吳靜

摘要：數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)是“做中學(xué)”，即通過對直觀材料的數(shù)學(xué)化操作，理解數(shù)學(xué)、解釋數(shù)學(xué)和建構(gòu)數(shù)學(xué)，具有操作性、探究性和創(chuàng)造性等特點。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)實驗的作用與特性，需要關(guān)注實驗動機的引發(fā)、實驗方向的明晰、實驗思維的疏導(dǎo)、實驗習(xí)慣的培養(yǎng)和實驗成果的評價。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實驗；探索規(guī)律

數(shù)學(xué)實驗是為了獲得某個數(shù)學(xué)概念、探索某個數(shù)學(xué)規(guī)律或解決某個數(shù)學(xué)問題，借助一定的物質(zhì)器材或技術(shù)手段，在思維活動的參與下進行數(shù)學(xué)探究的一種方式。數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)是“做中學(xué)”，即通過對直觀材料的數(shù)學(xué)化操作，理解數(shù)學(xué)、解釋數(shù)學(xué)和建構(gòu)數(shù)學(xué)，具有操作性、探究性和創(chuàng)造性等特點。筆者以為，為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)實驗的作用與特性（尤其是在探索數(shù)學(xué)規(guī)律時），需要關(guān)注實驗動機、實驗方向、實驗思維、實驗習(xí)慣、實驗成果等方面。

一、關(guān)注實驗動機的引發(fā)

按理說，經(jīng)過日常的課堂學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)積累了較為豐富的活動經(jīng)驗，應(yīng)該具有自覺運用實驗解決問題的意識。事實上，在遇到問題時，只有極少數(shù)的學(xué)生會想到實驗的方法。其根本原因是，學(xué)生未能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深刻感受到數(shù)學(xué)實驗的價值。為此，教師要關(guān)注實驗動機的引發(fā)，從學(xué)生的學(xué)習(xí)實際出發(fā)，精心創(chuàng)設(shè)問題情境，促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在思考問題解決時產(chǎn)生使用數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)在需求。

（一）真問題啟發(fā)

真問題是指蘊含在真實情境中，能引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的問題，具有真實性、挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性等特點。真問題能喚起學(xué)生主動探索的興趣，還由于情境中潛藏著很多重要信息，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生運用實驗開展探究的需求。

例如，教學(xué)“表面涂色的正方體”時，教師可以出示8階（n階為“n×n×n”）表面涂色的正方體，并創(chuàng)設(shè)情境：“老師課前準(zhǔn)備了一個表面涂了顏色的正方體，將它切割成了若干個同樣大的小正方體。結(jié)果，不小心碰倒散開了。你有辦法將它恢復(fù)成原來的樣子嗎？”學(xué)生在思考這個具有挑戰(zhàn)性的問題時，自然會產(chǎn)生還原正方體的強烈愿望，產(chǎn)生實驗的內(nèi)在需求。

（二）“可視化”訴求

在探索“數(shù)與運算”中的規(guī)律時，由于研究對象過于抽象，學(xué)生容易缺乏研究動力。對此，在創(chuàng)設(shè)問題情境時，可通過變換問題背景、改變問題表述和呈現(xiàn)方式、調(diào)整研究對象的數(shù)量等方法，促使學(xué)生產(chǎn)生借助實驗進行“可視化”研究的訴求。

例如，計算“1/2+1/4+1/8+1/16”，算式的加數(shù)個數(shù)較少，學(xué)生可以直接通過通分計算得出答案，尋找計算規(guī)律的需求并不強烈。對此，教師增加加數(shù)個數(shù)，把題目改為“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128”，先讓學(xué)生感受到用“通分”這個常規(guī)方法計算結(jié)果有難度，并隨著加數(shù)的增多計算壓力越來越大。然后，教師適時提供“正方形”這一實驗工具助力學(xué)生思考，學(xué)生就會產(chǎn)生數(shù)形結(jié)合的“可視化”研究訴求，形成借助實驗探索規(guī)律的內(nèi)驅(qū)力。

