楊 雄 袁新全

（婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南婁底 417000）

0 引言

求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要內(nèi)容之一，其中隱函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)中的難點(diǎn)內(nèi)容。在實(shí)際應(yīng)用中，有些變量相互關(guān)聯(lián)，并且相互影響，為了確定變量之間的關(guān)系，通常應(yīng)用方程式或方程組確定，由這些方程式或方程組確定的函數(shù)，需要求極值及優(yōu)化等問(wèn)題，進(jìn)而經(jīng)常用到隱函數(shù)求導(dǎo)，并且隱函數(shù)求導(dǎo)在問(wèn)題研究及工程應(yīng)用中有重要作用。因此，許多學(xué)者對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行了研究，如學(xué)者崔楠、朱德馨對(duì)隱函數(shù)在幾何方面的應(yīng)用進(jìn)行了研究[1]，張亞龍、高改蕓、劉爽研究了5 種求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法[2]，張芬、吳紅星等對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)的正解與錯(cuò)解進(jìn)行了案例分析[3]。為了便于對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)的理解，本文首先闡釋一元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，然后推廣到多元隱函數(shù)的求導(dǎo)情況，并且得出相應(yīng)的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，同時(shí)應(yīng)用實(shí)際案例對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)公式進(jìn)行應(yīng)用探索。

1 隱函數(shù)的定義及其求導(dǎo)方法

如果在方程F(x,y)= 0 中，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程唯一的y值存在，那么方程F(x,y)= 0 在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)一元隱函數(shù)。類似若有一個(gè)三元方程F(x,y,z)= 0 所確定的二元函數(shù)z=f(x,y)存在，則有可能確定一個(gè)二元隱函數(shù)。對(duì)此類隱函數(shù)求導(dǎo)，其主要方法有：

（1）先通過(guò)運(yùn)算，把隱函數(shù)F(x,y)= 0 或F(x,y,z)=0 轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)y=f(x)或z=f(x,y)，再利用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，一般情況許多隱函數(shù)很難顯化，并且求出導(dǎo)函數(shù)也是隱函數(shù)。

（2）把隱函數(shù)看作方程，方程左右兩端對(duì)x求導(dǎo)（求導(dǎo)時(shí)注意y是關(guān)于x的函數(shù)），可得到關(guān)于導(dǎo)數(shù)y′（x）的方程，解方程即可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′（x）。或者在多元函數(shù)中方程兩端求偏導(dǎo)，再解方程求出偏導(dǎo)數(shù)。

（3）將x，y看作兩個(gè)“平等地位”的變量，利用一元微分或多元函數(shù)全微分的形式不變性，在等式F(x,y)= 0 或F(x,y,z)= 0 兩端同時(shí)取微分，一元微分得到關(guān)于dy與dx的等式，把導(dǎo)數(shù)看作微商即可求出y′（x），多元函數(shù)求出全微分等式，類比dx前的因子是x的偏導(dǎo)數(shù)，dy前的因子是y的偏導(dǎo)數(shù)[4]。

2 一元隱函數(shù)求導(dǎo)法則

2.1 一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

隱函數(shù)存在定理1[5]設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0)= 0，F(xiàn)y(x0,y0)≠0，則方程F(x0,y0)=0 在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x)，它滿足條件y0=f(x0)，并有

如果F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，可以把（1）式的兩端看作x的復(fù)合函數(shù)而再求一次導(dǎo)數(shù)，則有一元隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式：

方法一：用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解：直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有

分析：在此求導(dǎo)過(guò)程中一定注意，y是關(guān)于x的函數(shù)，即y=(x)，比如求y2的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)該是2yy′，而不是2y，等式兩邊求導(dǎo)后相當(dāng)于解一元一次方程即可求出導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然求出的導(dǎo)函數(shù)還是一個(gè)隱函數(shù)。

方法二：用等式兩端求微分的方法求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解：方程兩邊取微分，則有

分析：等式兩端求微分，求解過(guò)程用到一元微分的形式不變性， 其實(shí)質(zhì)用df(x)=f′(x)dx，然后把等式兩端的dx約去，得到關(guān)于y′的方程，解方程即得導(dǎo)數(shù)。

