蔣海燕 甘志國

【摘要】為了高效復習備考，文章結(jié)合《普通高中課程標準》，并參考前幾年高考數(shù)學試卷的命制規(guī)律，對2023年高考數(shù)學“函數(shù)與導數(shù)”部分的熱點、重點和難點作簡要分析，并編擬了46道試題供復習參考.

【關(guān)鍵詞】2023年高考；函數(shù)與導數(shù)；復習備考；試題；原創(chuàng)

2023年高考數(shù)學試卷的使用情況是除浙江有所調(diào)整外（2022年是自主命題，2023年使用新高考卷1），其余各省市區(qū)使用的試卷均與2022年保持一致［1］.

函數(shù)是整個高中數(shù)學的一條主線，導數(shù)又是研究函數(shù)的有力工具，因而“函數(shù)與導數(shù)”是高三數(shù)學復習的重要內(nèi)容之一.

涉及“函數(shù)與導數(shù)”的復習內(nèi)容很多，為了高效復習備考，本文將結(jié)合教育部制定的《普通高中課程標準》［2］，并參考前幾年高考數(shù)學試卷的命制規(guī)律，對2023年的高考數(shù)學“函數(shù)與導數(shù)”部分的熱點、重點和難點作簡要分析，并編擬了46道相關(guān)試題.

文章的敘述僅代表作者個人觀點，謹供讀者參考.

12023年數(shù)學高考“函數(shù)與導數(shù)”部分熱點、重點和難點分析

考生應熟練掌握函數(shù)（尤其是冪、指、對等基本初等函數(shù)及三次函數(shù)）的概念、基本性質(zhì)（包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性與圖象），了解其他性質(zhì)（包括連續(xù)性、周期性、對稱性、有界性、可導性、凹凸性、極值與最值等）.函數(shù)最重要的性質(zhì)是單調(diào)性，若求出了一個函數(shù)的所有單調(diào)區(qū)間及其單調(diào)性，就可畫出該函數(shù)的圖象，進而可得到該函數(shù)的極值、最值、值域等性質(zhì).

2023年函數(shù)高考重點：冪、指、對等基本初等函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.

2023年函數(shù)高考熱點：函數(shù)的零點，求參數(shù)的取值范圍（往往需要對參數(shù)進行分類討論），多次求導（考生要能看出何時需要再求導.導數(shù)是研究函數(shù)的有力工具（重點是研究單調(diào)性），如果函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的性質(zhì)（主要是單調(diào)性）已經(jīng)很清楚了，就沒有必要再對函數(shù)f′（x）求導；否則，需對f′（x）再求導.解答2021年高考數(shù)學天津卷第20（2）題時，需要對函數(shù)f（x）二次求導，還需要對函數(shù)f′（a）二次求導；解答2021年高考數(shù)學天津卷第20（3）題時，也需要多次求導），數(shù)學文化，新定義問題.

2023年函數(shù)高考難點：抽象函數(shù)問題，用導數(shù)研究與三角函數(shù)結(jié)合的函數(shù)，對參數(shù)進行分類討論，函數(shù)不等式問題，找點問題，極值點偏移問題，與整數(shù)相關(guān)的問題（比如文＼[1＼]的題13）.

2023年數(shù)學高考變化：純數(shù)字的比較大小問題可能會在選擇題中以難題的形式出現(xiàn)（比如下文的試題5，23）；《中國高考報告2023》［3］中還提出2023年數(shù)學高考的命題變化：數(shù)學的出題方式將加入復雜情景（比如下文的試題6，40），重點強調(diào)對數(shù)學思維方法的考查.

《中國高考報告2023》中還提出2023年數(shù)學高考命題的四大趨勢：落實立德樹人，鮮明體現(xiàn)時代主題；高考由“考知識”向“考能力”轉(zhuǎn)變；聚焦“關(guān)鍵能力”和“思維品質(zhì)”的考查；高考由“以綱定考”到“考教銜接”轉(zhuǎn)變.