二、關(guān)注實驗方向的明晰

小學(xué)生盡管經(jīng)驗不足，但對如何借助實驗探索規(guī)律有自己的想法，包括使用實驗方法、設(shè)計實驗流程以及選擇實驗工具和材料等。教師要為學(xué)生提供策劃實驗方案的機會，于關(guān)鍵處引領(lǐng)和點撥，幫助學(xué)生完成探究路線圖的設(shè)計，明晰實驗方向。

（一）規(guī)劃實驗路線

實驗不是一蹴而就的，通常需要經(jīng)歷觀察、猜想、舉例和驗證等系列活動。教師不僅要幫助學(xué)生了解實驗的基本流程，還要讓學(xué)生掌握“從簡單入手研究”“邊舉例邊觀察邊猜想”等實驗技巧，規(guī)劃好實驗路線。

例如，探索“多邊形內(nèi)角和”規(guī)律時，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試規(guī)劃實驗路線：先遵循由易到難的原則，以三角形為基礎(chǔ)，逐步找出四邊形、五邊形的內(nèi)角和；在此基礎(chǔ)上，觀察思考、分析歸納，初步形成猜想；再通過求六邊形、七邊形等的內(nèi)角和驗證猜想，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（二）選擇實驗工具

實驗工具和材料是數(shù)學(xué)對象的物化載體，設(shè)計實驗方案時，還要考慮實驗工具和材料的選擇。

例如，教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)找2、5倍數(shù)特征的經(jīng)驗，選擇百數(shù)表、計數(shù)器或方塊圖作為實驗材料。通過在百數(shù)表中圈數(shù)、在計數(shù)器上撥數(shù)等方法發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)特征，再借助方塊圖理解特征。

小學(xué)階段，對數(shù)學(xué)實驗工具的選擇沒有嚴(yán)格的要求，只要能夠凸顯數(shù)學(xué)對象的特點和變化規(guī)律，小棒、計數(shù)器、方塊圖、釘子板……甚至一張紙或一個圖形都可以。

（三）推敲實驗方法

實驗方法因人而異，也會隨著研究進程的深入而改變，但對于某些具有特定規(guī)律的探索，會有與之相契合的基本實驗方法。

例如，探索“三角形內(nèi)角和”規(guī)律時，為驗證“三角形內(nèi)角和是180°”這一猜想，教師組織學(xué)生通過小組討論確定實驗方法：可以采用量角器量角求和的方法，也可以借助“幾何畫板”軟件一邊改變?nèi)切涡螤钜贿厹y算內(nèi)角和，還可以用折紙、撕紙等方法。教學(xué)時，要為學(xué)生提供充足的實驗準(zhǔn)備時間，讓學(xué)生精心選擇、推敲實驗方法。當(dāng)然，實驗過程中還會出現(xiàn)各種情況，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時調(diào)整和改變實驗方法。

三、關(guān)注實驗思維的疏導(dǎo)

教師要關(guān)注學(xué)生在實驗過程中可能遇到疑難問題，關(guān)注對學(xué)生實驗思維的疏導(dǎo)，及時為學(xué)生點撥、引航，排除思維障礙，助力學(xué)生順利完成實驗。

（一）變“爭論”為“共識”，優(yōu)選方法

受知識經(jīng)驗、思維方式和能力水平的限制，同樣的實驗條件，不同的學(xué)生會有不同的表現(xiàn)。教師要尊重學(xué)生的認(rèn)知差異，并利用差異組織“爭論”，引導(dǎo)學(xué)生修正、優(yōu)化方法，提高實驗的效度。

