陳柄任 高振濤 吳磊 李鑫

2020年10月16日，習(xí)近平總書記在主持中共十九屆中央政治局第二十四次集體學(xué)習(xí)時(shí)強(qiáng)調(diào)：“要充分認(rèn)識(shí)推動(dòng)量子科技發(fā)展的重要性和緊迫性，加強(qiáng)量子科技發(fā)展戰(zhàn)略謀劃和系統(tǒng)布局，把握大趨勢(shì)，下好先手棋?！?021年3月，量子信息被納入“十四五”規(guī)劃綱要八項(xiàng)關(guān)鍵核心技術(shù)，正式上升至國家戰(zhàn)略層面。2022年1月，人民銀行發(fā)布的《金融科技發(fā)展規(guī)劃（2022—2025年）》也明確提出，探索運(yùn)用量子技術(shù)突破現(xiàn)有算力約束、算法瓶頸。目前，金融領(lǐng)域有望成為第一批受益于量子計(jì)算的行業(yè)已成為業(yè)界共識(shí)，國內(nèi)外金融機(jī)構(gòu)也紛紛加大投入力度搶占技術(shù)高地。本文通過使用量子近似優(yōu)化算法來求解金融量化投資場(chǎng)景下的組合優(yōu)化問題，提出了一種硬約束熱啟動(dòng)近似優(yōu)化算法，為利用量子計(jì)算進(jìn)行投資組合優(yōu)化提供了新的思路。

投資組合優(yōu)化與量子近似優(yōu)化

金融量化投資中的現(xiàn)代投資組合理論主要由投資組合理論、資本資產(chǎn)定價(jià)模型、有效市場(chǎng)理論及行為金融理論等部分組成。自1952年被提出以來，其發(fā)展極大地改變了過去主要依賴基本分析的傳統(tǒng)投資管理實(shí)踐，并首次將風(fēng)險(xiǎn)因素作為量化指標(biāo)考慮，現(xiàn)代投資組合理論的提出者也因此獲得了1990年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

投資組合優(yōu)化問題可以描述為如下問題：一個(gè)投資者已經(jīng)持有一部分資產(chǎn)，他需要根據(jù)市場(chǎng)的變動(dòng)不斷做多或做空資產(chǎn)，實(shí)現(xiàn)收益率最高的同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)降到最低。在每個(gè)交易時(shí)刻，他需要求得每個(gè)資產(chǎn)做多或做空的份額。該問題可以被建模為有約束下的二次規(guī)劃問題，在經(jīng)典計(jì)算中使用拉格朗日乘子法求解。由于資產(chǎn)交易所規(guī)定交易的最小單位為一手（A股規(guī)定一百股為一手），因此，最終投資于每個(gè)資產(chǎn)的資金須為一手資金的整數(shù)倍。然而，基于導(dǎo)數(shù)的拉格朗日乘子法能夠在連續(xù)解空間中求得最優(yōu)解，卻無法保證解為一手資金的整數(shù)倍。量子近似優(yōu)化算法（Quantum Approximation Optimization Algorithm， QAOA）最初被用于解決約束滿足和最大割問題，可以在多項(xiàng)式復(fù)雜度下給出很多困難組合優(yōu)化問題的近似最優(yōu)解，在投資組合優(yōu)化問題的應(yīng)用中有著巨大的潛力。

投資組合優(yōu)化問題

1952年，馬科維茲以資產(chǎn)組合為基礎(chǔ)，配合資產(chǎn)利率及投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度提出了馬科維茲模型。最初的馬科維茲模型為：

其中，w=[w1，w2，…，wN]，N為資產(chǎn)種類，wi為投資第i種資產(chǎn)資金占總資金的比例，Σ為資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣，r為資產(chǎn)的收益率，μ為投資者所期望獲得的收益。該模型的意義在于求滿足期望利率的投資組合問題，并使得風(fēng)險(xiǎn)最小。

首先，考慮到很難理性地得到一個(gè)投資者所期望獲得的收益，本文因此引入了風(fēng)險(xiǎn)因子λ。風(fēng)險(xiǎn)因子越接近0，表示越看重收益，投資越激進(jìn)；風(fēng)險(xiǎn)因子越接近1，表示越看重風(fēng)險(xiǎn)，投資越保守。其次，為衡量?jī)?yōu)化問題手續(xù)費(fèi)等因素的影響，本文在目標(biāo)函數(shù)中加入了手續(xù)費(fèi)T及已持有每種資產(chǎn)的份額y。最后，為了能成功模擬手?jǐn)?shù)的概念，wi的意義從比例變?yōu)槌钟幸回泿艈挝毁Y金的持倉狀態(tài)。因此，上述模型變?yōu)椋?/p>

wmin f（w）=λwTΣw-（1-λ）wTr+TΣi |yi-wi|

其中，wi的取值為-1、0與1，分別表示持有第i種資產(chǎn)空倉以貨幣單位、不持倉與持有第i種資產(chǎn)多倉以貨幣單位，實(shí)際上表示投資人的持倉狀態(tài)，而非持倉動(dòng)作。因此，該模型可以通過增加w長(zhǎng)度的方式來擴(kuò)大持倉狀態(tài)的范圍。例如，可以將w1和w2表示同一資產(chǎn)的持倉狀態(tài)，那么當(dāng)w1=w2=1時(shí)，則認(rèn)為持有該資產(chǎn)多倉兩個(gè)單位。另外，D代表凈投資額，在投資組合優(yōu)化問題中，則認(rèn)為所有持倉狀態(tài)的和表示不變，恒等于D。

