馬孟華 彭元忠 趙寅輝

【摘要】新高考、新課程改革背景下，課堂教學(xué)改革是必然趨勢，高效課堂的建構(gòu)成為了教學(xué)改革的主要研究方向.例習(xí)題是教材的重要組成部分，是教師了解學(xué)生知識掌握情況、提升學(xué)生素養(yǎng)的主要途徑.本文從選擇教材中典型、適量、有探究價值的例習(xí)題教學(xué)實踐出發(fā)，探究例習(xí)題“減量提效”的實施策略，并給出了高效課堂建構(gòu)下合理使用、開發(fā)教材例習(xí)題資源的建議，以期達(dá)到提升課堂效率的目的.

【關(guān)鍵詞】高效課堂；例習(xí)題減量提效；核心素養(yǎng)

新課程自實施以來，提倡教師對課程資源進(jìn)行合理有效地開發(fā)利用.教師對課本例習(xí)題研究、挖掘、開發(fā)，實現(xiàn)“減量提效”，一方面可以服務(wù)于教師的個性化教學(xué)、專業(yè)發(fā)展的需求，另一方面也可以使教材更加適合于教學(xué)、服務(wù)于學(xué)生的需要，實現(xiàn)高效課堂的目標(biāo).高中數(shù)學(xué)新課程設(shè)置了“思考”“探究”“閱讀與思考”等活動和三個梯度的習(xí)題（復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用、拓廣探索）作為補(bǔ)充，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、應(yīng)用的歷程，有助于發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動性和創(chuàng)造性，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力.同時，教材例習(xí)題也是高考命題的主要依據(jù)，每年的高考常根據(jù)教材的例題、習(xí)題進(jìn)行引申、變化、拓展，所以教師必須準(zhǔn)確把握新高考動向，在新課程核心素養(yǎng)理念的要求下，對課本中的例題、習(xí)題進(jìn)行深入挖掘，善于在高考題中尋找教材題目的原型，探索高考試題與教材題目的結(jié)合點，打通教材與高考的通道，創(chuàng)造性地開發(fā)和使用教材，用活教材［1］，在減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的同時，提高課堂教學(xué)的有效性，從而生成高效課堂.

對教師而言，用好、用活教材例習(xí)題，深入研究并開發(fā)教材例習(xí)題資源，對教學(xué)質(zhì)量的提升和課堂效率的提高具有重要意義.對學(xué)生而言，教師精心挑選有價值的例習(xí)題進(jìn)行講解和練習(xí)，不僅可以提升學(xué)生的解題能力，還可以通過解題中的各個環(huán)節(jié)的設(shè)計來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)的效率和課堂效果，最終達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目標(biāo).在具體的教學(xué)實踐中，教師可依據(jù)教學(xué)中的課型分類，從以下三個方向?qū)滩闹械睦?xí)題“進(jìn)行減量”提效的教學(xué)實踐，從而達(dá)到構(gòu)建高效課堂的目標(biāo).

1新課教學(xué)中例習(xí)題的選擇和教學(xué)

新課教學(xué)中的例題選擇應(yīng)具有典型性、可開發(fā)性和揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的功能，如：普通高中數(shù)學(xué)教科書（人教版）選擇性必修一第128頁“拓廣探究”中的習(xí)題13，題文如下：

已知雙曲線x2－y22=1，過點P（1，1）的直線l與雙曲線交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？為什么？

學(xué)生解答假設(shè)存在直線l滿足題意，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由點在曲線上得x12－y122=1，

x22－y222=1，則據(jù)點差法兩式相減，得y1－y2x1－x2=4y1+y2=42=2，故可得kAB=2，即存在直線l斜率為2滿足題意，此時直線l的方程為y=2x－1.

設(shè)計意圖上述解法是在學(xué)生了解掌握了圓錐曲線中的“中點弦”公式之后形成的解法.點差法作為圓錐曲線中的重要解題思想常常出沒于高考試題中，是重要的考點.但在教材中該習(xí)題的設(shè)計是對數(shù)學(xué)中常使用“技巧”“結(jié)論”來解題這樣一個思路的挑戰(zhàn)，它強(qiáng)調(diào)“通性通法”的使用，引導(dǎo)教學(xué)走向掌握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的實踐，教材的編寫者們精心設(shè)計，用心良苦.