例如，探索“多邊形內(nèi)角和”規(guī)律時，盡管學(xué)生在探索四邊形內(nèi)角和規(guī)律時，積累了分三角形求內(nèi)角和的經(jīng)驗，但還不足以為探索任意多邊形內(nèi)角和規(guī)律提供有力支撐。在探索五邊形內(nèi)角和規(guī)律時，學(xué)生的實驗探究思路出現(xiàn)了“分三角形”和“分三角形+四邊形”兩種情況。而同樣是分三角形求內(nèi)角和，有的從同一頂點出發(fā)向其他頂點有序連線，有的隨意連線。對此，教師如實呈現(xiàn)各種情況，暴露學(xué)生的問題，并圍繞“分幾種圖形”“怎么分三角形”兩個核心問題，組織學(xué)生爭論和選擇，最終獲得求多邊形內(nèi)角和的一般方法，從而為后續(xù)得到多邊形內(nèi)角和公式掃除障礙，同時幫助學(xué)生加深了對內(nèi)角和意義的理解。

（二）從“生活”到“數(shù)學(xué)”，發(fā)現(xiàn)關(guān)系

數(shù)學(xué)實驗?zāi)軒椭鷮W(xué)生通過“做”感悟和發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的、不易覺察的數(shù)學(xué)規(guī)律。教師要讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，主動溝通現(xiàn)實和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，將外在的操作活動轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的數(shù)學(xué)思考。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系”時，考慮到大部分學(xué)生因缺乏等分物體而得不到整數(shù)結(jié)果的活動經(jīng)驗，無法想象出“3塊餅平均分成4份，每份是多少塊”，教師讓學(xué)生用圓片代替餅進行實驗。當(dāng)學(xué)生的思維發(fā)生偏離，出現(xiàn)了“將3塊餅平均分成12小份，每人拿3小份”的情況時，教師啟發(fā)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，主動將“分3小份”和“3塊餅一起分”勾連起來思考，讓學(xué)生認(rèn)識到每人得到的餅就是“一塊餅的3/4，是3/4塊餅”，實現(xiàn)了思維的轉(zhuǎn)化和進階。

（三）變“集中”為“發(fā)散”，引發(fā)“創(chuàng)思”

小學(xué)生的思維源于動作，不同的實驗方式會積淀不同的操作經(jīng)驗，獲得不同的數(shù)學(xué)理解。引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，是讓學(xué)生積累“做”的經(jīng)驗并進行數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化，變“集中”為“發(fā)散”，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”。教師要尊重差異，讓學(xué)生根據(jù)自身的活動體驗，用自己的思維方式表達自己的“創(chuàng)思”。

例如，對于“照圖1這樣擺下去，擺第n個正方形需要用到多少根小棒？”這個問題，不同的學(xué)生在照樣擺正方形活動中的感知和體驗不同：可能是以第一個正方形為基準(zhǔn)觀察小棒的變化規(guī)律，也可能是以第一根小棒為基準(zhǔn)觀察小棒的變化規(guī)律。教師要放手讓學(xué)生基于自身的活動體驗，得到4+3（n-1、1+3n）等不同的規(guī)律表達。當(dāng)然，最后教師要引導(dǎo)學(xué)生溝通兩種表達之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立和完善認(rèn)知體系。

（四）由“一題”到“一類”，構(gòu)建模型

布魯納認(rèn)知表征理論指出，學(xué)生要經(jīng)由“動作表征—圖像表征—符號表征”三個階段，才能真正獲得對知識的理解。通過數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識同樣如此，教師要適時拆除外在的活動“支架”，引導(dǎo)學(xué)生由一道題轉(zhuǎn)向一類題，逐步建立清晰的表象，最終用抽象的符號表征知識，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

