王曉瓊

新課程標(biāo)準(zhǔn)下，要著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)學(xué)生的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力。反思性學(xué)習(xí)立足核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)會用新的眼光看待問題，以一個(gè)全新的角度去思考，從而找到更好的解決問題的方法。通過反思性學(xué)習(xí)，將新的知識與經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到我們平時(shí)所處的環(huán)境中去，讓它與我們產(chǎn)生聯(lián)系，從而不斷發(fā)展，從而實(shí)現(xiàn)知識的進(jìn)化和完善，促使知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，全面提升應(yīng)用能力。

1 什么是反思性學(xué)習(xí)

反思性學(xué)習(xí)，也稱發(fā)散性學(xué)習(xí)。主要是指在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，根據(jù)實(shí)際情況選擇適宜的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)而形成知識的一種學(xué)習(xí)方法，即通過思考而形成思維方式。在學(xué)習(xí)活動過程中，教師不僅要給學(xué)生提供學(xué)習(xí)任務(wù)需要的資源包和環(huán)境條件以支持學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動，更要引導(dǎo)學(xué)生積極主動地進(jìn)行學(xué)習(xí)。反思性學(xué)習(xí)是教師在學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動過程中對學(xué)生所學(xué)的知識進(jìn)行有針對性的梳理總結(jié)和再學(xué)習(xí)的過程，學(xué)生在反思性學(xué)習(xí)的過程中鞏固并應(yīng)用學(xué)習(xí)方法時(shí)，學(xué)生會不斷地自我反思和改進(jìn)、提高。教師應(yīng)轉(zhuǎn)變以往的教學(xué)觀念，結(jié)合新課程理念和新課標(biāo)的要求及時(shí)更新教學(xué)方法和手段來提升課堂教學(xué)質(zhì)量。本文意在探討反思性學(xué)習(xí)方式下的學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，通過策略探究，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2 反思性學(xué)習(xí)的課堂實(shí)踐

2.1 內(nèi)容分析

北師大版教材關(guān)于網(wǎng)格作圖主要有“軸對稱變換”“平移變換”“旋轉(zhuǎn)變換”“位似變換”，本課在教材基礎(chǔ)上拓展，利用網(wǎng)格和無刻度直尺作圖畫出滿足條件的圖形——垂線、等分點(diǎn)等，既是網(wǎng)格作圖的延伸，也是幾何推理的拓廣。

2.2 教學(xué)重點(diǎn)分析

運(yùn)用幾何推理，在網(wǎng)格中進(jìn)行垂線、等分點(diǎn)的作圖問題。

2.3 教學(xué)難點(diǎn)分析

網(wǎng)格作圖的作圖方法的過程探究。

2.4 教學(xué)過程分析

2.4.1 問題導(dǎo)入，搭橋引路

問題1：如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)均都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，使用不帶刻度的直尺在網(wǎng)格中做出以下圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）。在圖1中，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1（簡單說明作圖依據(jù)）。

追問1：做出旋轉(zhuǎn)后的圖形要注意什么問題？

追問2：旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段與原線段存在什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

追問3：從這里可以得到做出等腰直角三角形的作法嗎？

教學(xué)說明：

通過問題串啟發(fā)思考，學(xué)生對“旋轉(zhuǎn)作圖”的原理進(jìn)行回顧，總結(jié)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出△AB1C1，如圖2。由此問題得出“將線段繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°能得到等腰直角三角形”這一結(jié)論，為后續(xù)的問題探究埋下鋪墊。

2.4.2? 問題探究，聚焦方法

問題2：如圖3，△ABC的頂點(diǎn)均在正方形的網(wǎng)格格點(diǎn)上，只用不帶刻度的直尺（不寫作法，保留作圖痕跡，畫圖過程用虛線表示）。

（1）過點(diǎn)C作出CE⊥AB，垂足為E；

（2）作出BC邊上的高AF。

追問1：上題中AB1與AB有何位置關(guān)系？

追問2：鑒于上題，通過什么變換可以得到CE呢？

追問3：還有其他的方法可以得到CE嗎？

追問4：AF又應(yīng)該滿足什么條件？

小組1：（方法1）根據(jù)問題1旋轉(zhuǎn)后的三角形，發(fā)現(xiàn)AB1與AB互相垂直，所以考慮把AB1平移到過點(diǎn)C，即可作出CE，如圖3；（2）中的AF也可采用相同的作法，如圖6。