事實上，上述學(xué)生的解法是錯解，因為所求直線是基于“點差法”以及假設(shè)直線存在的情況下得到的，點差法僅僅進(jìn)行了代數(shù)層面的運算，而遺漏了判斷直線與雙曲線是否相交的幾何問題.回歸到解決此類問題的通性通法，先聯(lián)立直線和雙曲線方程，后觀察方程判別式的情況，根據(jù)計算聯(lián)立后的二次方程的判別式先判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，在相交的情況下才能進(jìn)入“點差法”的使用.而學(xué)生這樣直接利用技巧解題就出現(xiàn)了錯誤.然而采用通性通法解決該類問題，可直達(dá)此類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).過程如下：

解：設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線上，且線段AB的中點為（x0，y0）.

當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其為k，則直線l的方程為y－1=k（x－1），聯(lián)立y－1=k（x－1），

x2－y22=1，得（2－k2）x2－2k（1－k）x－（1－k）2－2=0（2－k2≠0）.

故x0=x1+x22=k（1－k）2－k2=1，解得k=2，而k=2時，上述二次方程為2x2－4x+3=0，其判別式Δ=－8<0，故不存在直線l滿足題意.

評析弦的中點問題討論必須基于直線與圓錐曲線相交的前提下進(jìn)行，而聯(lián)立直線和圓錐曲線方程的過程可以檢驗直線與曲線是否相交，如果不相交即可說明沒有直線滿足條件，如果相交便可利用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式求出滿足條件的直線.這樣利用通性通法解決此題不僅抓住了該數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，還可以弄清問題的來龍去脈，而且還培養(yǎng)了學(xué)生解題思維的嚴(yán)密性和批判性.如何在基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下搞好數(shù)學(xué)教學(xué)中例習(xí)題教學(xué)，從而提高課堂效率？如何幫助學(xué)生掌握和運用數(shù)學(xué)本質(zhì)去解決問題，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？答案就是選擇合理、適量的能夠抓住數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的例習(xí)題、練習(xí)題進(jìn)行教學(xué)和訓(xùn)練，而抓住數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的教學(xué)又應(yīng)該回歸到重視解決問題的通性通法上來，淡化特殊技巧.解決數(shù)學(xué)問題的通性通法往往最能凸顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，而特殊技巧、結(jié)論只是數(shù)學(xué)問題在特定條件和環(huán)境下的一種表現(xiàn)形式，不具代表性，也就難以凸顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)［2］.所以，教師還可在上述例題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生深入探究橢圓、拋物線中的“中點弦”問題，如設(shè)計如下的思考探究題：

思考題1經(jīng)過點M（2，1）作直線l，交橢圓x216+y24=1于A，B兩點.如果點M恰好為線段AB的中點，求直線l的方程.

思考題2過點M（2，2）作直線l交拋物線y2=4x于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程.

探究1當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，得到的弦的中點與原點形成直線的斜率與該直線的斜率有何種關(guān)系？

探究2當(dāng)直線與橢圓、雙曲線相切時，切點與原點連線的斜率與該直線的斜率有何關(guān)系？

探究3對比教材選擇性必修一第108頁例3，第116頁拓廣探究題14，第121頁探究問題，你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計意圖探究1，2的引入使得直線與圓錐曲線在相交和相切背景下的問題得到了系統(tǒng)性的總結(jié)，即“中點弦公式”.也將直線與圓錐曲線相切狀態(tài)下（也即直線與圓錐曲線相交情況的極限狀態(tài)）的切線問題也進(jìn)行了深入研究，厘清了相交與相切之間的聯(lián)系，課堂教學(xué)由此轉(zhuǎn)向了深度教學(xué)和深度學(xué)習(xí).同時，探究3的解決也將學(xué)生對教材中圓錐曲線這一模塊的整體學(xué)習(xí)和認(rèn)識提升到了更高的水平和高度，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的系統(tǒng)性和整體性，也是大單元整體教學(xué)設(shè)計的主要體現(xiàn)，有效防止了“碎片化”教學(xué)的發(fā)生.同時，學(xué)生對知識點的掌握和理解也更加系統(tǒng)和全面，提升了學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而達(dá)到了建構(gòu)高效課堂的目標(biāo).

