褚玉霞

求軌跡方程問題經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何試題中.這類問題常與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識相結(jié)合，具有較強的綜合性，且解題過程中的運算量較大.解答這類問題的常用方法有直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法等.下面重點談一談軌跡方程的三種求法.

一、直接法

直接法是指根據(jù)動點所滿足的幾何條件，直接列出等量關(guān)系式，化簡該式即可求得動點的軌跡方程.在解題時，要仔細審題，尋找一些點、線段、角之間的幾何關(guān)系或關(guān)系式，靈活運用點到直線的距離公式、直線的斜率公式、兩點間的距離公式、正余弦定理等建立關(guān)于動點的方程.

例1.

解：

本題較為簡單，可采用直接法求解.設(shè)出動點的坐標，根據(jù)? =0、 =-? 建立關(guān)于 x、y 的關(guān)系式，通過化簡即可求得 M 的軌跡方程.在運用直接法求得動點的軌跡方程后，還需考慮題中出現(xiàn)的一些約束條件，尤其要關(guān)注對 x 、y 的限制條件.

二、定義法

若動點所滿足的條件與一些曲線的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義相吻合，就可以運用定義法來求軌跡的方程.這就要求同學(xué)們要熟悉并靈活運用圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，將動點看作曲線上的點，將定點視為圓的圓心、橢圓的焦點、雙曲線的焦點、拋物線的焦點，求得圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程中的參數(shù)，即可求得動點的軌跡方程.

例2

解：

由動圓與圓 O1 、圓 O2 之間的關(guān)系便可建立關(guān)系式 |MO2| - |MO1| = 3 ，而 O1 、O2 為定點，由此可以聯(lián)想到雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點 F1 、F2 的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于 |F1F2| ）的點的軌跡叫做雙曲線，于是設(shè)出雙曲線的方程，求得 a、b 的值，即可解題.

三、參數(shù)法

如果動點本身所滿足的條件中含有參數(shù)，或者在運動過程中受到某個變量的制約，那么就可以以此變量為參數(shù)，建立關(guān)于該參數(shù)的關(guān)系式，再設(shè)法消去參數(shù)，就可以得到軌跡方程，該方法稱為參數(shù)法.在選取參數(shù)時，要考慮到制約參數(shù)的限制條件對動點坐標的范圍的影響.另外，選取的參數(shù)不同，解題過程中的運算量也不同，要選取合適的參數(shù)，這樣才能減少運算量.

例3

解：

M 為 AB 的中點，要求 M 的軌跡方程，需要采用參數(shù)法，先設(shè) A、B 兩點的坐標，并用 A、B 兩點的坐標表示 M ；再根據(jù) A、B 所滿足的幾何條件建立關(guān)系式，通過消去參數(shù)，求出 M 的軌跡方程.

四、相關(guān)點法

如果動點隨著另一個或多個相關(guān)點的運動而運動，那么根據(jù)動點滿足的條件，就很難列出關(guān)于動點的關(guān)系式，此時可以采用相關(guān)點法來解題，其具體的步驟為：

1.設(shè)動點的坐標為 （x，y） 以及相關(guān)點的坐標為

2.把相關(guān)點的坐標代入動點所滿足的某個（些）方程中；

3.建立動點的坐標與相關(guān)點的坐標之間關(guān)系式，求出相關(guān)點的坐標；

4.將相關(guān)點的坐標代入已知方程，消去相關(guān)點的坐標，得到關(guān)于動點的坐標的方程.

例4

解：

根據(jù)題意，不難發(fā)現(xiàn)點 C、點 D、點 P 與點 M 相關(guān)，于是采用相關(guān)點法，分別設(shè)出 C、D、M 的坐標，而點 C、點 D 為拋物線的切點，既滿足切線方程，又滿足拋物線方程，點 P 在已知的圓上，據(jù)此建立關(guān)系式，并消去 C、D、P 的坐標，得到關(guān)于 M 點的坐標的關(guān)系式，即可解題

總而言之，求軌跡的方程，需將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來挖掘曲線的性質(zhì)，明確曲線的軌跡，從而求得軌跡的方程.