方法三：直接應(yīng)用定理1中的（1）式求解

分析：直接用定理1 求解，隱函數(shù)要變到F(x,y)= 0 的形式，然后分別對(duì)F(x,y)求偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，y看著常數(shù)，當(dāng)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，x看著常數(shù)，其他與一元函數(shù)求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式一樣。

2.2 一元隱函數(shù)的其他求導(dǎo)方法分析

2.2.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例2 設(shè)y=f(x+y)，其中f二階可導(dǎo)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1，求

解：等式兩端對(duì)x求導(dǎo)，則有y′=f′(x+y)(1+y′)，即

對(duì)上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，可得

y″ =f″(x+y)(1 +y′)2+f′(x+y)y″， 進(jìn)而有，將y′代入上式，有

分析：在求此類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一是注意y是關(guān)于x的函數(shù)；二是注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，不能丟掉內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；三是注意一直用方程兩端求導(dǎo)，求導(dǎo)過(guò)程中不要先求出一階導(dǎo)數(shù)y′，再對(duì)一階導(dǎo)數(shù)等式兩端求導(dǎo)，這樣變成了一個(gè)分?jǐn)?shù)函數(shù)求導(dǎo)，繼續(xù)求高階導(dǎo)數(shù)會(huì)變復(fù)雜，只要最后把y′代入即可[6]。

2.2.2 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例3 求隱函數(shù)x2=y2的導(dǎo)數(shù)。

解：對(duì)等式兩端取對(duì)數(shù)，則有

分析：如果等式中含有冪指函數(shù)，一般用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，先對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，并且一般需要先通過(guò)相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，然后等式兩邊求導(dǎo)數(shù)即可。當(dāng)然有時(shí)可以轉(zhuǎn)換成e的指數(shù)形式，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，如此題可轉(zhuǎn)換成eylnx=exlny[7]。

2.2.3 等式兩邊求微分法求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例4 求隱函數(shù)cos(xy)=x3y3的導(dǎo)數(shù)。

解：對(duì)等式兩端求微分，則有

dcos(xy) =d(x3y3)?-sin(xy)d(xy) =y3d(x3)+x3d(y3)

?-sin(xy)(ydx+xdy)=3x2y3dx+3x3y2dy

整理解得

分析：此解法與例1 中的解法二是有區(qū)別的，例1 中用到的是一元函數(shù)的微分公式，這里用到的是二元函數(shù)的全微分公式，即df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy，實(shí)質(zhì)是等式兩邊求全微分。

2.2.4 用變量代換求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例5 設(shè)函數(shù)y=y(x) 由方程xy2+y2lnx= 4確定，求[8]。

解：將方程改寫為ey2lnx+y2lnx=4，進(jìn)行變量代換，設(shè)u=y2lnx，則有eu+u= 4。

對(duì)x求導(dǎo)，可得即

分析：解此類題，在解題過(guò)程中加強(qiáng)觀察，可能會(huì)找到簡(jiǎn)便的解法，當(dāng)然觀察的能力來(lái)自于平時(shí)的積累，因此，對(duì)一些解題的方法和技巧要平時(shí)多積累。

2.2.5 求一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值

案例6 設(shè)y=y(x)由方程y-xe2= 1 確定，求的值。

解：方程兩端求導(dǎo)可得y′-e2-xeyy′=0，由y-xey y′ = 1 可得-xey= 1 -y，代入以上方程化簡(jiǎn)可得(2 -y)y′ -ey= 0。

以上方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)可得

-(y′)2 +(2 -y)y″ -y′ey= 0

由已知方程及x= 0 得y(0)= 1，再由方程y′ -ey-xey y′ = 0得y′(0)=e，將它們代入以上方程得y″(0)= 2e2。

分析：若要求任意點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)y″，在求解得到二階導(dǎo)y″之后，應(yīng)將一階導(dǎo)數(shù)y′的表達(dá)式代入含有y′和y″的方程中，把y′消除。在隱函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)一次求導(dǎo)，求得關(guān)于一階導(dǎo)數(shù)y′的方程，若能用原方程將含有一階導(dǎo)數(shù)y′的方程化簡(jiǎn)的，應(yīng)代入化簡(jiǎn)，這方便于進(jìn)一步求二階導(dǎo)數(shù)y″。

