袁景濤

摘? 要：“空間中的點(diǎn)、直線和平面的向量表示”一課通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ龑?dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟點(diǎn)、直線和平面的向量表示中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，理解空間直角坐標(biāo)系的作用，體會(huì)“位置”和“方向”在空間基本概念中的基礎(chǔ)地位，形成了確定空間直線與平面的條件“向量化”的一般觀念，進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的生成.

關(guān)鍵詞：空間位置；空間向量；核心素養(yǎng)

“空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示”是第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)的指定課題之一，內(nèi)容與要求為：能用向量語言描述點(diǎn)、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量. 并給出了教學(xué)提示：在“空間向量與立體幾何”的整體架構(gòu)中，用向量語言描述空間基本圖形是向量方法的第一步，也是溝通向量方法與綜合幾何方法的橋梁. 要通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ龑?dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟點(diǎn)、直線和平面的向量表示中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，理解參照系的作用，體會(huì)“位置”和“方向”作為三維歐幾里得空間基本概念的基礎(chǔ)地位，形成將確定空間直線、平面的條件“向量化”的一般觀念. 這節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中全新編寫的一節(jié)課，主要的教學(xué)目標(biāo)為建立空間向量概念，并運(yùn)用空間向量工具解決立體幾何相關(guān)問題，具有基礎(chǔ)性作用.

一、教學(xué)內(nèi)容的整體構(gòu)思與教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課主要研究空間向量的應(yīng)用. 探求利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法：先用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面等基本要素，從而將立體圖形“向量化”；然后，進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，求得相應(yīng)結(jié)果；最后，把空間向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論. 用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面等基本要素，是問題解決的基礎(chǔ)，也是溝通向量方法與空間圖形的橋梁.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置合理

執(zhí)教教師認(rèn)真進(jìn)行了學(xué)情分析. 一是通過立體幾何初步相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)能夠解決點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系和度量的相關(guān)問題，并且經(jīng)歷過運(yùn)用平面向量解決平面幾何問題. 基于此，學(xué)生自然能夠想到運(yùn)用空間向量解決立體幾何的相關(guān)問題. 二是可能存在的認(rèn)知困難，學(xué)生應(yīng)用向量法解決問題的意識(shí)不強(qiáng)，在用空間向量解決立體幾何問題時(shí)，對(duì)“建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題”缺少經(jīng)驗(yàn)和體會(huì). 三是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：教學(xué)中，采用“圖形語言—自然語言—向量語言”的路徑，通過問題引導(dǎo)、合作探究逐步建立用向量表示點(diǎn)、直線和平面的一般方法. 對(duì)于推導(dǎo)過程中遇到的問題，通過教師搭建“腳手架”、學(xué)生小組合作探究的方式解決.

在教材分析與學(xué)情分析的基礎(chǔ)上，執(zhí)教教師設(shè)置了合理的教學(xué)目標(biāo)：一是體現(xiàn)知識(shí)與技能的目標(biāo)，即能用向量語言描述空間中的點(diǎn)、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量；二是體現(xiàn)核心素養(yǎng)培育的目標(biāo)，即初步了解立體幾何中的向量方法，通過建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，在從幾何圖形到空間向量的轉(zhuǎn)換中進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)簡(jiǎn)明扼要、具體，便于實(shí)施，便于檢測(cè)，同時(shí)注重對(duì)學(xué)生“四基”“四能”的培養(yǎng)，兼顧情感、態(tài)度和價(jià)值觀的教育，其廣度和深度都符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》和教材的要求，符合學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況. 執(zhí)教教師準(zhǔn)備得比較充分，清晰地預(yù)設(shè)了學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，課堂教學(xué)很好地達(dá)成了預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo).

三、教學(xué)重點(diǎn)得以突出，教學(xué)難點(diǎn)得以突破

對(duì)于將向量由平面推廣到空間的教學(xué)，執(zhí)教教師既作了數(shù)學(xué)知識(shí)和工具上的準(zhǔn)備，也作了學(xué)習(xí)方法上的準(zhǔn)備，就是學(xué)會(huì)用向量語言來描述立體幾何問題，即如何用向量表示空間中的基本圖形，明確本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容. 明確研究的基本對(duì)象是點(diǎn)、直線和平面，研究的任務(wù)是對(duì)象的表示. 可以看出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)得以突出，即用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面，求平面的法向量的方法. 教學(xué)難點(diǎn)得以突破，即用向量表示平面的推導(dǎo)過程.

