石校杰

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)這門課程應(yīng)具備的重要思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，我們常發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在課堂上聽得投入認真，卻在課后做習(xí)題時無從下手。究其根本原因在于學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)思維，未能真正掌握數(shù)學(xué)思想，從而無法靈活自如地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題?；诖耍胱畲笙薅鹊靥岣呓虒W(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，廣大數(shù)學(xué)教師要積極地滲透數(shù)學(xué)思想，拓展學(xué)生的思維空間。下文筆者分析了數(shù)學(xué)涉及的基本數(shù)學(xué)思想，探討了滲透數(shù)學(xué)思想的必要性，總結(jié)了幾個滲透數(shù)學(xué)思想的實例，以期優(yōu)化初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式，加強學(xué)生數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；素質(zhì)教育；數(shù)形結(jié)合思想；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2023）17-0070-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.17.023

新課程標準明確了數(shù)學(xué)思想的重要性，要求廣大數(shù)學(xué)教師及時更新教學(xué)理念，突破傳統(tǒng)教學(xué)觀念束縛，加強數(shù)學(xué)思維和方法教導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，探尋數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，進而為學(xué)生做到舉一反三、靈活運用打下堅實基礎(chǔ)。因此，初中數(shù)學(xué)教師必須加強數(shù)學(xué)思想研究，在課堂教學(xué)以及課后習(xí)題講解中有效滲透數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生感受不同數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用價值，為他們提供更科學(xué)的解決問題的“工具”，讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)見效見質(zhì)。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的必要性

（一）素質(zhì)教育理念的要求

素質(zhì)教育強調(diào)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，要求廣大教師在教學(xué)過程中重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)。數(shù)學(xué)新課程標準也明確提出讓學(xué)生在社會實踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。這也就要求學(xué)生必須掌握一些數(shù)學(xué)思想和方法，做到舉一反三、觸類旁通。從這一角度而言，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)立足于教育要求，重視數(shù)學(xué)思想教育，以數(shù)學(xué)思想促進學(xué)生思維能力的發(fā)展。

（二）提高學(xué)生解決問題的能力

教育家米山國藏曾經(jīng)講過：“無論是技術(shù)人員還是科學(xué)工作者，都需要明確數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神?！笨梢?，數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)精神在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的重要性不亞于數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能。傳統(tǒng)教學(xué)中教師忽略了這一點，更重視數(shù)學(xué)知識本身，從而制約了學(xué)生思維能力發(fā)展。數(shù)學(xué)思想直接體現(xiàn)了學(xué)生的綜合素質(zhì)，能夠有效推動學(xué)生解決問題能力的發(fā)展，所以教師也必須在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想，尤其是要在具體的問題情境中滲透數(shù)學(xué)思想，鼓勵學(xué)生應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)思想去解決問題，以此提高學(xué)生解決問題的能力。

（三）數(shù)學(xué)思想方法能夠解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)特征

“知其然并知其所以然”的前提是掌握知識本質(zhì)，只有了解本質(zhì)，才能靈活自如地應(yīng)用知識。數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)包括數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式等內(nèi)容，這些是數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)內(nèi)容，而數(shù)學(xué)思想就是學(xué)生將方法、知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)智慧的“中介”。學(xué)習(xí)、理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想也是學(xué)生真正透徹理解數(shù)學(xué)知識的過程，這是數(shù)學(xué)新課程標準的基本要求，能夠真正展現(xiàn)數(shù)學(xué)價值和數(shù)學(xué)魅力。因此，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，給學(xué)生解釋數(shù)學(xué)知識包含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在感知、體驗、概括、總結(jié)、反思中掌握數(shù)學(xué)思想，對數(shù)學(xué)知識有更深層次的理解。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的策略

（一）滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高解題效率

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的最主要的思想，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)課程、解決數(shù)學(xué)問題的重要思想。掌握數(shù)形結(jié)合思想能夠巧妙地化解難題，將數(shù)與形建立聯(lián)系，提高解題效率。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要加強數(shù)形結(jié)合思想的滲透。具體而言，教師可以把握以下兩個方面內(nèi)容：