筆者認為2023年數(shù)學高考關(guān)于“函數(shù)與導數(shù)”的命題趨勢是：用基本初等函數(shù)的圖象解決相關(guān)問題（不用導數(shù)）；用導數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再作出函數(shù)圖象進而研究函數(shù)的性質(zhì)（包括極值與最值、零點個數(shù)等等），這是2023年數(shù)學高考的兩大總趨勢.考生還要注意2023年數(shù)學高考試題可能呈現(xiàn)以下10個特點：

（1）可能有選填題源于課本，比如2020年高考全國卷1文科第8題，2021年高考天津卷第7題.

（2）在分段函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍.

（3）關(guān)于函數(shù)圖象對稱性與周期性的綜合問題可能在選填壓軸題中出現(xiàn)［4］.

（4）考查函數(shù)最重要的性質(zhì)——單調(diào)性.

（5）重點考查函數(shù)的極值與最值.

（6）函數(shù)零點問題依然是重要題型.

證明函數(shù)存在零點［5］時，或直接求出零點；或由零點存在定理（也叫堪根定理）證明函數(shù)存在零點，不可僅由圖象代替嚴格證明，往往需要找點（比如2016年高考北京卷文科第20題），這也是解答過程的難點.

（7）函數(shù)不等式是難度較大的題目.

不等式恒成立、能成立、恰成立問題可能在選填題中出現(xiàn)，雙量詞、雙參數(shù)問題可能出現(xiàn)，求參數(shù)取值范圍問題會常考常新，考生要熟練掌握用導數(shù)證明函數(shù)不等式的四種常用方法［6］.

（8）重視對高等數(shù)學知識的考查（特別是極限思想，比如2013年高考新課標卷1文科第12題即理科第11題）.

（9）2023年數(shù)學高考全國卷較2022年的整體難度會保持穩(wěn)定（包括整體運算量較大）.

（10）多項選擇題、數(shù)學文化［7］試題及結(jié)構(gòu)不良問題是近年高考試題的熱點.

結(jié)構(gòu)不良問題也叫劣構(gòu)題（比如2021年新高考全國卷2第22題）是近幾年高考試題的熱點，它多了一項考查功能：考查考生對選項難易度的甄別，及對所求問題進行合理搭配再完成求解的能力.

2 2023年數(shù)學高考“函數(shù)與導數(shù)”部分知識點對應的試題

2.1選擇題

試題1（考查知識點：函數(shù)的最值，絕對值不等式的性質(zhì)）函數(shù)y=x－1+2x－2+3x－3（x∈R）的最小值是（）.

A.1B.2C.3D.4

試題2（考查知識點：二次函數(shù)，函數(shù)的零點，基本不等式）已知函數(shù)f（x）=2x2+bx+c（b，c為實數(shù)），f（－10）=f（12）.若方程有兩個正實數(shù)根x1，x2，則1x1+1x2的最小值是（）.

A.4B.2C.1D.12

試題3（考查知識點：對數(shù)運算，對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性）若a為常數(shù)，且f（x）=lg2xx+1+a是奇函數(shù)，則a=（）.

A.1B.-1C.0D.2

試題4（考查知識點：冪的運算，指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，不等式的基本性質(zhì)）若關(guān)于x的不等式1x+2x+3x+…+（n－1）x+nxa>0（n>1，n是已知的整數(shù)）恰在x<1時成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.－∞，1－n2B.－∞，1－n2

C.1－n2? D.

注：若將本題中的“x<1”改為“x≤1”，則所求答案是D.

試題5（考查知識點：無理數(shù)指數(shù)冪的意義，冪的運算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，近似計算）把（2）2寫成十進制小數(shù)，其第一位小數(shù)是（）.