量子近似優(yōu)化算法

QAOA是結(jié)合量子計(jì)算機(jī)和經(jīng)典計(jì)算機(jī)對(duì)二進(jìn)制組合優(yōu)化問題求解的算法。其中，二進(jìn)制組合優(yōu)化問題主要是針對(duì)組合優(yōu)化問題離散化的求解，具體指從一組二進(jìn)制的輸入集合中找出最大化滿足特定一組條件語句的問題。

本文使用兩個(gè)量子比特來編碼三種倉位狀態(tài)。當(dāng)量子比特測(cè)量結(jié)果為00或11時(shí)代表不持倉，當(dāng)測(cè)量結(jié)果為01時(shí)代表持多倉，當(dāng)測(cè)量結(jié)果為10時(shí)代表持空倉。使用QAOA處理投資組合優(yōu)化問題的方法分為軟約束方法與硬約束方法。軟約束方法將約束條件結(jié)合懲罰因子并入到目標(biāo)函數(shù)中。當(dāng)投資份額不滿足約束條件時(shí)，將導(dǎo)致懲罰項(xiàng)目標(biāo)變大，進(jìn)而在優(yōu)化過程中不滿足約束條件的解被排除。硬約束方法的中心思想是合理設(shè)計(jì)QAOA的量子線路，使線路過程中量子態(tài)僅在滿足約束條件的量子態(tài)間演化。一般而言，軟約束方法的電路簡(jiǎn)單，適用的約束條件更廣（約束條件符合二次多項(xiàng)式即可），但軟約束方法最終得到的結(jié)果仍有可能不滿足約束條件。除此之外，軟約束方法懲罰因子參數(shù)的調(diào)整較為困難，若懲罰因子過小，不滿足約束條件的解所占比例將會(huì)增加；若懲罰因子過大，最優(yōu)解與其他解間的目標(biāo)值差距不大，可能無法被最優(yōu)化過程選擇。相比之下，硬約束方法的解只會(huì)在滿足約束條件的解間選取，但硬約束需要為不同的約束條件構(gòu)造不同量子線路，且不同約束條件間的構(gòu)造思想可能會(huì)截然不同。

量子線路構(gòu)造

QAOA線路分為三部分：初始化線路，相位分離線路及混合線路。QAOA線路由初始化線路開始，然后由相位分離線路U（C，γ）和混合線路U（B，β）交替進(jìn)行。C稱為相位分離算子且與目標(biāo)函數(shù)相關(guān)，B稱為混合算子且與約束條件相關(guān)。γ與β為兩個(gè)線路的參數(shù)，也是在VQE過程中進(jìn)行優(yōu)化的參數(shù)。交替的輪數(shù)記為p。如果p越大，線路越深但算法消耗時(shí)間越長(zhǎng)。不同的交替電路中線路的參數(shù)也不相同。

在設(shè)計(jì)完QAOA線路后，使用變分量子算法（VQA）求解最優(yōu)參數(shù)。VQA算法首先初始化QAOA線路參數(shù)（γ1，…，γp，β1，…，βp），將該參數(shù)代入線路后得到量子態(tài)|ψc〉，然后計(jì)算〈ψc|C|ψc〉的值。這樣一來，VQA算法即為一組從參數(shù)（γ1，…，γp，β1，…，βp）到目標(biāo)函數(shù)〈ψc|C|ψc〉的映射，利用經(jīng)典梯度算法或非梯度算法求得參數(shù)（γ'1，…，γ'p，β'1，…，β'p），使得〈ψc|C|ψc〉最小。由于在一般情況下，使用經(jīng)典方法計(jì)算〈ψc |C|ψc〉過程復(fù)雜，難以體現(xiàn)量子計(jì)算優(yōu)越性，因此在VQA中主要使用蒙特卡洛算法，先對(duì)量子態(tài)|ψc〉進(jìn)行多次測(cè)量，然后將每一次測(cè)量后的量子態(tài)解碼為份額帶入方程的目標(biāo)函數(shù)中，使用目標(biāo)函數(shù)值的均值或CVaR值來估算〈ψc|C|ψc〉的值。

量子近似優(yōu)化算法應(yīng)用

當(dāng)前，在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上解決最大割等整數(shù)優(yōu)化問題可以采用隨機(jī)取整的方法，利用放松原問題的整數(shù)約束條件進(jìn)行優(yōu)化，從而尋找整數(shù)約束下的最優(yōu)解。該思想認(rèn)為，一個(gè)優(yōu)化問題的最優(yōu)連續(xù)解與該問題的最優(yōu)整數(shù)解相近，因此，利用最優(yōu)小數(shù)解相近的整數(shù)來構(gòu)造初始化線路。