一是以形助數(shù)。學(xué)生更容易理解簡單、直觀的圖形，而抽象單調(diào)的數(shù)字容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)疲勞，失去學(xué)習(xí)的興趣和動力。巧妙地用數(shù)學(xué)幾何圖形來表達數(shù)學(xué)知識間的關(guān)系，能夠最大限度地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。幾何圖形具有直觀形象的特點，因此在涉及數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)中，教師更多傾向于以形助數(shù)，利用圖形解決代數(shù)問題，能夠產(chǎn)生“出奇制勝”的效果。例如，正方形的分割圖用來記憶完全平方公式；將兩個全等梯形拼成一個平行四邊形用來記憶梯形公式；利用數(shù)軸將坐標軸上的代數(shù)賦予幾何意義，構(gòu)造幾何圖形，絕對值的幾何意義就是這類代表；利用函數(shù)的性質(zhì)把握函數(shù)的意義……此類問題都是以形助數(shù)的直接體現(xiàn)。

例1：關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根在-1和3之間，求k的取值范圍。

解題思路：令f（x）=x2+2kx+3k，該函數(shù)圖像與x的橫坐標就是f（x）=0的解，由y=f（x）的圖像（見圖1）進行推導(dǎo)即可解題。

一元一次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)都有著非常密切的關(guān)聯(lián)，在解決二次方程、二次不等式的復(fù)雜問題時，首先就應(yīng)該想到其與二次函數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生利用二次函數(shù)解題，往往收效更高。

二是以數(shù)助形。初中數(shù)學(xué)教材中涉及的圖形難度也在遞增，從簡單圖形到復(fù)雜幾何圖形，需要學(xué)生具備較強空間思維方能正確掌握圖形要點。因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將圖形和數(shù)之間建立聯(lián)系，用簡單的數(shù)來表示幾何圖形的本質(zhì)、屬性，以此提高學(xué)生抓取關(guān)鍵信息的能力。比如利用數(shù)軸、坐標系將幾何問題代數(shù)化，利用角度、距離、面積解決幾何問題，利用勾股定理證明直角，利用三角函數(shù)研究角的問題，這些都是以數(shù)助形的體現(xiàn)。

例2：圖2是由五個邊長為1的正方形組成的十字形，如果要將這個十字形拼湊成一個正方形，你有多少種方法？

解題思路：此題如果只從圖形角度進行分析，除了試驗應(yīng)該沒有更好的解決辦法了。但如果能夠?qū)⑿无D(zhuǎn)化為數(shù)，將形與數(shù)巧妙結(jié)合，那么問題就變得相對容易了。利用圖形面積公式可以計算出正方形邊長為，從圖中找一段邊長為的線段并且作一個正方形即可設(shè)計出各種裁剪方法。

無論是以形助數(shù)還是以數(shù)助形都需要教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)問題中提取關(guān)鍵信息，從題干中獲取數(shù)學(xué)條件，然后觀察、分析、思考，理清幾何圖形與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，接著再進行過程驗證。如此即可深化學(xué)生對數(shù)和形的理解，也能夠培養(yǎng)學(xué)生主動應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識。

（二）滲透方程和函數(shù)思想，建立數(shù)學(xué)模型

方程和函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，方程思想和函數(shù)思想也是幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的重要思想。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)加強方程和函數(shù)思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用列等式方程解決問題，啟發(fā)學(xué)生快速聯(lián)想函數(shù)思想，運用函數(shù)來呈現(xiàn)題干中的數(shù)量關(guān)系，以此鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例3：等腰三角形△ABC中，AB=BC=6，點P是線段BC中的一點，AB∥PQ且與AC相交于點Q，將線段PQ作為正方形PQMN的一條邊，點C和線段MN不處于線段PQ的同側(cè)，假設(shè)△ABC和正方形PQMN的公共部分是S，將CP的長設(shè)為x，求得S和x之間存在的函數(shù)關(guān)系式。

此題看似比較復(fù)雜，涉及的圖形、線段、數(shù)量關(guān)系相對較多，學(xué)生容易受思維定式的影響，難以找到解題突破口。在指導(dǎo)學(xué)生解決這類問題時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從方程和函數(shù)的角度進行思考，鼓勵學(xué)生將此題轉(zhuǎn)化為方程或者函數(shù)問題，建立方程模型或者函數(shù)模型。此種教學(xué)形式不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)，同時也能簡化解答過程。

（三）滲透化歸類比思想，提高學(xué)習(xí)效率

化歸類比思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較基礎(chǔ)的數(shù)形思想，其本質(zhì)在于將復(fù)雜問題簡單化，將學(xué)生陌生的問題熟悉化，將抽象的知識直觀化。這一數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過程中應(yīng)用得非常廣泛，是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的數(shù)學(xué)思想，具有較強的普遍性和實用性，是幫助學(xué)生快速解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有效方法。因此，教師應(yīng)在教學(xué)過程中加強化歸類比思想引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生將問題進行轉(zhuǎn)化，比如將數(shù)學(xué)問題進行變形、轉(zhuǎn)化，然后歸入一類題型，進而找到同類問題相似的解決方法，從原問題答案中獲取一類問題的解題技巧。

