馮中芹 傅立明

［摘 要］“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”（HPM）是一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，基于HPM開展數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義?！靶甭省卑l(fā)現(xiàn)至今有著漫長的歷史，在HPM視角下教學(xué)“傾斜角與斜率”，滲透數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)情感與數(shù)學(xué)觀，能起到很好的效果。

［關(guān)鍵詞］HPM；傾斜角；斜率；同課異構(gòu)

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0019-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（本文簡稱新課標(biāo)）明確指出，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。按照新課標(biāo)的要求，傳統(tǒng)的教學(xué)觀念應(yīng)該要改變，教師應(yīng)以立德樹人為教育教學(xué)目標(biāo)，著眼數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)文化，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)展。但是，要發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的作用，教師自身必須要不斷學(xué)習(xí)，提高自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)?！皵?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”（HPM）是一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，基于HPM開展數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義。

“傾斜角與斜率”的教學(xué)從初中所學(xué)的“兩點(diǎn)確定一條直線”出發(fā)，進(jìn)一步闡述“傾斜角與斜率”的概念，引出兩點(diǎn)所連成的直線斜率的計(jì)算公式。傳統(tǒng)教學(xué)中，該課以直線斜率公式的應(yīng)用為主要教學(xué)目標(biāo)，忽視了概念產(chǎn)生的過程，部分學(xué)生不能很好地理解“傾斜角與斜率”的概念，只會記公式，對于為什么引入斜率無法理解，會認(rèn)為斜率是“空降”的概念。而斜率概念本身具有很深厚的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化，能夠給教師的教學(xué)帶來豐富的素材。教師能夠利用斜率發(fā)展的歷史來講解數(shù)學(xué)思想方法，將斜率概念的歷史發(fā)展過程展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生深入理解其背景和意義。這樣數(shù)學(xué)概念教學(xué)不再“冰冷”枯燥，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

根據(jù)新課標(biāo)要求，在確立該課教學(xué)目標(biāo)時(shí)有幾點(diǎn)要注意。首先是知識與技能目標(biāo)，要求學(xué)生探究出直線在直角坐標(biāo)系中的位置，其實(shí)傾斜角與斜率之間的關(guān)系是很好理解的。其次是過程與方法目標(biāo)，要求學(xué)生了解斜率的歷史發(fā)展過程，讓學(xué)生完成本節(jié)課的自主學(xué)習(xí)過程。最后是情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)，要求學(xué)生掌握相關(guān)數(shù)學(xué)思想。利用傾斜角與斜率來研究直線非常重要，要讓學(xué)生明白它的重要性。數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程與學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程具有相似性，教師應(yīng)該讓學(xué)生深刻體會到HPM的優(yōu)勢。

本文選取了教師Ａ和教師Ｂ就“傾斜角與斜率”這一主題進(jìn)行的同課異構(gòu)的教學(xué)展示。教師Ａ并未從HPM的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，教師Ｂ則選擇從HPM的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)教學(xué)中，選擇從HPM視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的教師非常少。傳統(tǒng)教學(xué)以傳授知識為主要目的，漸漸讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是枯燥無聊的。HPM視角下的知識傳授有助于學(xué)生形成完整的知識體系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教無定法，不同的教學(xué)方法可以相互啟發(fā)。本文對教師A和教師B的教學(xué)進(jìn)行比較和分析，以歸納出HPM視角下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的若干特點(diǎn)，希望通過這種不同視角的交流，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的啟示。

一、教學(xué)流程的比較

表１給出了教師A和教師B的教學(xué)流程對照。

從表1可以看出，教師Ａ采用的教學(xué)法比較常規(guī)，通過實(shí)際數(shù)學(xué)問題引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，直接給出研究問題，引導(dǎo)學(xué)生探索傾斜角和斜率，接著進(jìn)行習(xí)題講練，最后進(jìn)行課堂小結(jié)。教師Ｂ先通過傾斜角和斜率的形成過程呈現(xiàn)定義，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)傾斜角和斜率的必要性，再讓學(xué)生通過小組合作得出結(jié)論，接著進(jìn)行習(xí)題演練，最后進(jìn)行課堂小結(jié)，推導(dǎo)的過程也是傾斜角和斜率歷史演變的過程。在新知應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師Ａ設(shè)計(jì)得比較好，共設(shè)計(jì)３個(gè)問題，分別涉及傾斜角和斜率的定義，傾斜角和斜率之間關(guān)系的應(yīng)用，內(nèi)容比較全面，由易到難，達(dá)到了知識與技能目標(biāo)的基本要求。教師Ｂ在展示傾斜角和斜率歷史探索過程上花費(fèi)了比較長的時(shí)間，因而缺少新知應(yīng)用環(huán)節(jié)。