2習(xí)題課中的習(xí)題選擇和教學(xué)

在習(xí)題課教學(xué)中，如果教師能適當(dāng)?shù)?、有意識地選擇設(shè)計一些學(xué)生力所能及的典型問題，并對其進(jìn)行一題多解和變式教學(xué)，不僅會使學(xué)生提升對知識系統(tǒng)的橫向聯(lián)系和深刻理解，也可以開拓智力、培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力、優(yōu)化解題思路，最終在不同的解法思路下帶領(lǐng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法這個強(qiáng)大的數(shù)學(xué)武器，最終達(dá)到通過解決一個問題來領(lǐng)悟多種數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)，從而提升復(fù)習(xí)的效率，讓學(xué)生能夠真正利用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題.下面以習(xí)題課中解決等差數(shù)列前n項和的最值問題為例.

例1已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，S4=S9，求使得{an}的前n項和Sn最大的n的值.

法1函數(shù)法（數(shù)列的函數(shù)屬性）

由S4=S9可知：4a1+6d=9a1+36d，故a1=－6d.

而Sn=d2n2+a1－d2n=d2n2－13d2n=d2（n2－13n），且d<0.

故Sn最大的n的值為6或7.

法2通項符號分析法

由S4=S9可知：a5+a6+…+a9=0，即a7=0，又a1>0，故d<0.

所以Sn最大時的n的值為6或7.

法3定義法

設(shè)Sk為數(shù)列{an}的前n項和的最大值，則有Sk≥Sk－1，

Sk≥Sk+1，由a1=－6d，可得k=6或7.

法4數(shù)形結(jié)合法

由于Sn=d2n2+a1－d2n，故Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且d<0，開口向下，又由于S4=S9，故自變量n取4和9時函數(shù)值相等，其關(guān)于對稱軸對稱，而4和9的中點為6.5，由于n取正整數(shù)，故Sn最大時的n的值為6或7.

評析這樣的一題多解不僅系統(tǒng)總結(jié)了等差數(shù)列前n項和的最值求解方法，而且還將等差數(shù)列的求和公式、數(shù)列的通項與前n項和的聯(lián)系、等差數(shù)列的性質(zhì)和屬性的應(yīng)用都蘊藏其中，可謂一舉多得.此時教師可在此基礎(chǔ)上繼續(xù)引入變式和具有挑戰(zhàn)性的題目，以激發(fā)學(xué)生的探究意識和自主學(xué)習(xí)意識，在鞏固好已有知識的同時，將知識的學(xué)習(xí)引向深入.變式題如下：

變式1在等差數(shù)列{an}中，a1=7，公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n=8時，Sn取得最大值，則d的取值范圍為.

變式2已知{an}為等差數(shù)列，若a11a10<－1，且其前項和Sn有最大值，則當(dāng)Sn取得最小正值時，n=.

拓廣題

拓廣題1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為.

拓廣題2設(shè){an}是等比數(shù)列，公比q=2，Sn為{an}的前n項和，記Tn=17Sn－S2nan+1，n∈N．設(shè)Tn0為數(shù)列｛Tn｝的最大項，則no=.

設(shè)計意圖以上拓廣探究題的引入，考查了學(xué)生對“復(fù)雜情境下”的數(shù)學(xué)問題的處理能力，是課堂教學(xué)進(jìn)入深度教學(xué)和對接高考的有效方式.將高考試題作為拓廣探究題進(jìn)行深入研究，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的思維深度，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)模式，另一方面可以有效的實現(xiàn)分層教學(xué)，滿足不同學(xué)生對學(xué)習(xí)深度的需求.

探究題

探究1等比數(shù)列的前n項和有最值嗎？如何求最值？

探究2等比數(shù)列的前n項積有最值嗎？如何求最值？

如：設(shè)等比數(shù)列{an}，{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為.