四、課堂教學(xué)體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)味”

執(zhí)教教師注重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察空間中的點(diǎn)、直線和平面. 例如，讓學(xué)生獨(dú)立思考，回答空間中點(diǎn)的表示是相對(duì)位置，用向量表示點(diǎn)是用向量表示直線和平面的基礎(chǔ). 用數(shù)學(xué)的思維去思考如何研究空間中的點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系. 例如，從幾何體系入手，引導(dǎo)學(xué)生思考如何確定一條直線，從而總結(jié)出確定直線的條件，引導(dǎo)學(xué)生利用共線定理尋找用向量表示直線的方法，讓學(xué)生體會(huì)利用空間向量解決立體幾何問題是用平面向量解決平面幾何問題的發(fā)展；用數(shù)學(xué)的語言去刻畫空間中的點(diǎn)、直線和平面，用位置向量去表達(dá)空間中的點(diǎn)，用方向向量去表達(dá)空間中的直線，用平面的法向量去表達(dá)平面.

五、課堂教學(xué)體現(xiàn)了“教學(xué)味”

執(zhí)教教師的教學(xué)策略選擇得當(dāng)，始終貫徹“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，把培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力作為根本目標(biāo). 在教法上主要采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)、問題啟發(fā)及基于問題串的教學(xué)模式. 例如，“組成空間幾何圖形的基本元素是什么？”“如何用向量表示空間中的一點(diǎn)[P]？”“如何用向量表示空間中的直線？即如何用向量表示出直線上的任意一點(diǎn)？”等. 在學(xué)法指導(dǎo)上，主要讓學(xué)生自主探究、合作討論、歸納總結(jié)和交流展示. 全方位體現(xiàn)了教師“教”的主導(dǎo)作用和學(xué)生“學(xué)”的主體地位，“教學(xué)味”濃厚. 執(zhí)教教師采用啟發(fā)式和探究式相結(jié)合的教學(xué)方法，使得學(xué)生能夠積極思考、主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí). 讓學(xué)生參與嘗試、猜想、驗(yàn)證與發(fā)展的過程，最大限度提升了課堂教學(xué)效率.

六、課堂教學(xué)體現(xiàn)了“文化味”

數(shù)學(xué)文化狹義上包含了數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展. 本節(jié)課充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，充分運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的自然語言、符號(hào)語言和圖形語言構(gòu)建了向量表達(dá)的數(shù)學(xué)語言體系基礎(chǔ)，也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具——向量的基礎(chǔ)性構(gòu)建. 執(zhí)教教師的課堂始終采用“情境—問題”的教學(xué)模式，設(shè)置情境、提出問題、解決問題、注重應(yīng)用. 讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)任務(wù)，主動(dòng)思考問題，帶著思考去體驗(yàn)，通過體驗(yàn)與思考進(jìn)行表達(dá). 這正是著名數(shù)學(xué)教育家呂傳漢先生倡導(dǎo)的“三教”（教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)）課堂教學(xué)理念的實(shí)踐應(yīng)用.

七、課堂教學(xué)體現(xiàn)了教師的專業(yè)素養(yǎng)

執(zhí)教教師在課堂教學(xué)過程中將信息技術(shù)與課堂教學(xué)高度融合，課件的使用提高了課堂教學(xué)效率. 展示了扎實(shí)的教學(xué)基本功，教態(tài)大方自然，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)及時(shí)得當(dāng)，板書設(shè)計(jì)合理，具有較強(qiáng)的組織教學(xué)與駕馭課堂的能力.

八、教學(xué)建議

教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置在體現(xiàn)對(duì)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的培育上可以再具體一點(diǎn)、明確一點(diǎn)；教師課堂教學(xué)語言應(yīng)該更加簡(jiǎn)練，更多地讓學(xué)生去說，用數(shù)學(xué)語言去表達(dá)；今后的教學(xué)中還應(yīng)該多角度引導(dǎo)學(xué)生思考問題、解決問題，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，更加充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

總體而言，本節(jié)課是用空間向量解決立體幾何問題的基礎(chǔ)課，具有奠基性作用，執(zhí)教教師運(yùn)用多種教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)了豐富、生動(dòng)的教學(xué)情境，重點(diǎn)設(shè)計(jì)了新穎、活潑的學(xué)生活動(dòng)，使得“會(huì)求平面的法向量”這一教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)得以突出，并以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生的思考層層遞進(jìn)、化難為易，充分激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探究欲望.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.