3 多元隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

隱函數(shù)存在定理2[9]設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0，則方程F(x,y,z)=0 在點(diǎn)(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=(x,y)，它滿足條件z0=f(x0,y0)，并有

案例7 已知x2+y2+z2- 4z= 1，求

方法一：類似案例1 中方法一，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法，即z=f(x,y)，方程兩端對(duì)x求偏導(dǎo)，則有，解得[10]。

方法二：類似案例1 中方法二，對(duì)方程兩端取全微分，則有2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0，解得，進(jìn)而有

方法三：應(yīng)用公式（3）求解，設(shè)F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z-1，則有Fx= 2x,Fz= 2z- 4，所以

分析：方法一對(duì)x求偏導(dǎo)時(shí)，y是常數(shù)，z是關(guān)于x和y的函數(shù)；方法二是求出全微分，然后比較dx前的因子是x的偏導(dǎo)數(shù)；方法三對(duì)x求導(dǎo)時(shí)，y和z都是常數(shù)，對(duì)z求導(dǎo)時(shí)，x和y是常數(shù)。如果弄清楚誰(shuí)是變量，誰(shuí)是常數(shù)，求導(dǎo)就變?nèi)菀琢恕?/p>

4 方程組給出的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

隱函數(shù)存在定理 3 設(shè)F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在點(diǎn)P(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F(x0,y0,u0,v0)=0，G(x0,y0,u0,v0)= 0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）：

在點(diǎn)P(x0,y0,u0,v0)不等于零，則方程組F(x,y,u,v)=0，G(x,y,u,v)=0，在點(diǎn)(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)，它們滿足條件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0)，并有

案例8 已知xu-yv= 0,yu+xv= 1，求

方法一：直接應(yīng)用公式（4）計(jì)算:

F(x,y,u,v)=xu-yv,G(x,y,u,v)=yu+xv-1，則有

方法二：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算，因?yàn)閡=u(x,y)，v=(x,y)，方程的兩端對(duì)x求

同樣的方法方程兩端對(duì)y求導(dǎo)，可求出

方法三：方程兩端取全微分，則有

所以有

分析：當(dāng)二元隱函數(shù)由一個(gè)方程確定時(shí)，應(yīng)用公式法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及全微分法求解導(dǎo)數(shù)，求解的難易程度不太明顯，若是由方程組確定的隱函數(shù)，尤其當(dāng)隱函數(shù)不是由具體方程表達(dá)式給出時(shí)，全微分求解表現(xiàn)出明顯優(yōu)越性。當(dāng)然，方程組兩端應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法比公式法更方便，公式法實(shí)際是這種復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法的直接結(jié)論，方程組求導(dǎo)的公式是應(yīng)用了線性方程組求解的克萊姆法則。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文探討一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、微分法、變量代換法和多元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及全微分法。每種方法有各自的優(yōu)勢(shì)，如一元函數(shù)的公式法分別求出對(duì)x與y的偏導(dǎo)數(shù)，代入公式即可求出隱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，思路很清晰，但要記住公式。其他方法不需要記公式，但求解過(guò)程技巧多，要通過(guò)一定的練習(xí)掌握各種方法的解題技巧。多元隱函數(shù)的求導(dǎo)有全微分法、公式法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，其中公式法，需要記住公式，尤其是方程組構(gòu)成的隱函數(shù)公式比較復(fù)雜，難以記住，因此解題宜采用全微分法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。在隱函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)從一元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，拓展到多元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，降低了隱函數(shù)求導(dǎo)的難度，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生積極參與思考，提高學(xué)生多途徑、多角度思考問(wèn)題的能力，并且在知識(shí)的深度和廣度上得到充分挖掘。