探究3等差、等比數(shù)列的前n項和都有最值嗎？

探究4等差、等比數(shù)列的項有最值嗎？

探究5一般的，數(shù)列的項、前n項和的最值存在的情況下如何求最值？

如：（1）（人教社A版選擇性必修二24頁練習(xí)題5）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n－22n－15，前n項和為Sn，求Sn取得最小值時n的值.

（2）（人教社A版選擇性必修二34頁練習(xí)題5）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n33n，求使an取得最大值時n的值.

（3）已知數(shù)列{an}的通項公式是an=（n+2）78n.

①求an的最大值；

②設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍.

設(shè)計意圖以上探究題和教材習(xí)題的引入，是基于教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)深化之后，學(xué)生對已掌握知識進(jìn)行遷移、類比、應(yīng)用，突出強(qiáng)調(diào)了通過習(xí)題的訓(xùn)練來提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、掌握數(shù)學(xué)思想方法的重要性.

例2已知直線y=k（x－2）與拋物線C：y2=8x交于點A，B，點F是拋物線C的焦點，且|AF|=2|BF|，求k的值.

變式1將條件中直線方程換為“y=k（x+2）”，方法如何？

變式2將條件中直線方程換為“y=k（x+2）”“|AF|=2|BF|”改為“|AF|=3|BF|”，方法如何？

設(shè)計意圖例2、變式1、2的選擇是從解決解析幾何中直線與拋物線相交狀態(tài)下，直線是否過焦點的解題方法的異同點出發(fā)，利用代數(shù)坐標(biāo)法、幾何法、數(shù)形結(jié)合法等方法解決問題，并帶領(lǐng)學(xué)生體會不同思想方法體系下的共性特征，突出了在直線不過拋物線焦點時用“通性通法”解決問題的重要性，而直線過拋物線焦點時產(chǎn)生的一些列結(jié)論也是通性通法下的特殊產(chǎn)物.同時，通過對例題“一題多解、一題多變”的教學(xué)來強(qiáng)化“通性通法”對于解決數(shù)學(xué)問題的普適性和一般性，引領(lǐng)學(xué)生回歸教材，學(xué)會從“通法”入手探究數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提升學(xué)生分析解決問題的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，最終在提升課堂效率的同時，還將學(xué)生的學(xué)習(xí)引向深入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了探究意識.

3復(fù)習(xí)課中的例題選擇和教學(xué)

在復(fù)習(xí)課中的例習(xí)題選擇上，教師應(yīng)該以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提升教學(xué)效率，提高教學(xué)質(zhì)量為出發(fā)點，選擇典型、適量且有揭示問題本質(zhì)和系統(tǒng)總結(jié)價值的例習(xí)題進(jìn)行教學(xué).通過這樣例習(xí)題的教學(xué)和練習(xí)來達(dá)到對一個章節(jié)（一個知識點）的復(fù)習(xí)鞏固和系統(tǒng)總結(jié)，或是帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入更深層次的探究拓展，使學(xué)生能夠在教師的指導(dǎo)和訓(xùn)練下，形成對一個模塊（一個知識點）的系統(tǒng)和理性認(rèn)知，并在系統(tǒng)認(rèn)知的指導(dǎo)下解決更多的數(shù)學(xué)問題，掌握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，最終培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng).

下面以立體幾何為例進(jìn)行復(fù)習(xí)課中的例習(xí)題教學(xué)實踐.新教材人教A版選擇性必修一第8頁練習(xí)題1，題文如下：

例1如圖1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2BB1，則AB1與BC1所成角的大小為（）.

A.60°B.90°C.105°D.75°

法1向量法（基底法）（通性通法）

設(shè)BA=a，BC=b，BB1=c，則AB1=c－a，BC1=b+c，由向量夾角公式可得cos=（c－a）·（b+c）|c－a||b+c|.

令BB1=2，則AB=2，故a·b=2，a·c=0，b·c=0.

而|c－a|=（c－a）2=6，|b+c|=（b+c）2=6.

所以cos=（c－a）·（b+c）|c－a||b+c|=0.