受此啟發(fā)，本文嘗試在QAOA投資組合優(yōu)化的過程中利用放松整數(shù)約束的經(jīng)典優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)得到QAOA的初態(tài)，由此提升投資組合優(yōu)化的效果，并將這樣的方法稱作是熱啟動(dòng)的。同時(shí)，針對(duì)量子比特的變體可以使用經(jīng)典優(yōu)化方法（如內(nèi)點(diǎn)法）高效地求解原投資組合優(yōu)化問題。

因此，得到滿足上述問題在實(shí)數(shù)域上的一組最優(yōu)解，，接著構(gòu)造合適的初態(tài)和響應(yīng)的混合算子，由于原始的熱啟動(dòng)方案是軟約束的，且該方案通過參數(shù)）構(gòu)造旋轉(zhuǎn)門，以設(shè)計(jì)獲得熱啟動(dòng)的初態(tài)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣s*ijs*ijs*ijs*ijs*ij構(gòu)造混合算子。由于其混合算子屬于軟約束算子，會(huì)不可避免地得到不滿足約束條件的結(jié)果。因此，本文提出硬約束混合算子下的熱啟動(dòng)QAOA，并使用平均近似比評(píng)價(jià)概率算法的準(zhǔn)確度，其公式為：。由于概率算法會(huì)獲得關(guān)于w的一個(gè)分布，為這個(gè)分布在目標(biāo)函數(shù)下的期望值。在實(shí)驗(yàn)中使用蒙特卡洛方法來計(jì)算這個(gè)值，fmin為目標(biāo)函數(shù)能達(dá)到的最小值，而fmax為目標(biāo)函數(shù)能達(dá)到的最大值。因此，平均近似比是一個(gè)在0到1之間的指標(biāo)。

量子近似優(yōu)化算法驗(yàn)證

本文選取2021年第三季度滬市和深市股票數(shù)據(jù)進(jìn)行算法評(píng)估，在每次實(shí)驗(yàn)中首先隨機(jī)選取12只股票，并隨機(jī)給定凈投資額與風(fēng)險(xiǎn)因子，接著分別執(zhí)行經(jīng)典窮舉算法、原始硬約束QAOA、原始熱啟動(dòng)QAOA和硬約束熱啟動(dòng)QAOA四種算法，并在1000次實(shí)驗(yàn)后計(jì)算四個(gè)算法平均近似比的平均值。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，在平均近似比等指標(biāo)上，本文提出的硬約束熱啟動(dòng)QAOA對(duì)于組合優(yōu)化問題的求解效果顯著優(yōu)于現(xiàn)有的方案，

量子比特?cái)?shù)討論

在從經(jīng)典比特到量子比特的編碼過程中，我們使用兩個(gè)量子比特來表示三種倉位信息的一種（01表示做多倉，10表示做空倉，00或11表示不持倉）。這里默認(rèn)的倉位均為一個(gè)貨幣單位。如果投資者對(duì)于N只股票期望從持空倉w個(gè)單位到持多倉w個(gè)單位中選擇最優(yōu)投資額度，則需要2Nw個(gè)量子比特進(jìn)行表示（例如，w對(duì)01代表持多倉w個(gè)單位）。

進(jìn)一步來看，如果期望使得投資組合優(yōu)化問題進(jìn)一步貼近業(yè)務(wù)，w將表示投資某一資產(chǎn)資金占總資金的份額，w的取值范圍在0與1之間。因此，需要提前設(shè)定一個(gè)精度a，模型中的凈投資額將表示為1/a，而量子算法最終的輸出值代表投資份額為精度a的倍數(shù)。假設(shè)對(duì)于每只股票做多和做空金額不超過總資金，那么量子算法輸出值取值在-1/a到1/a間。因此，量子算法需要2N/a個(gè)量子比特。

結(jié)語

投資組合優(yōu)化問題一直是金融投資領(lǐng)域的熱門問題。本文展示了一種使用QAOA求解投資組合優(yōu)化問題的算法，可用于求解馬科維茲模型的離散解情況。當(dāng)前量子投資組合優(yōu)化還在研究初期階段，受限于可用量子比特的規(guī)模等約束，其運(yùn)算效率及準(zhǔn)確性還不足以與經(jīng)典算法相比較。未來，隨著量子計(jì)算機(jī)硬件的不斷發(fā)展，基于QAOA的投資組合優(yōu)化方法將逐漸走向?qū)嵱?，在業(yè)務(wù)應(yīng)用中釋放價(jià)值。

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（本文由面向金融投資領(lǐng)域的量子混合機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)研究及示范應(yīng)用﹝No. 2021-YF09-00114-GX，PO3522083587﹞、 量子金融云計(jì)算平臺(tái)﹝No. PO32220633309﹞、 一種高性能量子線路模擬器關(guān)鍵技術(shù)及優(yōu)化方法研究﹝No. PO3522083675﹞項(xiàng)目支持）

（作者單位：建信金融科技有限責(zé)任公司）

責(zé)任編輯：董 治