陳明珠

數(shù)學(xué)知識(shí)是有結(jié)構(gòu)的，數(shù)學(xué)教學(xué)也是有結(jié)構(gòu)的，實(shí)現(xiàn)教學(xué)結(jié)構(gòu)化，可以助力學(xué)生知識(shí)、方法和思維的有效建構(gòu)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，教師立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)，從這四個(gè)方面優(yōu)化題組設(shè)計(jì)：固點(diǎn)（理解知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)）、串線（大單元整合成一條清晰的知識(shí)線）、組面（單元與單元延伸成知識(shí)模塊）、成體（構(gòu)建小學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系），將學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生擁有一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)化思維，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。

認(rèn)知心理學(xué)家布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一句話：“已經(jīng)掌握的知識(shí)，如果沒(méi)有經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行完美的聯(lián)系，隨著時(shí)間的推移就會(huì)變成被人所遺忘的知識(shí)。”小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是指教師站在系統(tǒng)的高度，從整體的角度出發(fā)，針對(duì)學(xué)習(xí)的發(fā)生以及過(guò)程進(jìn)行審視，以此來(lái)對(duì)學(xué)生的結(jié)構(gòu)思維進(jìn)行培養(yǎng)，形成“帶的走”的學(xué)習(xí)方法和能力?！邦}組”能夠做到的就是將內(nèi)容、形式、思維方法、解法相似的題目結(jié)合在一起組成一個(gè)組題。筆者通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)只要立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)，從固點(diǎn)、串線、組面、成體這四個(gè)方面優(yōu)化題組設(shè)計(jì)，就可以優(yōu)化和完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，推動(dòng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的飛速發(fā)展，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目的。

一、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn) ，優(yōu)化“固點(diǎn)”題組設(shè)計(jì)

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)是一個(gè)整體，它的生長(zhǎng)點(diǎn)指的是每個(gè)“碎片化”的單一的知識(shí)點(diǎn)，而“固點(diǎn)”就是在每一章節(jié)的學(xué)習(xí)、小結(jié)中，結(jié)合教材的知識(shí)點(diǎn)，從多角度、多方面，針對(duì)概念、意義以及知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入了解，并進(jìn)行分析和總結(jié)。要透徹理解知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，而不僅僅停留在知識(shí)的表面。只有鞏固好每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，才能進(jìn)行知識(shí)間的溝通和關(guān)聯(lián)，這樣結(jié)構(gòu)化教學(xué)才有生長(zhǎng)的力量，因此我們要立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn) ，優(yōu)化“固點(diǎn)”題組設(shè)計(jì)。牢牢地掌握知識(shí)點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基石，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量以及學(xué)習(xí)能力。

例如，教師進(jìn)行“圓柱的表面積”這一節(jié)課的結(jié)構(gòu)化教學(xué)時(shí)，側(cè)面積公式就是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)，只有扎實(shí)的掌握了側(cè)面積公式，才能靈活解決有關(guān)于圓柱表面積的實(shí)際問(wèn)題，做好知識(shí)間的溝通和串聯(lián)，因此筆者設(shè)計(jì)了以下的“固點(diǎn)”題組，力求讓學(xué)生深刻理解并掌握?qǐng)A柱的側(cè)面積就是底面周長(zhǎng)×高。

固點(diǎn)題組：求以下圓柱的側(cè)面積。

第一題是已知底面周長(zhǎng)和高，求圓柱的側(cè)面積（如圖1），第二題是已知直徑和高，求圓柱的側(cè)面積（如圖2），第三題是已知半徑和高，求圓柱的側(cè)面積（如圖3）。它們內(nèi)在聯(lián)系為圖2將圓的直徑轉(zhuǎn)化為圓底面周長(zhǎng)，圖3將圓的半徑轉(zhuǎn)化為直徑，再轉(zhuǎn)化為底面周長(zhǎng)，從而求圓柱的側(cè)面積。