小組2：（方法2）發(fā)現(xiàn)線段AB滿足“橫3豎4”，而小組1中AB1滿足“橫4豎3”，平移前后圖形全等，那么直接過點(diǎn)C構(gòu)造“橫4豎3”，即可作出CE，如圖4；（2）中的BC滿足“橫5豎2”，過A構(gòu)造“橫2豎5”即可作出AF，如圖7。

小組3：（方法3）利用網(wǎng)格中“處處有直角”的特點(diǎn)，如圖構(gòu)造∠PCE=∠ABP，那么∠CEB=∠BPC=90°如圖5；

（2）中也可采用相同的方法，構(gòu)造∠TAF=∠CBT，作出AF，如圖8。

教學(xué)說明：

反思性學(xué)習(xí)，需要教師在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動時(shí)，為學(xué)生做好基礎(chǔ)鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識關(guān)聯(lián)，逐步遞進(jìn)。在此過程中教師要注意利用問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，也傾聽學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)的反饋，最后再進(jìn)行反思并總結(jié)，提煉方法。問題2通過4追問，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考解題方向，并分組討論交流，尋找解題方法。通過3個(gè)小組的做法比較，歸納每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，總結(jié)提煉解題通法。在這里的小組討論，是反思性學(xué)習(xí)非常重要的組成部分。

問題3：如圖9，△ABC的頂點(diǎn)均在正方形的網(wǎng)格格點(diǎn)上，只用不帶刻度的直尺（不寫作法，保留作圖痕跡，畫圖過程用虛線表示）。

（1）作線段AB的中點(diǎn)G；

（2）在線段AB上找一點(diǎn)H，使得BH=2AH；

（3）在線段AC上作出點(diǎn)M，使得S△BCM=4S△ABM。

小組1：（方法1）平行四邊形對角線互相平分，所以可構(gòu)造平行四邊形確定中點(diǎn)，如圖10。

小組2：（方法2）在小組1的構(gòu)圖中，平行四邊形中存在全等，所以可以進(jìn)行全等構(gòu)造確定中點(diǎn)位置，方法更簡單，而且作法不唯一，如圖11、12。

小組3：利用構(gòu)造全等確定“中點(diǎn)”，（2）中的三等分點(diǎn)則可以構(gòu)造相似三角形來確定，方法不唯一，如圖13、14。

小組4：（4）中先將“面積比”轉(zhuǎn)化為“線段比”，再構(gòu)造相似三角形確定點(diǎn)的位置，方法不唯一，如圖15、16。

教學(xué)說明：

反思性學(xué)習(xí)除要讓學(xué)生進(jìn)行反思，也要關(guān)注學(xué)生思維的進(jìn)階性，梯度層層遞進(jìn)，學(xué)生是反思性學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生在課堂中處于主導(dǎo)地位。問題3主要是關(guān)于等分點(diǎn)的作圖，從“中點(diǎn)”到“三等分點(diǎn)”，再延伸到n等分點(diǎn)，從“全等三角形”到“相似三角形”的構(gòu)造，起點(diǎn)低，分層次遞進(jìn)，學(xué)生通過小組交流，總結(jié)不同的作圖方法，學(xué)生的思維得到了發(fā)散，反思性學(xué)習(xí)不斷深化。

2.4.3 問題提升，直擊中考

問題4：（2021·武漢）如圖，是由小正方形組成的5×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)。僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示。