A.0B.9C.8D.6

試題6（考查知識點：對復雜情境問題的閱讀理解，指數(shù)函數(shù)）華夏人壽保險股份有限公司推出了一種叫“華夏富貴竹年金保險（3年期）”的保險產(chǎn)品：購買者須在三年的同一時間段均買一筆保險a（a≥1，10a∈N*）萬元（共購買3次，每次a萬元），從第一次購買后可續(xù)存b（0.01b∈N*）元，且續(xù)存的這些錢將從次日起按每天0.11‰的利率復利計息，續(xù)存款的本息可隨時取出來（3個工作日內(nèi)到自己的銀行賬戶）.G先生于2017年3月1日買了1.5萬元這種保險產(chǎn)品，接著又于2017年4月1日續(xù)存了2.22萬元，等到2018年4月1日（到了這一天，存期是1年即365天）G先生的這筆續(xù)存款產(chǎn)生的本息和是（）.

A.2.22×1.00011365萬元B.2.22×1.00011366萬元

C.2.22×1.00011367萬元D.2.22×1.00011368萬元

試題7（考查知識點：量詞，分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象）已知函數(shù)f（x）=x2－4x+3，x≤0，

－x2－2x+3，x>0，若x∈［a，a+1］，f（x+a）>f（2a－x），則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（－2，0）B.（－∞，0）

C.（0，2）D.（－∞，－2）

試題8（考查知識點：函數(shù)的單調(diào)性，周期函數(shù)，判斷命題的真假）（2016年高考上海卷理科第18題）設f（x），g（x），h（x）是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x），g（x），h（x）中至少有一個為增函數(shù)；②若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x），g（x），h（x）均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（）.

A.①和②均為真命題

B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題

D.①為假命題，②為真命題

試題9（考查知識點：函數(shù)的概念，函數(shù)的奇偶性，復合函數(shù)，抽象函數(shù)）（2021年新高考全國卷2第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（）.

A.f－12=0 B.f（－1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

試題10（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，冪函數(shù)的導數(shù)、用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值）（由普通高中教科書《數(shù)學·選擇性必修·第二冊·A版》（人民教育出版社，2020）第104頁第9題改編）已知函數(shù)f（x）=x（x－c）2在x=2處有極大值，則常數(shù)c=（）.

A.2B.6C.2或6D.0或2或6

試題11（考查知識點：集合，三次函數(shù)，函數(shù)的零點）已知多項式p（x）=x3－3x+1有三個零點a，b，c（a

A.是aB.是bC.是cD.不是b且不是c

試題12（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，解方程，極限，導數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax，若過點（1，1）可作兩條直線與曲線y=f（x）相切，則a的取值范圍是（）.

A．［1，+∞）B．（1，+∞）

C．（－∞，1） D．（－∞，1］

試題13（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，導數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）已知直線y=2x與函數(shù)f（x）=ln（ax+b）的圖象相切，則ab的最大值為（）.

A．e4B．e2C．eD．2e

試題14（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）若R上的可導函數(shù)f（x）滿足f′（x）<2f（x），則5fln32與3fln52的大小關(guān)系是（）.

A.5fln32>3fln52B.5fln32=3fln52

C.5fln32<3fln52D.不確定

試題15（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極限，兩條曲線的公共點）已知函數(shù)f（x）=exx+x與g（x）=lnxx+k的圖象有兩個公共點，則常數(shù)k的取值范圍是（）.

A.（0，1）B.（e，e+1）

C.（e，+∞）D.（e+1，+∞）

試題16（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，導數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）若關(guān)于x的不等式ax（x－2）+xlnx－x+3<0有解，則常數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（－∞，－e）∪（2，+∞）

B.（－∞，0）∪（e，+∞）

C.（－∞，－1）∪（2，+∞）

D.（－∞，0）∪（2，+∞）

試題17（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求極值、最值）在R上，ex≥1+x，ex≥1+x+12x2，ex≥1+x+12x2+16x3這三個不等式中恒成立的個數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

注本題的一般情形是下面的結(jié)論（對n用數(shù)學歸納法可證）：

若fn（x）=ex－1+x1！+x22！+…+xnn?。╪∈N*），則當n是奇數(shù)時fn（x）≥0（當且僅當x=0時fn（x）=0），當n是偶數(shù)時xfn（x）≥0（當且僅當x=0時xfn（x）=0）.