通過(guò)以上練習(xí)，厘清 “已知圓柱的半徑、直徑、底面周長(zhǎng)，求圓柱的側(cè)面積”三種題型之間的內(nèi)在聯(lián)系。都是要把它轉(zhuǎn)化成底面周長(zhǎng)，通過(guò)底面周長(zhǎng)×高，求出側(cè)面積。學(xué)生就在腦海里的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存入了“已知底面周長(zhǎng)和高求圓柱的側(cè)面積”這個(gè)固點(diǎn)，像這樣抓住概念本質(zhì)，優(yōu)化“固點(diǎn)”題組的設(shè)計(jì)，有利于學(xué)生及時(shí)鞏固理解知識(shí)本質(zhì)，觸類旁通，舉一反三。因此，在教學(xué)每一節(jié)新課時(shí)，都要牢牢抓住該章節(jié)的生長(zhǎng)點(diǎn)，優(yōu)化“固點(diǎn)”題組設(shè)計(jì)，領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)，扎實(shí)的掌握生長(zhǎng)點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的整合點(diǎn)，優(yōu)化“串線”題組設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)化教學(xué)的核心就是整合，將知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)溝通、串聯(lián)起來(lái)，用結(jié)構(gòu)化的思維對(duì)單元知識(shí)、方法、思維進(jìn)行整合，指導(dǎo)學(xué)生從碎片的學(xué)習(xí)到整體的學(xué)習(xí)，整體性越強(qiáng)、概括性越強(qiáng)，就越有利于學(xué)習(xí)的保持和遷移。因此在整合時(shí)不能僅僅是簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)的羅列，而是要優(yōu)化“串線”題組設(shè)計(jì)，所謂的“串線”題組就是從單元整體的視角，將零散的知識(shí)點(diǎn)放到整個(gè)單元知識(shí)的結(jié)構(gòu)當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生整理清楚知識(shí)脈絡(luò)。有助于學(xué)生厘清單元各知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，縱向整合成一條系統(tǒng)的、明確的知識(shí)線，為結(jié)構(gòu)化教學(xué)整合提供保障，從而構(gòu)建學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)思維的拔節(jié)、提升。

例如，在“圓柱和圓錐”這一單元的結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，包含的知識(shí)有圓柱的特征、表面積和體積，圓錐的特征和體積等比較碎片的知識(shí)點(diǎn)，因此筆者立足“線”的構(gòu)建，系統(tǒng)地將這些知識(shí)進(jìn)行整合，優(yōu)化設(shè)計(jì)了以下的“串線”題組：

一做。用一張長(zhǎng)30㎝，寬20㎝的長(zhǎng)方形紙疊出了一個(gè)圓柱。想一想，圓柱與長(zhǎng)方形各部分之間有什么聯(lián)系？什么變了？什么沒(méi)變？

二思。制作無(wú)蓋圓柱體形狀的水桶需要多少鐵皮是求什么？

三算。一個(gè)圓柱體的底面半徑為2㎝，高為8㎝，它的表面積為多少？

四切。①把底面直徑為20㎝，高為8㎝的蛋糕從沿底面垂直切成2半，什么變了，什么沒(méi)變？如果沿底面垂直切成N半呢？②把底面直徑為20㎝，高為8㎝的蛋糕平行于切成2段圓柱，什么變了，什么沒(méi)變？那如果平行于底面切成N段呢？

五涂。同學(xué)們?nèi)绻谶@個(gè)雙層蛋糕的表面部分（如圖4），涂上一層厚厚的奶油，但是下底面不涂，你們知道涂奶油部分的面積是多少嗎？

六挖。為了做造型，陳老師在這個(gè)直徑為20㎝，高8㎝蛋糕里挖了一個(gè)直徑為10㎝，高2㎝的圓柱（如圖5），需要涂奶油（底面不涂）的面積是多少㎝2？

七伸。為了做造型，從棱長(zhǎng)為10㎝的蛋糕中挖走了一個(gè)直徑為3㎝，高為6㎝的圓柱，剩下的蛋糕是多少m3？

八變。一塊圓柱形的橡皮泥，底面積是12㎝2，高是5㎝，如果把它捏成等底的圓錐，這個(gè)圓錐的高是（? ? ），如果把它捏成等高的圓錐，這個(gè)圓錐的底面積是（? ? ）。通過(guò)做（復(fù)習(xí)圓柱的特征及由來(lái)），思（復(fù)習(xí)表面積的概念），算（數(shù)形結(jié)合復(fù)習(xí)表面積兩種計(jì)算公式），切（復(fù)習(xí)表面積的變化），通過(guò)涂和挖（復(fù)習(xí)整體求表面積的方法，并對(duì)比發(fā)現(xiàn)不管是涂N層還是挖N層都是求一個(gè)大的圓加幾個(gè)側(cè)面積），再通過(guò)伸（拓展了圓柱的體積），最后通過(guò)變（復(fù)習(xí)圓錐的體積）等一系列的練習(xí)將碎片化知識(shí)進(jìn)行整合，以知識(shí)的由來(lái)、運(yùn)用、拓展的順序?yàn)榫€，串成一條完整的單元知識(shí)鏈，像這樣優(yōu)化“串線”題組的設(shè)計(jì)，使學(xué)生對(duì)“圓柱和圓錐”這一單元知識(shí)的認(rèn)識(shí)從零散到條理，從模糊到清晰，從清晰到深刻，便于學(xué)生更深層次理解知識(shí)脈絡(luò)，掌握學(xué)習(xí)方法，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而建構(gòu)了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此在教學(xué)單元知識(shí)完后，教師要立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的整合點(diǎn)，抓住本單元的核心知識(shí)點(diǎn)，優(yōu)化設(shè)計(jì)一系列的“串線”題組，將知識(shí)點(diǎn)由點(diǎn)延伸成線，讓學(xué)生觸到知識(shí)的本質(zhì)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步打開(kāi)學(xué)生的眼界和思路。