例如，教學(xué)“表面涂色的正方體”時，先讓學(xué)生通過觀察和操作，建立起 3階和4階正方體中3面、2面、1面和0面（沒有）涂色的小正方體個數(shù)和所在位置的清晰表象。在此基礎(chǔ)上，形成對 5階、6階正方體表面涂色情況的猜想，并通過實驗逐一加以檢驗，進一步固化表象，從而得到表面涂色的正方體的涂色規(guī)律：將表面涂色的正方體沿著棱長等分成n份切開后，3面涂色的小正方體有8個，2面涂色的小正方體有12（n-2）個，1面涂色的小正方體有6（n-2）²個，0面（沒有）涂色的小正方體有（n-2）³個。學(xué)生經(jīng)歷表象操作的過程，將感性經(jīng)驗上升為理性認(rèn)知，不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，還能用數(shù)學(xué)的語言進行抽象表達，建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型。

四、關(guān)注實驗習(xí)慣的培養(yǎng)

學(xué)生借助實驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，獲得豐富的感性經(jīng)驗。這些通過對實驗材料的觀察和操作形成的經(jīng)驗需要經(jīng)由數(shù)學(xué)思考和理性分析，才能獲得思維的提升。教師要及時組織學(xué)生回顧和反思實驗過程，對接“活動”和“思維”，由“結(jié)果”追溯“原因”，從而提升實驗品質(zhì)，培養(yǎng)實驗習(xí)慣。

（一）反思數(shù)據(jù)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實的習(xí)慣

實驗結(jié)論來自實驗數(shù)據(jù)，而實驗數(shù)據(jù)往往與理想數(shù)據(jù)之間存在一定的差距。反思實驗數(shù)據(jù)，能幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)實驗的特點，深化對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實的習(xí)慣。

例如，推導(dǎo)圓的周長公式時，學(xué)生通過實驗操作體會圓周的長和直徑的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)測算出的圓周長和直徑的商并非一個固定的數(shù)，甚至出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)。這些“異常數(shù)據(jù)”常常會成為學(xué)生學(xué)習(xí)的阻力，影響公式的得出。教師如果以此為契機，讓學(xué)生基于現(xiàn)象深入思考，不僅能幫助學(xué)生順利完成公式推導(dǎo)，還能積累數(shù)學(xué)實驗的基本經(jīng)驗。教師不妨順勢提問：“算出的數(shù)據(jù)各不相同，你覺得周長和直徑的商會是一個固定的數(shù)嗎？出現(xiàn)不同數(shù)據(jù)的原因又是什么？”引導(dǎo)學(xué)生反思“異常數(shù)據(jù)”，進而認(rèn)識到實驗結(jié)論受實驗材料、測量工具和操作方法等一系列因素的影響，出現(xiàn)誤差是正常現(xiàn)象。

（二）反思方法，培養(yǎng)追根溯源的習(xí)慣

古人云：“知其然，更要知其所以然?！笔聦嵣希總€方法規(guī)律背后都有原理，有些看似不同的方法規(guī)律之間存在共通的原理。對此，教師要根據(jù)需要，及時為學(xué)生提供實驗材料，幫助學(xué)生從現(xiàn)象追溯本源，把握方法之間的聯(lián)系，加深對規(guī)律本質(zhì)的理解。

例如，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)特征和2、5的倍數(shù)特征“不同”時，教師不妨讓學(xué)生提出質(zhì)疑并借助實驗發(fā)現(xiàn)特征背后的原理，從而溝通3的倍數(shù)特征和2、5的倍數(shù)特征之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師可提供方塊圖作為實驗材料，讓學(xué)生擺一擺、圈一圈、看一看，發(fā)現(xiàn)判斷3的倍數(shù)和2、5的倍數(shù)的方法本質(zhì)上一樣的，都是先看十位，再看個位。以12為例，十位上的1代表10，10除以2沒有余數(shù)（除以5沒有余數(shù)）；個位上的2除以2沒有余數(shù)（除以5有余數(shù)）。10除以3余1；把十位余下的1個方塊和個位的2個方塊合并，除以3沒有余數(shù)。接著，由12推廣到其他的多位數(shù)，幫助學(xué)生養(yǎng)成用實驗探索規(guī)律本質(zhì)的習(xí)慣。