試題18（多選題）（考查知識點：實數(shù)的比較大小，不等式的性質(zhì)，數(shù)學文化.本題由2004年上海高考數(shù)學文科、理科第16題改編）某地2004年第一季度應聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下：

行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是（）.

A.計算機行業(yè)好于化工行業(yè)

B.建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C.機械行業(yè)最緊張

D.貿(mào)易行業(yè)可能比營銷行業(yè)緊張

試題19（多選題）（考查知識點：代數(shù)式的恒等變形，配方法，不等式的性質(zhì)）設a，b，c，d∈R，且ad－bc=1，Q=a2+b2+c2+d2+ac+bd，則Q的值不可能是（）.

A.-1B.0C.1D.2

試題20（多選題）（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點，解方程組）記兩個函數(shù)f（x）=ksinx，g（x）=xα的圖象的公共點個數(shù)是h（k，α），則（）.

A.h（1，1）=3B.h（1，2）=2

C.h（1，3）=3D.h2，12=3

2.2填空題

試題21（考查知識點：對數(shù)的運算性質(zhì)，數(shù)學文化）甲、乙二人同解一道數(shù)學題：先求某個三位正整數(shù)的以2為底的對數(shù)，再把所得的結(jié)果減去另一個正整數(shù)b，最后求所得的差與b的商.甲在解題時把“以2為底”看成了“以3為底”而后進行了正確的計算，乙計算出了正確的結(jié)果.當兩人核對自己的計算結(jié)果時，發(fā)現(xiàn)他們所得的結(jié)果互為倒數(shù).根據(jù)這些信息，可知這道題的正確答案是.

試題22（考查知識點：正弦函數(shù)，解方程，分類討論，新定義）若把不超過實數(shù)x的最大整數(shù)記作［x］，則方程［x］=sinx的解集是.

試題23（考查知識點：無理數(shù)指數(shù)冪的意義，冪的運算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，近似計算，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）將23，32，π2，2π比較大?。ㄓ眯∮谔栠B接）的結(jié)果為.

注本題源于普通高中教科書《數(shù)學·必修·第一冊·A版》（人民教育出版社，2019）第109頁第3（2）題：按從小到大的順序，可將23，32，π5，2π重新排列為（可用計算工具）.

試題24（考查知識點：量詞，構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值）已知a>1，若函數(shù)f（x）=（x2+ax+1）e1－x，g（x）=2a－1+（2a－1）x－x2x+1滿足x1∈［0，1］，x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是.

注解答雙參數(shù)問題時，可先把其中的一個參數(shù)（比如是x2）看作常數(shù)變成另一個參數(shù)（x1）的問題，求得參數(shù)x2滿足的條件，變成了一個參數(shù)x2的問題，最終可完成求解.具體求解時，先視哪一個參數(shù)為常數(shù)，可能解答的難度不一樣.

試題25（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解不等式）若x∈R，f（x）+xf′（x）－xf（x）>0且f（1）=e，則f（x）

試題26（考查知識點：用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，充分、必要條件）若x∈R，（x+m）ex+e≥3ex，則常數(shù)m的取值范圍是.

試題27（考查知識點：用導數(shù)研究基本初等函數(shù)的單調(diào)性，量詞）已知函數(shù)f（x）=x+a·2x，g（x）=lnx－4a·2－x，若x0>0，f（x0）－g（x0）=5，則正數(shù)a的取值范圍是.