故AB1與BC1的夾角為90°.

評析上述方法是新教材不同于老教材的一個顯著體現(xiàn)，新教材強(qiáng)調(diào)了立體幾何中空間向量基本定理的理解和應(yīng)用，強(qiáng)化了通性通法的教學(xué)和學(xué)習(xí).縱觀新教材整個立體幾何章節(jié)突出強(qiáng)調(diào)了利用空間向量基本定理和向量工具，從本質(zhì)入手解決立體幾何中的點、線、面位置關(guān)系及其空間角的求解問題.同時，教材還強(qiáng)化了對非特殊幾何體（如斜棱柱等）的理解和考查，突出了基底法在解決空間立體幾何中的問題上的一般性和重要性，而新高考在立體幾何模塊上的命題思路也在向這一方向轉(zhuǎn)變.可見，教材、高考都在強(qiáng)調(diào)通性通法在解決數(shù)學(xué)問題上的重要意義.

法2幾何法

設(shè)線段AB，BB1，B1C1，BC的中點分別為M，N，E，F(xiàn)，連接MN，EN，由三角形中位線可知：MN∥AB1，EN∥BC1.

故AB1與BC1的夾角即為MN，EN所成角，連接ME，EF，MF，由題意可知EF⊥MF，令BB1=2，AB=2.則在Rt△MEF中，ME=3，在△MEN中，MN=62，EN=62，故有|ME|2=|MN|2+|EN|2，可得MN⊥EN.

故AB1與BC1的夾角為90°.

評析法2的思路從本質(zhì)上揭示了空間中兩異面直線夾角的形成過程，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力.求夾角的過程綜合使用了解三角形這一通法，提升了問題的綜合性.若此例中夾角不是直角，則求出三角形三邊的情況下，求解內(nèi)角的通法必然是余弦定理.

法3坐標(biāo)法（代數(shù)法）

設(shè)BC的中點為O，B1C1的中點為E，以O(shè)A，OB，OE方向為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，令BB1=2，AB=2，則有A（3，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，－1，2）.

故AB1=（－3，1，2），BC1=（0，－2，2）.

由cos=AB1·BC1|AB1||BC1|=0.

故AB1與BC1的夾角為90°.

評析法3的思路是整個立體幾何章節(jié)學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)，利用代數(shù)坐標(biāo)將空間立體幾何中的“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，引入了較為簡潔的代數(shù)運算，培養(yǎng)了學(xué)生運算能力，也規(guī)避了立體幾何中大量的邏輯論證過程.

以上三個方法思路的設(shè)計不僅把握了教材的思路，符合新高考的趨勢和導(dǎo)向，同時教學(xué)設(shè)計在一定程度上帶領(lǐng)學(xué)生拋掉了數(shù)學(xué)問題的“位置背景”，真正使學(xué)生感受和領(lǐng)悟到了利用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題的重要意義，真正的在教學(xué)中落實了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)，也達(dá)到了高效課堂的要求.

學(xué)生在經(jīng)歷了該例題的示范后，教師可繼續(xù)設(shè)計相關(guān)的練習(xí)題訓(xùn)練，進(jìn)一步對立體幾何中點線面位置關(guān)系以及空間角的求解問題進(jìn)行復(fù)習(xí)和鞏固，以更好地構(gòu)建和完善整個立體幾何章節(jié)的知識體系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使其形成數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).練習(xí)題設(shè)置如下：

例2如圖2，在三棱錐PABC中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=π2，∠PAC=∠PAB=π3.

（1）求證：PA⊥BC;

（2）若PA=2AC=4，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值.

分析第（1）問的線線垂直關(guān)系可采用以下三種方法證明.

①基底法：以AC，AB，AP為基底向量，則BC=AC－AB.

故AP·BC=AP·（AC－AB）=0，得證；

②幾何法：設(shè)線段BC的中點為O，連接AO，PO，證明BC⊥平面AOP即可；

③代數(shù)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，證明AP·BC=0即可.

第（2）問的面面角，也可從幾何法和代數(shù)坐標(biāo)法入手解決.