三、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，優(yōu)化“組面”題組設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)聯(lián)結(jié)點(diǎn)即教師要深入研讀教材，挖掘單元與單元之間相關(guān)知識(shí)、方法、思維等內(nèi)在關(guān)聯(lián)和異同之處，并將其聯(lián)結(jié)起來(lái)，從而展開(kāi)結(jié)構(gòu)化、科學(xué)化、系統(tǒng)化的教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)含義的掌握，構(gòu)建一個(gè)屬于自己的數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)圖，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)的觀察能力以及自由發(fā)揮的想象力，有效提高了學(xué)習(xí)效率。因此我們可以立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，優(yōu)化“組面”題組設(shè)計(jì)，所謂的“組面”題組即打破常規(guī)單元內(nèi)的知識(shí)梳理，找到聯(lián)結(jié)點(diǎn)重組關(guān)聯(lián)，將分散在各單元有聯(lián)系的、相關(guān)的，本質(zhì)是一樣的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比、聯(lián)想、歸納等方法進(jìn)行橫向整合，形成“知識(shí)面”。這樣的“面”相較于“線”，更能讓學(xué)生理清知識(shí)盲點(diǎn)，觸及知識(shí)的本質(zhì)，使知識(shí)更加系統(tǒng)化，從而完成模塊知識(shí)的構(gòu)建，為結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實(shí)施搭建了有力的橋梁，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的升華。

例如，分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、比和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，他們零散的分布在六年級(jí)上冊(cè)，但知識(shí)聯(lián)系密切，他們的聯(lián)結(jié)點(diǎn)是本質(zhì)一樣，都是分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題，用的線段圖也一樣。因此筆者優(yōu)化設(shè)計(jì)了如下的“組面”題組：

一編。你們能根據(jù)下面的線段圖編一道乘除法應(yīng)用題嗎？（如圖6）

二解。①一條路長(zhǎng)1000米，工程隊(duì)已修了全長(zhǎng)的1/4，還剩多少米沒(méi)修？②一瓶牛奶，喝了300毫升，已經(jīng)喝了1/4，這瓶牛奶一共多少毫升？③一本書(shū)有100頁(yè)，看了和未看的比是1∶3，看了多少頁(yè)？④一條泳道已經(jīng)游了100米，是全長(zhǎng)的25%，全長(zhǎng)是多少米？

三比。比一比，這些題目有什么共同點(diǎn)，把你的發(fā)現(xiàn)寫(xiě)下來(lái)。

一編：先讓學(xué)生根據(jù)線段自主編題，引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合來(lái)理解知識(shí)的本質(zhì)；二解：通過(guò)對(duì)學(xué)生編的不同題目進(jìn)行分類整理，比如第一類是分?jǐn)?shù)乘法，單位“1”已知，量和率不對(duì)應(yīng)，第二類是分?jǐn)?shù)除法，單位“1”未知，量和率對(duì)應(yīng)，第三類是比的應(yīng)用題，但是比可以轉(zhuǎn)化成分率，單位“1”已知，量和率也對(duì)應(yīng)，第四類是百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，也可以轉(zhuǎn)化成分率，也是單位“1”已知，量和率對(duì)應(yīng)的問(wèn)題。三比：學(xué)生通過(guò)自己分析，溝通聯(lián)系，得出分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，他們都是分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題。當(dāng)單位“1”已知時(shí)，用單位“1”×對(duì)應(yīng)分率＝對(duì)應(yīng)量，當(dāng)單位“1”未知時(shí)，對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率＝單位“1”。這樣從“線”聯(lián)結(jié)成“面”，既復(fù)習(xí)了舊知，也形成了新的知識(shí)網(wǎng)，建構(gòu)了新的數(shù)學(xué)模型，有助于數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用、數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，因此，在教學(xué)中可以立足于結(jié)構(gòu)化教學(xué)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，優(yōu)化“組面”題組設(shè)計(jì)，注重單元知識(shí)之間的聯(lián)系，抓住聯(lián)系設(shè)計(jì)“組面”題組，對(duì)單元與單元的知識(shí)進(jìn)行分析、比較、歸納、總結(jié)，實(shí)現(xiàn)練一組題，通一類題，從而“把書(shū)越讀越薄”，數(shù)學(xué)思維更加深刻。