試題28（考查知識點：量詞，函數(shù)，由導數(shù)得到的常用不等式）若x∈（0，+∞），lnx≤ax+b（a，b是常數(shù)），則ba的取值范圍是.

試題29（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）若實數(shù)x，y滿足x+y+4=ex+ey+2，則x+y=.

試題30（考查知識點：一元二次方程，解方程，分段函數(shù)）已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2+nx+p（a，b，c，m，n，p均是非零參數(shù)，且b2－4ac=a2）.若d（x）=x，x是有理數(shù)，

0，x是無理數(shù)，則關(guān)于x的方程f（d（g（x）））=0的解的個數(shù)的最大值是.

試題31（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對參數(shù)進行分類討論）已知函數(shù)f（x）=xex－asinxcosx（a是常數(shù)），若x∈0，π2，f（x）≥0，則a的取值范圍是.

試題32（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，簡易邏輯）若函數(shù)f（x）=lnx－x+ax2在（1，e）上不單調(diào)，則常數(shù)a的取值范圍是．

試題33（考查知識點：判斷命題的真假，分段函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，周期函數(shù)，平面解析幾何）設函數(shù)D（x）=1，x是有理數(shù)，

0，x是無理數(shù)，則下列五個命題中所有真命題的序號是.

①D（x）是偶函數(shù)；

②D（x）是周期函數(shù)；

③存在實數(shù)x0，使得D（D（x0））=0；

④存在實數(shù)x1，x2，x3，使得以點（x1，D（x1）），（x2，D（x2）），（x3，D（x3））為頂點的三角形是正三角形；

⑤存在實數(shù)x1，x2，x3，使得以點（x1，D（x1）），（x2，D（x2）），（x3，D（x3））為頂點的三角形是等腰直角三角形.

試題34（考查知識點：分段函數(shù)，解方程，新定義問題）若定義sgn（x）=－1，x<0，

0，x=0，

1，x>0，則

（1）sgn（x）=sgn（x）的解集是；

（2）xsgn（x）=x的解集是.

試題35（考查知識點：函數(shù)的概念，數(shù)學文化）下表（數(shù)據(jù)來源：著作＼[7＼]第213—214頁）是某班24名學生一次期末考試的分數(shù)（試卷滿分150）：學號姓名分數(shù)學號姓名分數(shù)學號姓名分數(shù)1賈琳悅1209王俊12517蘇奧952曲小凡10110張紫怡12618劉京883黃雨萌11511郭雪13019李鈺棋994龐錦平11612梁爽11020蘇昊澤1075甄亞楠13013吳南11321馮尊1136杜佳欣10714楊浩瀚12622欒旭1007劉甜11015龔敏13723鄒昕宇1178高慕瑀11516劉皓宇9824王義豐123

任課老師須在高中綜評平臺（http：//gzzp.bjedu.cn：8002/）登入學生的這次成績（滿分100），但年級將對分數(shù)作以下處理后再登入：將學生考試分數(shù)先按比例折算成滿分是100分的分數(shù)（即學生的卷面分÷1.5），再將得到的分數(shù)求算術(shù)平方根后×10，最后取整.即計算公式是f（x）=10x1.5（其中［a］表示不大于實數(shù)a的最大整數(shù)），其中x表示學生的這次期末考試分數(shù)，f（x）表示在高中綜評平臺應登入的分數(shù).

若把分數(shù)不低于滿分80%的叫優(yōu)秀，則該班學生這次考試成績在處理前與處理后的優(yōu)秀率分別是，處理后的成績是優(yōu)秀中最低分的人數(shù)是.

試題36（考查知識點：集合，不等式，拋物線，數(shù)形結(jié)合思想）（1）若關(guān)于x的不等式組a≤34x2－3x+4≤b的解集是［c，b］，則a，b，c的取值范圍分別是；

（2）若關(guān)于x的不等式組b≤x2+ax+5≤4的解集是單元素集，則a，b的取值范圍分別是.