（三）反思結(jié)論，培養(yǎng)一致化理解的習(xí)慣

借助數(shù)學(xué)實驗探究數(shù)學(xué)問題時，由于問題背景是開放的，同一數(shù)學(xué)現(xiàn)象還會得出不同的數(shù)學(xué)結(jié)論。在面對多個結(jié)論時，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助實驗發(fā)現(xiàn)結(jié)論之間的關(guān)系，形成一致化的理解。

例如，探索“一一間隔排列”規(guī)律時，學(xué)生通過實驗初步發(fā)現(xiàn)一一間隔排列中的規(guī)律有多種情況：如直線排列，則“頭尾相同時，兩端物體個數(shù)比中間物體個數(shù)多1”“頭尾不同時，兩種物體個數(shù)同樣多”；如封閉曲線排列，則“兩種物體個數(shù)同樣多”。這意味著，關(guān)于一一間隔排列規(guī)律，學(xué)生要掌握三個不同的數(shù)學(xué)模型。對此，教師可以在學(xué)生得到排列規(guī)律后追問“能不能只記一種”，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗操作，用“一一對應(yīng)”的思想統(tǒng)一三個數(shù)學(xué)模型，認(rèn)識到“首尾不同時，兩種物體正好一一對應(yīng)”“首尾相同時，則一一對應(yīng)后多出一個”，而封閉曲線排列的兩種物體變成直線排列后與首尾不同直線排列是一樣的。

五、關(guān)注實驗成果的評價

學(xué)生是否通過數(shù)學(xué)實驗理解了數(shù)學(xué)知識，能否將實驗探究的基本方法和操作技能等遷移至新情境，需要進行科學(xué)評估。為此，教師要設(shè)計相應(yīng)的評價問題，考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)實驗探究數(shù)學(xué)知識的意識和能力，并根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)相機引導(dǎo)，修正或完善對知識的理解，強化實驗探究要點。改造問題各要素，變換情境、內(nèi)容和要求等，是常見的評價方式。

（一）改造背景結(jié)構(gòu)，評估理解的深刻度

同樣的研究要素，同樣的實驗方式，在不同的問題背景結(jié)構(gòu)下，會產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)規(guī)律。

例如，釘子板上多邊形的面積大小由邊上點子數(shù)和內(nèi)部點子數(shù)兩個變量決定，且關(guān)系比較復(fù)雜。學(xué)生可能對規(guī)律的掌握“只得其形而未得其神”。對此，教師可以在學(xué)生找到規(guī)律后，改變釘子板的結(jié)構(gòu)，將釘子板上每一個單位形狀由“□”改為“△”，讓學(xué)生利用剛獲得的探究經(jīng)驗再次探索釘子板上多邊形的面積計算公式。這樣的“改造”，不僅能幫助學(xué)生固化實驗方法，還能讓學(xué)生感受到控制變量的實驗方法對于探索復(fù)雜規(guī)律的價值。

（二）改變研究對象，評估方法的靈活度

學(xué)生是天生的探索者，對于數(shù)量之間“變”與“不變”的規(guī)律充滿了好奇。教師可以通過改變研究對象，讓學(xué)生遷移應(yīng)用得到的實驗結(jié)論、方法解決新的問題，從而評估學(xué)生思維的靈活度。

例如，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“3的倍數(shù)特征”后，教師提問“還有什么問題嗎”，進一步激活學(xué)生探究的熱情，同時針對學(xué)生提出的“還有哪些數(shù)的特征也和3的倍數(shù)特征一樣看各位上數(shù)的和”相機引導(dǎo)，讓學(xué)生對10以內(nèi)未知倍數(shù)特征的數(shù)（4、6、7、8、9）進行實驗探究，進而發(fā)現(xiàn)9的倍數(shù)也具備相同的特征，強化二者之間的聯(lián)系。