林開亮 趙教練

摘? ? 要：1947年，華羅庚獨(dú)立研究了Hurwitz-Radon矩陣方程，遺憾的是由于失誤他未能得出完整結(jié)果。文章補(bǔ)充完善了華羅庚對(duì)于Hurwitz-Radon矩陣方程的求解。遵循華羅庚的思路， 所采用的方法是矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型。得到了華羅庚鏈，并通過酉化技巧得到其酉版本。

關(guān)鍵詞：Hurwitz-Radon矩陣方程；Hurwitz-Radon定理；華羅庚鏈；酉化技巧；矩陣標(biāo)準(zhǔn)型

中圖分類號(hào)：O15? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：1009-5128（2023）02-0075-10

收稿日期：2022-09-18

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目：華羅庚及其學(xué)派的研究和普及（1182601057）

作者簡(jiǎn)介：林開亮，男，湖南常德人，西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院講師，理學(xué)博士，主要從事矩陣論、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育研究；趙教練，男，陜西興平人，渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，理學(xué)博士，主要從事密碼學(xué)與函數(shù)論研究。

這個(gè)經(jīng)典的定理已經(jīng)有許多證明，除了Hurwitz和Radon的原始證明以外，還有Eckmann［4］的有限群表示論證明、李華宗的利用Clifford代數(shù)表示論的證明（例如參看Prasolov［5］186–188 ）。Hurwitz的原始證明的敘述可以參考文獻(xiàn)［6］。Radon的證明與本文介紹的證明關(guān)聯(lián)緊密，其轉(zhuǎn)述可見文獻(xiàn)［7］。

第一作者曾在文獻(xiàn)［1］中給出了Hurwitz-Radon定理的一個(gè)簡(jiǎn)單證明，該證明很好地解釋了定理中的模4周期性，并且可以推廣到任意特征不等于2的域F。

本文介紹Hurwitz-Radon定理的另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的證明，這個(gè)證明基于華羅庚1947年的工作，但是由于某些原因這個(gè)優(yōu)美的證明被忽略了。

3? ?華羅庚鏈

對(duì)于F =C的情形，華羅庚［4］對(duì)Hurwitz定理曾經(jīng)給出過一個(gè)漂亮的證明，我們介紹如下（從這里開始，如果不作特殊說明，將假定所有談及的矩陣都是復(fù)矩陣）。

華羅庚在1947年發(fā)表的矩陣幾何的文章［8］中獨(dú)立地得到了Hurwitz矩陣方程，他不知道前人的工作，給出了自己的求解方案，遺憾的是未引出正確的最終結(jié)果。但他的思路是對(duì)的，遵循其方法，我們可得到下述結(jié)果，稱之為華羅庚鏈（參見文獻(xiàn)［9］）。

定理3的證明需要將引理1至4酉化，我們只須在相應(yīng)的引理證明中將各個(gè)相似變換或相合變換的矩陣加強(qiáng)為酉矩陣即可。限于篇幅，此處從略。

注：有必要指出，華羅庚鏈（5）至（8）在R上不成立。原因在于，引理5（ii）在R上不成立。例如，對(duì)于2階標(biāo)準(zhǔn)辛矩陣J，J與其轉(zhuǎn)置矩陣J '=-J是實(shí)相似的，但是直接計(jì)算表明，它們不是實(shí)相似的。這是我們不能直接實(shí)化華羅庚鏈的原因所在。我們?cè)跇?biāo)題中所謂的“酉化”，事實(shí)上就是酉限制，在拓?fù)渖舷喈?dāng)于緊致化，將非緊李群O（n，C ）與Sp（n，C）中的緊致部分提取出來。這一技巧為WeylH首創(chuàng)，并且命名為“酉技巧”［11］163-164。

7? ?歷史評(píng)述

事實(shí)上，華羅庚［8］并沒有得到正確的華羅庚鏈。華羅庚在引理1的證明中出現(xiàn)了失誤。［8］根據(jù)筆者的分析發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致這一錯(cuò)誤的根源是式下邊的連等式，其中第3個(gè)等號(hào)不成立。

華羅庚本應(yīng)該從文獻(xiàn)中獲知Hurwitz定理的，因?yàn)?930年代出版的MacDuffee［12］80-81在兩個(gè)不同的地方分別提到了Hurwitz和Radon的結(jié)果。華羅庚顯然是閱讀過這本書的，他不僅在同一篇文章中引用過此書，而且早在1944年發(fā)表的文章中就多次引用過。

相對(duì)而言，Radon［3］的結(jié)果在MacDuffee［12］80中有詳細(xì)表述。

定理5? ?（Radon）存在k個(gè)矩陣A1，…，Ak ∈M（n，R）使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，…，xk滿足x12＋…＋xk2＝1，矩陣x1A1＋…＋xkAk為正交矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)k ≤ρ（n ）。此處ρ（n ）如第五節(jié)注1定義。

正如等周定理有兩種等價(jià)的表述一樣，Radon定理與Hurwitz定理根本就是同一個(gè)定理的兩種不同表述，這兩個(gè)定理合在一起就是說，Hurwitz問題在C和R上有相同的解。正是認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，Eckmann［4］給出了Hurwitz-Radon定理的一個(gè)統(tǒng)一的基于有限群表示論的證明。

現(xiàn)在，Hurwitz-Radon定理已經(jīng)作為練習(xí)被編入線性代數(shù)的習(xí)題集［5］186-188中，但其解法遠(yuǎn)不如華羅庚先生給出的解法漂亮，華先生的這個(gè)證明完全可以與Hurwitz和Radon原來的解法相媲美。將Radon［13］146的原始證明跟華羅庚的證明放在一起比較是極為有趣的。Radon的證明中產(chǎn)生了8個(gè)矩陣方程，其中3個(gè)是 R上的，2個(gè)是C上的，還有3個(gè)是四元數(shù)體上的。關(guān)于Radon的詳細(xì)論證請(qǐng)讀者參考文獻(xiàn)［7］的轉(zhuǎn)述。

參考文獻(xiàn)：

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［10］? KAPLANSKY I.Linear Algabra and Geometry-A Second Course［M］.New York：Allyn and Bacon，1969.

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【責(zé)任編輯? ? 牛懷崗】

Abstract：Loo Keng Hua studied Hurwitz－Radon matrix equations independently in 1947. However， Hua didnt get the full results due to some mistakes. The present paper completes Huas original solution for Hurwitz－Radon matrix equations. Following Hua， the method is based on the canonical forms of matrices under similarity transforms. Huas cyclic recurrence relation and its unitary version are presented.

Key words：Hurwitz－Radon matrix equations； Hurwitz－Radon theorem； Huas cyclic recurrence relation； unitary trick； canonical forms of matrices