試題37（考查知識點：函數(shù)的奇偶性，周期性，函數(shù)的零點，解方程）已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（1－x）=f（1+x），當x∈（0，1］時，f（x）=2x+m（m是常數(shù)）.

（1）若f（x）在（2020，2021）上存在零點，則m的取值范圍是；

（2）若f（2023）=0，則m=.

試題38（考查知識點：分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，函數(shù)最值，函數(shù)的零點）設函數(shù)f（x）=2x－a，x<1，

4（x－a）（x－2a），x≥1.

（1）若a=1，則f（x）的最小值為；

（2）若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．

試題39（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極限）（1）已知函數(shù)f（x）=2lnx+3x+x+m，若x0∈14，+∞，f（f（x0））=x0，則常數(shù)m的取值范圍是；

（2）已知函數(shù)f（x）=12x+lnx－a，若b∈［1，e］，f（f（b））=b，則常數(shù)a的取值范圍是.

試題40（考查知識點：對復雜情境問題的閱讀理解，百分數(shù)的意義）王氏四兄弟，每人都有100元錢的本金.

（1）老大用手中的100元錢買了1只母雞，每只母雞每天會生1個雞蛋，每個雞蛋的收購價是1元.這樣，老大1年（365天）賺了365元；

（2）老二從市場上了解到，租1只母雞要花20元錢（租期1年），就用手中的100元錢租了5只母雞，……這樣，老二1年（365天）賺了5×365-100=1725（元）；

（3）老三先用手中的100元錢從市場上租了5只母雞，然后對收購雞蛋的老板說，我把這5只母雞1年生的蛋按0.8元/個賣給你（若還有更多的雞蛋也按此價格賣給你），但你要預付給我1年的雞蛋款5×365×0.8=1460（元），老板認為這是幾乎沒有風險的事情（因為老三手中有5只每天都會生蛋的母雞），就欣然同意并立即預付了這筆雞蛋款.老三用這筆雞蛋款租了73只母雞，……這樣，老三1年（365天）賺了元；

（4）老四把四兄弟的400元錢集資在一起（由老四代管，這筆錢的收益由四兄弟均分），用這筆錢租20只雞，……收購雞蛋的老板預付給老四1年的雞蛋款20×365×0.8=5840（元）.老四用這筆錢又在銀行按5%的年利率抵押貸款5840元，再用手中的5840×2=11680元租584只母雞，……這樣，四兄弟每人1年（365天）賺了元.

2.3解答題

試題41（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）求證：（1）f（x）=x－sinx（0

（2）x－sinx>0（0

（3）y=sinx+tanxx0

試題42（考查知識點：函數(shù)的零點，構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，解決極值點偏移問題，基本初等函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）已知函數(shù)f（x）=x－lnx－a（a是常數(shù)）.

（1）討論f（x）零點的個數(shù)；

（2）若f（x）有兩個零點x1，x2，求證：a>1且x1+x2

試題43（考查知識點：函數(shù)的零點，構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，解決函數(shù)不等式問題，基本初等函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式）求證：

（1）x2+1≤2x－22lnx；

（2）若正數(shù)a1，a2，…，an之積是1，

則∑ni=1a2i+1≤2∑ni=1ai.

試題44（考查知識點：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解方程、冪與根式的恒等變形）（1）求函數(shù)f（x）=lnxx的單調(diào)區(qū)間；

（2）解方程mm=nn（m，n∈N，2≤m

（3）給出方程xx=yy（x，y∈Q+，x

注：y=lnxx是一個重要函數(shù)，很多高考題都與它有緊密聯(lián)系，比如2017年高考全國卷1理科第11題，2014年高考湖北卷文科第22題及理科第22題，2005年高考全國卷3理科第6題，2001年高考全國卷理科第20題，1983年高考全國卷理科第9題，詳見文＼[8＼].