例題4：解一元一次方程2x+6=3-x

方法：首先移項得：2x+x=3-6，然后合并同類項得：3x=-3，接著系數(shù)化為1得：x=-1。

例題5：解一元一次不等式：2x+6﹤3-x

方法：同樣移項得：2x+x﹤3-6，再合并同類項得：3x﹤-3，接著兩邊都除以3得：x﹤-1。

兩類問題放在一起類比，學(xué)生掌握起來就容易得多。當(dāng)遇到不等式時，教師要鼓勵學(xué)生聯(lián)想方程，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，教學(xué)效率也更高。

又如，在教學(xué)“分解因式”相關(guān)內(nèi)容時，教師就可以基于如下問題鼓勵學(xué)生運用化歸類比思想進行解決。

問題1：993-99能被100整除嗎？可以將數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾個數(shù)的乘積形式，從而推導(dǎo)出993-99能被100整除。

方法：993-99=99×992-99×1=99×（992-1）=99×（9801-1）=99×9800=99×98×100。

問題2：你能否將a3-a化成幾個整式的乘積形式？

方法：a3-a=a×a2-a×1=a（a2-1）。

有了問題1的類比，學(xué)生解決問題2就沒太大難度，自信心也會倍增，學(xué)習(xí)積極性更高。學(xué)生先經(jīng)歷分解因數(shù)，再經(jīng)歷分解因式，并通過類比對分解因式的本質(zhì)有更加深刻的認識。

（四）滲透分類討論思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

分類討論思想也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)常涉及的一種數(shù)學(xué)思想，尤其在解決數(shù)學(xué)問題過程中，不少問題都需要進行分類討論。缺乏分類討論思想容易導(dǎo)致學(xué)生解題答案缺乏完整性。培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想有利于促進學(xué)生思維發(fā)散，對于培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維大有益處。從初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來看，初中階段的分類討論思想可以分為如下幾類：一類是問題給定，條件和結(jié)論存在多種可能；二類是問題包含的參變量取值不同，存在多個計算結(jié)果。這兩類問題都需要學(xué)生進行分類研究，方能準確地、完整地解題。

例如，比較1-a和1+a的大小。

作差法是最常用的比較大小的方法，通過作差（1+a）-（1-a）得到2a，此時就需要對a的取值范圍進行討論：

①當(dāng)a>0時，2a>0，即（1+a）-（1-a）>0，即1+a>1-a；

②當(dāng)a=0時，2a=0，即（1+a）-（1-a）=0，即1+a=1-a；

③當(dāng)a<0時，2a<0，即（1+a）-（1-a）<0，即1+a<1-a。

又如，解方程：x+4=3；比較a2-a+4與a2+3的大?。辉凇鰽BC中，若AB=3，BC=1-2x，CA=8，求x的取值范圍……這些例題都涉及了分類討論思想，教師可在教學(xué)過程或者作業(yè)設(shè)計中適當(dāng)增設(shè)這類習(xí)題，通過逐層深入培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想。

需要注意的是，引導(dǎo)學(xué)生分類討論時應(yīng)做到“不重、不漏”，尤其要注意分類標準的統(tǒng)一性，確保分類討論結(jié)果的準確性。同時，在分類討論過程中容易出現(xiàn)“討論有重漏，討論之后不檢驗是否合題意”現(xiàn)象，需要教師注意觀察學(xué)生利用分類思想解題是否存在這些問題，有意識地引導(dǎo)學(xué)生規(guī)避分類討論誤區(qū)，科學(xué)設(shè)計分類討論類習(xí)題，以此培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想，讓學(xué)生思維更開放、更靈活，思考問題的方向更多變、更完整。

三、結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)思想既是一種學(xué)習(xí)方法，也是一種思維方式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題都離不開數(shù)學(xué)思想的支撐。在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想不僅可以促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，同時也能夠提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。因此，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)重新審視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)價值，始終圍繞新課程標準的要求，結(jié)合學(xué)生實際情況開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，將數(shù)學(xué)思想滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)、化歸類比、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想分析問題，提高學(xué)生的解題能力和解題效率，為提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率奠定基礎(chǔ)。

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