二、新課引入環(huán)節(jié)的比較

在新課引入環(huán)節(jié)，教師Ａ借助向量工具，通過從特殊到一般的過程，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)地理解用點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)的差的商刻畫直線傾斜角的方法，建立直線的斜率公式。教師Ｂ通過展現(xiàn)歷史上對傾斜角和斜率的研究過程，引出定義。

教師A的教學(xué)片段：

師：點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中是怎樣表示的？

生1：用坐標(biāo)。

師：點(diǎn)是構(gòu)成直線的基本元素，我們應(yīng)該在直角坐標(biāo)系中如何表示直線呢？

生2：由無數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直線。

師：在平面直角坐標(biāo)系中能確定的直線的要素是什么？

生3：兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線。

教師B的教學(xué)片段：

師：滑雪者在雪道上留下的痕跡是怎樣的呢？

生1：直線。

師：很好，滑雪者滑行軌跡確實(shí)是一條直線。那么同學(xué)們回憶一下我們初中學(xué)過的什么函數(shù)圖象也是直線？

生2：一次函數(shù)。

師：一次函數(shù)的表達(dá)形式，大家記得嗎？

生3：記得，[y=kx+b]。

師：[k，b]是兩個(gè)參數(shù)，大家知道這兩個(gè)字母的意義嗎？

生4：[b]是指直線在[y]軸上的截距。

師：很好，那字母[k]代表什么幾何意義呢？

生5：斜率！（初中教師已補(bǔ)充斜率是[k]）

師：不錯(cuò)，[k]的確是斜率，我們還用[k]來表示山坡的坡度。（播放微視頻）

在本環(huán)節(jié)，教師Ａ采用的是常規(guī)引入， 直接拋出問題，教師Ｂ則通過微視頻讓學(xué)生深入了解斜率的發(fā)展過程，通過生活中的實(shí)例引出教學(xué)內(nèi)容。兩者相比，教師Ａ的引入直接明了，教師Ｂ的引入則較為新穎，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、新知探索環(huán)節(jié)的比較

教師A的教學(xué)片段：

師：確定一條直線的幾何要素是什么？

生1：兩個(gè)點(diǎn)；一條直線還可以由一個(gè)點(diǎn)以及給定的方向確定。

師：在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)[P]能夠畫出直線[l1，l2，…，ln]（無數(shù)條），這么多的直線它們之間有什么區(qū)別呢？

生2：這些直線的方向不同。

師：怎樣在平面直角坐標(biāo)系中表示這些方向？

生3：這些直線與[x]軸的傾斜程度不同，即與[x]軸所成的角不同，因此可以用這些角來表示這些直線的方向。

師：通過觀察可知，直線[l1]的傾斜角[α1]是銳角，直線[l']的傾斜角[α']是鈍角，規(guī)定當(dāng)直線[l]與[x]軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為[0°]，因此傾斜角的取值范圍是什么？

生4：[α∈0°，180°]。

教師B的教學(xué)片段：

師（在幾何畫板中演示繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線圖象）：請同學(xué)們觀察，[y=kx]中的字母[k]如何變化？

生1：傾斜程度越大，[k]的值越大。

師：過原點(diǎn)的直線上，每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比是定值嗎？

生2：是定值（這里得到[k]的求法）。

師：對一次函數(shù)而言，[k]有什么幾何意義？

生3：直線與[x]軸所成角[α]的正切值與[k]有關(guān)。

師：下面讓我們來看一個(gè)微視頻，追溯斜率的歷史由來，看看數(shù)學(xué)家是怎么發(fā)現(xiàn)斜率的。

教師A從學(xué)生已掌握的知識點(diǎn)出發(fā)，通過逐步引導(dǎo)，使數(shù)學(xué)知識串聯(lián)在一起，自然而然地引出傾斜角的概念。教師B制作HPM微視頻，追溯斜率的歷史由來，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)更深入地理解斜率的概念。斜率的概念產(chǎn)生比直線方程的形成要晚很多，因此用傾斜角[α]的正切值來表示[k]理所應(yīng)當(dāng)，而不是教師把概念強(qiáng)加給學(xué)生。

四、課堂小結(jié)環(huán)節(jié)的比較

教師A的教學(xué)片段：

師：同學(xué)們，本節(jié)課你們學(xué)到了什么？

生1：刻畫一條直線在平面直角坐標(biāo)系中的方向有兩個(gè)維度，“形”和“數(shù)”的維度。

生2：直線的傾斜角的求法和取值范圍。

生3：直線的斜率的求法及斜率不存在的情況。

教師B的教學(xué)片段：

師：請同學(xué)們自由發(fā)言，總結(jié)一下本節(jié)課你體會到了什么。

生1：思路之廣。斜率“走過”幾百年甚至幾千年的漫長旅程，體現(xiàn)了從不完善到完善的動態(tài)發(fā)展過程。

生2：探索之悅。在小組討論過程中，大家都非常積極參與。

生3：能力之升。通過斜率的學(xué)習(xí)，我們分析問題、解決問題的能力得到了提升。

教師A讓學(xué)生小組討論后總結(jié)，把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷總結(jié)的過程。教師B則讓學(xué)生自己小結(jié)，回答的學(xué)生也非常多，大家自由發(fā)言，教師最后總結(jié)關(guān)鍵的幾點(diǎn)，突出本節(jié)課探究的是斜率的歷史發(fā)展過程，從而讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)史很奇妙，自己就像數(shù)學(xué)家，由此提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了課堂價(jià)值。

