進而實現(xiàn)教學質量的不斷提升和教學效果的有效監(jiān)測.在TPACK視角下的“概率”專題復習課中，教師呈現(xiàn)結果，提煉思想方法，幫助學生提升與再構建整體思維能力，可使其在理解概率的基礎上形成技能，并進一步內化為能力.同時，教師借助現(xiàn)代教育技術將相關知識直觀呈現(xiàn)并使之系統(tǒng)化，可實現(xiàn)從課堂評價向學業(yè)水平評價的自然過渡［3］.

（七）技術—教學法（TPK）

張景中等學者將TPACK分成“識別、接受、調整、探究和推進”五個發(fā)展水平，認為進行各發(fā)展水平之間的融合是TPACK的主要任務，教師要從整體性和系統(tǒng)性上來考慮教學中的各個因素，細化教學流程，有效促進教學水平的提升［4］.

（八）技術—學科（TCK）

教師要有效實施課堂教學，就要在合適的時間和節(jié)點引入信息技術，促進教學與信息技術的實時整合.TPACK的發(fā)展是動態(tài)演變的，教師越能靈活地借助信息技術改進學科教學，就越能對教學內容產生清晰的理解，從而不斷更新現(xiàn)有的教學理念，緊跟未來教學的發(fā)展.這樣的作用必然是相互的，學科融合能力也因此迭代更新.

三、TPACK視角下的“概率”專題復習課教學設計及反思

（一）教學環(huán)節(jié)

【環(huán)節(jié)一】識別——創(chuàng)設情境，引發(fā)興趣促思考

問題1：“清明時節(jié)雨紛紛”中蘊含了什么數(shù)學知識？

設計意圖：通過學生熟悉的詩句導入課堂，以其中蘊含的數(shù)學知識為載體，引發(fā)學生思考并回憶不確定事件與確定事件的概念，激發(fā)學生內在的學習需求.

問題2：舉出現(xiàn)實生活中必然事件、不可能事件、隨機事件的例子.

問題3：對這些事件發(fā)生可能性的大小，我們是如何描述的呢？

設計意圖：從學情出發(fā)，以現(xiàn)實生活問題切入，讓學生感受生活與數(shù)學之間的緊密聯(lián)系，自然地引出概率知識.

【環(huán)節(jié)二】接受——載入問題，提煉方法現(xiàn)觀點

［例1］（2015年浙江省湖州市中考題）一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球為黑球的可能性為多大？隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球，計算兩次摸出的球都是黑球的可能性.

問題4：回憶一下，我們用什么概念來描述事件發(fā)生可能性的大小？

［例2］（2021年江蘇省無錫市中考題）將4張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）放在盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片，求下列事件發(fā)生的概率.（請用畫樹狀圖或列表等方法寫出分析過程）

（1）取出的2張卡片數(shù)字相同.

（2）取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”.

問題5：一般用什么方法求解概率？

設計意圖：遵循抽象與具體相結合的數(shù)學教學原則，通過具體的題目總結知識點，關聯(lián)中考，以知識點將題目分類.例1第1問為求解一步概率的問題，學生在解題過程中需回憶概率的定義；例1第2問與例2均為求解兩步概率的問題.待學生完成這兩道題后再引導學生總結求解概率的一般方法：求解一步概率用列舉法，求解兩步概率用列表與畫樹狀圖法.

【環(huán)節(jié)三】調整——辨析試題，尋找規(guī)律出結論

［例3］（2022年江蘇省無錫市中考題）建國中學有7位學生的生日是10月1日，其中男生分別記為A1、A2、A3、A4，女生分別記為B1、B2、B3.學校準備召開國慶聯(lián)歡會，計劃從這7位學生中抽取學生參與聯(lián)歡會的訪談活動.

（1）若任意抽取1位學生，且抽取的學生為女生的概率是多少？

（2）若先從男生中任意抽取1位，再從女生中任意抽取1位，求抽得的2位學生中至少有1位是A1或B1的概率.（請用畫樹狀圖或列表等方法寫出分析過程）

問題6：基于例3中的問題，思考如何修改游戲規(guī)則實現(xiàn)等概率事件.

問題7：公平就是事件發(fā)生的概率為二分之一嗎？請說明理由.

設計意圖：通過練習鞏固求解概率的方法.以判斷事件是否公平的例子，引導學生理解事件發(fā)生的概率相等才能判斷公平，而不能以事件發(fā)生的概率為二分之一作為判斷的標準，從而突破這節(jié)課的教學難點.

【環(huán)節(jié)四】探究——深入剖析，區(qū)分差異思考點

［例4］在同樣條件下對某種小麥種子進行發(fā)芽實驗，統(tǒng)計發(fā)芽種子數(shù)，獲得如表2所示的頻數(shù)分布，請由表格估計該麥種的發(fā)芽概率是多少.

表2 種子發(fā)芽實驗記錄

問題8：概率與頻率有什么關系？

設計意圖：加深對頻率與概率的理解、會用頻率估計概率是專題復習的重點之一，因此以例4引導學生回憶頻率與概率的關系，并構建如圖3所示的知識框架.

圖3 頻率與概率的知識框架

【環(huán)節(jié)五】推進——反思提升，形成結構化理念

問題9：例4中包含了哪些我們學過的知識點？三步概率也可以用列表或畫樹狀圖的方法求解嗎？

設計意圖：引導學生結合具體實例尋找知識之間的聯(lián)系，邊分析題目邊從橫、縱方向構建知識框架.遵循啟發(fā)式教學原則，自然地創(chuàng)設問題情境，啟發(fā)學生思考三步概率應該如何求解.

［例5］小花、小綠、小牛通過“石頭、剪刀、布”猜拳的方式決定誰去拿快遞，問在一個回合中只有一個人勝出的概率是____________.

設計意圖：求解復雜事件的概率是這節(jié)課的難點之一.遵循理論與生活相結合的數(shù)學教學原則，以游戲為情境吸引學生，使其主動探索三步概率的解法，從而突破難點.

（二）教學反思

上述教學環(huán)節(jié)的設計從TPACK的五個發(fā)展水平出發(fā)，環(huán)環(huán)緊扣、思路清晰，既能讓人了解每一環(huán)節(jié)從哪里入手、如何實現(xiàn)教學目標的有效達成，也能結合技術手段的融合和多元的評價方式，解決常態(tài)化專題復習課所存在的問題.可見，以TPACK指導數(shù)學復習課教學，具有較強的系統(tǒng)性和易操作性，能給綜合性較高的專題復習課提供可借鑒的范式.

綜上，筆者立足于“概率”知識，對TPACK視角下的初中數(shù)學專題復習課進行了必要的解析和設計，限于篇幅，僅進行了定性分析，定量研究仍顯不足.當前，為跟進新課程的理念，現(xiàn)代信息技術與數(shù)學課程正深度融合，廣大教師需要持續(xù)而深入地進行探究，以使現(xiàn)代信息技術能更加有效地融入數(shù)學教學發(fā)生和發(fā)展的全過程.