①幾何法：過點A作平面PBC的垂線，垂足為H，連接BH，則在Rt△AHB中，∠ABH即為平面PAB與平面PBC夾角，解Rt△AHB即可求解；

②代數(shù)坐標(biāo)法：以AC，AB方向為x，y軸的正方向，以方向向上且垂直于平面ABC的方向為z軸方向建立A－xyz坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面法向量即可求解.

在問題（1）、（2）掌握的基礎(chǔ)上，教師可繼續(xù)設(shè)置不同層次的探究問題作為課后練習(xí)題，以鞏固學(xué)生所學(xué)，提升學(xué)生的思維能力.探究題設(shè)計如下：

探究1若PA=2AC=4，設(shè)AC的中點為E，求異面直線AP與BE的夾角的余弦值.

探究2若PA=2AC=4，設(shè)AC的中點為E，求直線BE與平面APC所成角的正弦值.

探究3通過探究1，2，試比較立體幾何問題中幾何法和代數(shù)坐標(biāo)法的優(yōu)勢和不足.

設(shè)計意圖例2及其探究問題的設(shè)計，不僅解決了空間立體幾何中的線面關(guān)系的判定、證明以及空間角（線線角、線面角、面面角）的求解問題，而且有效的將整個立體幾何中的定理、定義、公式，代數(shù)坐標(biāo)方法融合起來進(jìn)行了系統(tǒng)的辨析，幫助學(xué)生建立了對立體幾何問題解決的系統(tǒng)方法.學(xué)生在體會、理解解題過程中的數(shù)學(xué)思想方法的同時，培養(yǎng)了空間想象、邏輯推理能力，提升了數(shù)學(xué)運算能力，形成了高效課堂，極大的提升了復(fù)習(xí)課的課堂效率.

小結(jié)在復(fù)習(xí)課的例習(xí)題教學(xué)中，教師要通過帶領(lǐng)學(xué)生對典型例題進(jìn)行全面剖析和深入的研究，嘗試從不同角度分析和解決同一問題.同時基于問題的本質(zhì)溝通多方面內(nèi)容的聯(lián)系，從多個維度挖掘例習(xí)題的深度和廣度［3］.在探究挖掘例習(xí)題的深刻內(nèi)涵的過程中，反思總結(jié)出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，從而帶領(lǐng)學(xué)生全面深刻地認(rèn)識和理解立體幾何的知識體系，生成高效課堂.

4高效課堂建構(gòu)中合理使用、開發(fā)教材例習(xí)題資源的幾點建議

4.1教師應(yīng)理解教材例習(xí)題之間的關(guān)系，即：例題是習(xí)題的基礎(chǔ)、示范、典型，習(xí)題是例題的鞏固、遷移和變式［4］.例題教學(xué)的功能主要是帶領(lǐng)學(xué)生掌握解題方法、規(guī)范解題步驟、反思總結(jié)解題過程，引領(lǐng)學(xué)生深化理解基礎(chǔ)知識，引導(dǎo)學(xué)生把握知識的本質(zhì)及解決問題的通性通法.習(xí)題的訓(xùn)練則具有層次性和綜合性，教材在習(xí)題中設(shè)置了復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用和拓廣探究題三個層次，促進(jìn)學(xué)生的知識理解遷移和創(chuàng)新，也滿足了不同層次學(xué)生的發(fā)展需求.教師正確認(rèn)識和理解教材中例習(xí)題關(guān)系，是把握教材的基礎(chǔ)，是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵，也是實現(xiàn)例習(xí)題“減量提效”、提升課堂效率的前提，同時也是學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識體系的核心.教師只有厘清例習(xí)題間的異同點，才能更好的為例習(xí)題的教學(xué)提供參考，從而提升課堂教學(xué)的有效性［5］.

4.2實現(xiàn)例習(xí)題“減量提效”的基礎(chǔ)是教師在課前精心備課，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，改進(jìn)例習(xí)題教學(xué).教師在課堂教學(xué)前應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情選擇具有典型性、探索性、延展性的例習(xí)題進(jìn)行教學(xué)和訓(xùn)練.同時，根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求精心選擇和設(shè)計與例習(xí)題相關(guān)的探究拓展內(nèi)容，增加具有探索性的習(xí)題，激發(fā)學(xué)生思考探究的興趣和熱情，實現(xiàn)因材施教，分層教學(xué).