筆者編擬的這道原創(chuàng)題，也是該函數(shù)性質(zhì)的應用.初看該題后兩問涉及不定方程，實際上用函數(shù)y=lnxx的單調(diào)區(qū)間可給出其簡潔解答.

試題45（考查知識點：求參數(shù)的取值范圍（往往需要對參數(shù)進行分類討論），基本初等函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進而研究函數(shù)的極值）設函數(shù)f（x）=（ax3－5ax2+10ax－2x－10a+6）ex（a∈R）.

（1）求函數(shù)f′（x）的與a無關(guān)的零點；

（2）已知函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

試題46（考查知識點：同試題45）已知函數(shù)g（t）=（pt3+5pt2+10pt+2t+10p+6）e－t（p∈R）.

（1）已知函數(shù)g（t）在t=－2處取極小值，求p的取值范圍；

（2）求函數(shù)g（t）的極大值點與極小值點；

（3）當p<－12時，求函數(shù)g（t）的極小值點.

注：（?。┯稍囶}46（2）的解答也可得到試題46（1）的答案；

（ⅱ）由試題46（3）的答案可知，由試題46（1）得到的結(jié)論的逆命題是假命題；

（ⅲ）試題45，46及2018年高考北京卷理科第18題、2018年高考北京卷文科第19題、2016年高考山東卷文科第20題的背景都是可導函數(shù)極值第二判別法.

答案

單選題

1.D;2.B;3.B;4.C;5.D;6.A;7.D;8.D;9.B;10.B;

11.C;12.B;13.C;14.A;15.D;16.D;17.C.

多選題

18.BD;19.ABC;20.BCD.

填空

21.log23;22.0，π2;23.23<32<2π<π2；

24.1，2e+34；25.（0，1）；26.［1，+∞）;27.（0，1］；

28.［－1，+∞）；29.－2;30.4;31（－∞，1］;

32.32－ln2，1;33.①②④;34.R，R;35.13，1112;1;

36.（1）（－∞，1］，｛4｝，｛0｝；（2）｛－2，2｝，（－∞，4］；

37.（1）（－2，－1）；（2）－2；

38.（1）－1；（2）12，1∪［2，+∞）；

39.（1）［－2e，0）；（2）－12，ln2－1；

40.21 216;40 999.

解答題

略.

參考文獻

［1］甘志國.回顧與展望——以高考數(shù)學全國卷中函數(shù)與不等式的內(nèi)容為例＼[J＼].中學數(shù)學雜志，2022（03）：32-38.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中課程標準（2017年版2020年修訂）＼[M＼].2版.北京：人民教育出版社，2020.

［3］中國高考報告學術(shù)委員會.中國高考報告2023＼[M＼].北京：新華出版社，2023.

［4］甘志國.關(guān)于函數(shù)圖象的對稱性與周期性的幾個結(jié)論＼[J＼].數(shù)理化學習（高中版），2022（01）：3-4.

［5］蔣海燕.函數(shù)的零點＼[J＼].中學數(shù)學雜志，2012（01）：19-21.

［6］甘志國.用導數(shù)證明函數(shù)不等式的4種常用方法＼[J＼].高中數(shù)理化，2018（03）：6-8.

［7］甘志國.數(shù)學文化與高考研究＼[M＼].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2018.

［8］甘志國.函數(shù)y=lnxx的單調(diào)性及其應用＼[J＼].中學數(shù)學雜志，2015（11）：34-37.

作者簡介

蔣海燕（1977—），女，山東濟寧人，中學高級教師，北京市特級教師;榮獲濟寧市有突出貢獻的中青年專家、山東省教學能手（第一名）等榮譽稱號，當選山東省第十二屆人民代表大會代表;發(fā)表論文20余篇，出版專著《中學數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略》.

甘志國（1971—），男，湖北竹溪人，研究生學歷；中學正高級教師，特級教師，湖北名師;主要研究解題、高考和初等數(shù)學.