（1）在圖17中，先在邊AB上畫點(diǎn)E，使AE=2BE，再過點(diǎn)E畫直線EF，使EF平分矩形ABCD的面積；

（2）在圖18中，先畫高，再在邊上畫點(diǎn)。

解法分析：第（1）小題是對問題3的鞏固，先是作出三等分點(diǎn)，再是平行四邊形的平分面積的性質(zhì)應(yīng)用，判斷可作中點(diǎn)；第（2）小題是問題2的鞏固，但難度加大，有了網(wǎng)格大小的局限性，要對本題的解法更深一步地拓展歸納。若從端點(diǎn)處作直角，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格不夠；若用“數(shù)格子”，由于線段BD是“橫3豎2”，在構(gòu)造CG 時(shí)，要從C處作“橫2豎5”，顯然格子也不夠用，要對其進(jìn)行補(bǔ)充網(wǎng)格明顯不符合題意。那么可引導(dǎo)學(xué)生換另一種角度，若用“橫1豎2.5”也滿足題意，但需用到問題3中作中點(diǎn)，將本課的知識點(diǎn)進(jìn)行了糅合；構(gòu)造“BH=DH”時(shí)，根據(jù)判定，“點(diǎn)H在BD 的中垂線上”，只需將直線CG 平移到BD 中點(diǎn)即可。平移過程中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C應(yīng)向左平移1.5個(gè)單位，向下平移1.5個(gè)單位，此時(shí)的“半點(diǎn)”則為中點(diǎn)作圖。

教學(xué)說明：

把“平分面積”的作圖轉(zhuǎn)化為“中點(diǎn)作圖”，把垂線作圖中的平移問題糅合了中點(diǎn)作圖問題，強(qiáng)調(diào)知識連貫性，結(jié)合幾何推理進(jìn)行作圖，在作圖中，延續(xù)了前面的活動經(jīng)驗(yàn)，通過不斷地反思，經(jīng)歷從一般到特殊的思考過程，至此經(jīng)過層層遞進(jìn)，問題不斷生長，知識自然生成，思維遞進(jìn)發(fā)散，同時(shí)學(xué)生也經(jīng)歷了體會、方法的積累和反思的不斷深化。

3 教學(xué)思考

3.1 反思性學(xué)習(xí)的價(jià)值

在課程改革的背景下，基于新課程理念的提出，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)今社會的發(fā)展要求，新的課程理念在教學(xué)中的應(yīng)用就顯得尤為重要。反思性學(xué)習(xí)的課堂意在面向?qū)W生的學(xué)習(xí)，打破傳統(tǒng)課堂以“教師為中心、知識為中心”的教學(xué)模式，以學(xué)生發(fā)展為中心，更深層次理解學(xué)生、了解學(xué)生，是發(fā)展高質(zhì)量課堂的有效途徑。

3.2 反思性學(xué)習(xí)的實(shí)施途徑

在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師要深入了解學(xué)生的心理特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生當(dāng)前存在的問題進(jìn)行有針對性的教育，并以問題為導(dǎo)向，開展學(xué)習(xí)活動。反思性學(xué)習(xí)的課堂通過對數(shù)學(xué)教材的深入分析，創(chuàng)設(shè)并抓住反思契機(jī)，通過課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后作業(yè)、課后檢測與解題等不同方面鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反思學(xué)習(xí)；同時(shí)選取部分重要數(shù)學(xué)知識內(nèi)容開展主題教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)主要以“數(shù)學(xué)概念、幾何模型、解題思想”等為主題，分別組織新授課、復(fù)習(xí)課、習(xí)題講評課等課型進(jìn)行教學(xué)活動，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生分別從知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)結(jié)果等進(jìn)行反思。把課堂學(xué)習(xí)與反思相結(jié)合，在反思性學(xué)習(xí)過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

反思性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過反思，對自己的學(xué)習(xí)過程和結(jié)果做出評判后，產(chǎn)生問題引入思考，并解決問題，利于提高學(xué)習(xí)能力。同時(shí)也有助于學(xué)生正確對待問題，培養(yǎng)樂觀的學(xué)習(xí)態(tài)度，發(fā)展成長性思維，積極樂觀地對待問題，接受問題進(jìn)行挑戰(zhàn)，并提升自我，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)。

（作者單位：深圳市西鄉(xiāng)中學(xué)）