4.3教師對例習(xí)題的選擇和拓展應(yīng)注重與高考試題的對比分析，充分利用高考試題資源和高考評價體系的要求指導(dǎo)例習(xí)題的教學(xué).高考是促進(jìn)教學(xué)改革的重要依據(jù)，高考評價體系明確提出了加強(qiáng)教考銜接，減少機(jī)械刷題，引導(dǎo)教學(xué)注重作業(yè)題、練習(xí)題的減量提質(zhì)，促使教學(xué)中把教材內(nèi)容講全講透，提升課堂效果.事實上，新教材的編寫與高考的改革和發(fā)展相契合，教材在例題（強(qiáng)調(diào)實際問題情境）和習(xí)題（分為三個梯度）的選取和設(shè)計上充分考慮了與高考的銜接和聯(lián)系.教材的例習(xí)題中，特別是習(xí)題中選取了相當(dāng)一部分的高考試題或其變式作為訓(xùn)練題.教師應(yīng)該在充分研究高考試題的基礎(chǔ)上，結(jié)合高考對學(xué)生提出的能力素養(yǎng)要求，在教材例習(xí)題教學(xué)中選擇適量、合理、符合學(xué)生能力提升的例習(xí)題進(jìn)行教學(xué).同時教師要依據(jù)高考評價體系的要求以及不同學(xué)生的需求選擇或設(shè)計具有層次性、探索性的習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練，一方面發(fā)揮了例習(xí)題的教育、教學(xué)、評價功能，另一方面又兼顧了高考對學(xué)生提出的能力要求，更加適應(yīng)新高考的改革和社會的發(fā)展需要.

4.4教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生加強(qiáng)例習(xí)題的教學(xué)反思總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)認(rèn)知.加強(qiáng)對解題的反思總結(jié)是學(xué)生深化數(shù)學(xué)知識理解和掌握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的必經(jīng)之路.教師可以在解題后帶領(lǐng)學(xué)生嘗試從不同角度（一題多解）分析和解決同一問題，或從基于問題的本質(zhì)理解，從教學(xué)的整體設(shè)計或大單元整體設(shè)計的角度出發(fā)，將多個數(shù)學(xué)問題總結(jié)為一類問題模型（多題一解）進(jìn)行研究探索，進(jìn)而強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)學(xué)問題中的重要性，也可以從數(shù)學(xué)問題的背景、發(fā)展、應(yīng)用角度對例習(xí)題進(jìn)行拓展探究，在提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，引導(dǎo)學(xué)生提出新的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］王福林.兩道課本“思考 運用”習(xí)題的拓展[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（01）：75.

［2］馬孟華.注重通性、通法教學(xué)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)本質(zhì)理解[J].中國數(shù)學(xué)教育，2020（06）：12-16.

［3］何麗杰.基于深度剖析高中數(shù)學(xué)教材中習(xí)、例題的研究[J].數(shù)學(xué)研究，2018（13）：170.

［4］吳立寶，洪夢，王富美.數(shù)學(xué)教科書例、習(xí)題的關(guān)系研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（03）：75-78.

［5］蔣健敏，李建明.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視教材潛在功能的挖掘[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005（11）：24-26.

作者簡介

馬孟華（1986—），男，中學(xué)高級教師，云南省“興滇英才”支持計劃基礎(chǔ)教育領(lǐng)域高中數(shù)學(xué)名師工作室成員；主持云南省教育科學(xué)規(guī)劃項目課題1項；發(fā)表論文10余篇.

彭元忠（1971—），男，中學(xué)高級教師；獲云南省首屆信息技術(shù)與學(xué)科融合大賽高中數(shù)學(xué)一等獎、人教社優(yōu)秀實驗員，參加云南省省級課題研究并結(jié)題.

趙寅輝（1986—），男，中學(xué)高級教師，榮獲第三屆“大理十大最美教師”.