四、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點(diǎn)，優(yōu)化“成體”題組

結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點(diǎn)是幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)與技能和結(jié)構(gòu)化的思想與方法。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》針對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)明確提出，教師要對(duì)數(shù)學(xué)課本進(jìn)行熟練的掌握，不管是什么學(xué)段的學(xué)生都要有對(duì)課本局部的理解，同時(shí)，對(duì)整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課本要有全面的掌握，從而構(gòu)建一個(gè)整體的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，有助于學(xué)生構(gòu)建屬于自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。因此可以立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點(diǎn)，優(yōu)化“成體”題組設(shè)計(jì)，所謂“成體”題組是將知識(shí)點(diǎn)放到每個(gè)學(xué)段，乃至整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)體系的知識(shí)結(jié)構(gòu)上，從整體上把握知識(shí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)題組，了解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展以及知識(shí)背后蘊(yùn)藏的思維和內(nèi)涵，從點(diǎn)—線—面—體感受知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，最終將知識(shí)與技能、思想與方法融為一體，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化、一體化、系統(tǒng)化的知識(shí)體系。

例如，在結(jié)構(gòu)化教學(xué)“長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐等立體圖形的表面積和體積”時(shí)，其落腳點(diǎn)是溝通這些立體圖形的表面積和體積之間的聯(lián)系，統(tǒng)一成同一個(gè)計(jì)算方法，促使學(xué)生對(duì)立體圖形的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步系統(tǒng)化、一體化，因此筆者設(shè)計(jì)如下“成體”題組：

1.基礎(chǔ)題：你能完成下面的表格嗎？

2.綜合題：你能自己探究出正三棱柱、正五棱柱等的表面積和體積嗎？

以上題組涵蓋了長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、三棱柱、五棱柱等的表面積和體積。首先通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體、圓柱等已學(xué)的表面積和體積公式的梳理，激發(fā)學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)綜合題拓展探究正三棱柱、正五棱柱等的表面積和體積，從而通過(guò)觀察、對(duì)比、分析等構(gòu)建小學(xué)階段完整的立體圖形表面積和體積的知識(shí)體系，發(fā)現(xiàn)所有直柱體的側(cè)面積都是“底面周長(zhǎng)×高”（圖7），表面積都是“側(cè)面積＋兩個(gè)底的面積”，體積都是“底面積×高”圖8，讓學(xué)生對(duì)立體圖形進(jìn)行系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)，了解知識(shí)與知識(shí)之間存在的關(guān)系，豐富完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

小學(xué)的知識(shí)具有“螺旋上升”的特點(diǎn)，每一年所學(xué)的新內(nèi)容，都是前面基礎(chǔ)的深化，越來(lái)越復(fù)雜、越來(lái)越抽象，從而形成完整的知識(shí)體系。實(shí)踐也證明，學(xué)生大腦比較容易記住的是一定范圍內(nèi)各種關(guān)系、框架和體系，因此，我們可以立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點(diǎn)，優(yōu)化“成體”題組，將知識(shí)點(diǎn)放進(jìn)學(xué)段里甚至整個(gè)小學(xué)階段，做到心中裝綠洲、眼中看森林，助力學(xué)生逐步構(gòu)建每個(gè)知識(shí)體系，對(duì)知識(shí)形成整體的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

五、結(jié)語(yǔ)

總之，我們要在結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)上，尋找知識(shí)與知識(shí)之間存在的聯(lián)系，優(yōu)化設(shè)計(jì)“固點(diǎn)→串線→組面→成體”的題組，將碎片化的知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊、構(gòu)成體，不斷對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)、消化、提煉、升華，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的大幅度提升，以及將知識(shí)點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法和思維方式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化建構(gòu)，推動(dòng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。