五、兩種教學(xué)設(shè)計(jì)理念的分析

高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該體現(xiàn)“三教”理念，即“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)?！敖趟伎肌敝傅氖桥囵B(yǎng)學(xué)生的問題意識、解決問題時(shí)的線索意識、參與數(shù)學(xué)活動時(shí)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的意識、解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的辯證和批判意識；“教體驗(yàn)”指的是以數(shù)學(xué)知識和技能為載體，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法和科學(xué)研究方法進(jìn)行理解，讓學(xué)生獲得對知識的學(xué)習(xí)體驗(yàn)；“教表達(dá)”指的是教會學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來表述數(shù)學(xué)問題。教師A和教師B兩種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，從多個(gè)層面和方向出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生思考，體現(xiàn)了“教思考”，也都包含了對數(shù)學(xué)思想方法和科學(xué)研究方法的運(yùn)用和對知識的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，體現(xiàn)了“教體驗(yàn)”。同時(shí)，兩種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)都要求學(xué)生對斜率的發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行表述，促使學(xué)生熟練切換數(shù)學(xué)的文字語言、口頭語言、符號語言，體現(xiàn)了“教表達(dá)”。

“教思考”的重要手段就是課堂留白，教師B結(jié)合數(shù)學(xué)史設(shè)置相應(yīng)的活動，讓學(xué)生了解斜率的發(fā)現(xiàn)過程，實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)留白，為學(xué)生自主探究做好鋪墊，實(shí)現(xiàn)論證留白，比教師A更能體現(xiàn)“教思考”。教師B的數(shù)學(xué)史素材雖然有育人價(jià)值，但是教師B可以采用更加豐富的形式，如讓學(xué)生編寫數(shù)學(xué)話劇的劇本、讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)演講等，帶領(lǐng)他們穿越時(shí)空，感受斜率對數(shù)學(xué)界的影響?！敖腆w驗(yàn)”的重要依據(jù)就是自然發(fā)生，設(shè)計(jì)問題，一線貫通。教師B在設(shè)計(jì)問題時(shí)注意了問題的銜接以及教學(xué)過程的流暢性，環(huán)環(huán)相扣的問題串成為教學(xué)設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)。教師A更加注重知識的實(shí)際應(yīng)用，在課堂的最后加入實(shí)際應(yīng)用的問題，成為教學(xué)設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)。“教表達(dá)”必須注重雙重價(jià)值，不可偏廢，這一點(diǎn)教師A和教師B都做得很好。幾何的教育價(jià)值一方面是訓(xùn)練思維和培養(yǎng)核心素養(yǎng)，另一方面是實(shí)用價(jià)值。

HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)過程顯得十分自然，大大改變了學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，促進(jìn)了學(xué)生主動探究，增加了學(xué)生的體驗(yàn)機(jī)會。 雖然HPM能夠讓數(shù)學(xué)課堂變得更加精彩，但過多的引入必然導(dǎo)致學(xué)生練習(xí)時(shí)間減少，因此教師要精心選擇數(shù)學(xué)史背景知識，合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程，制訂完善的教學(xué)風(fēng)險(xiǎn)防范、教學(xué)監(jiān)控、教學(xué)管理制度，使HPM視角下的數(shù)學(xué)課堂常態(tài)化。因此，HPM課堂有效性模型研究顯得尤為重要。如果教師根據(jù)HPM課堂有效性模型，精心選擇數(shù)學(xué)史背景知識，合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，選擇適合的現(xiàn)代信息技術(shù)，制訂完善的教學(xué)風(fēng)險(xiǎn)防范、教學(xué)監(jiān)控、教學(xué)管理制度，HPM視角下的數(shù)學(xué)課堂將有很大的教育價(jià)值。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?黃友初.數(shù)學(xué)文化教育性的詮釋與教學(xué)性的缺失［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（7）：56-58.

［3］ ?戴姍姍，朱哲.高中數(shù)學(xué)新教材中的數(shù)學(xué)文化研究：以新人教A版“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（12）：19-22.

［4］ ?李婷.汪曉勤.HPM視角下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特點(diǎn)初探：基于“任意角”的同課異構(gòu)教學(xué)案例分析［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（4）：10-14．

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）