祝賓皓，，方 威，張勇傳

（1.華中科技大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.華中科技大學(xué)數(shù)字流域科學(xué)與技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074）

0 引 言

洪水預(yù)報(bào)作為一種有效的防洪非工程措施，在防洪減災(zāi)緊急決策中發(fā)揮著不可替代的作用。洪水預(yù)報(bào)相關(guān)理論方法，經(jīng)歷了由經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷骄哂邢到y(tǒng)理論概念的黑箱模型，再到結(jié)合物理過(guò)程和經(jīng)驗(yàn)概化的概念性水文模型，最后到反映流域空間分異性的分布式水文模型的發(fā)展過(guò)程［1］。然而任何一類(lèi)水文模型都是對(duì)水循環(huán)過(guò)程選擇性概化的近似描述，理論上無(wú)法精確還原真實(shí)水文過(guò)程。另外，在洪水預(yù)報(bào)中難以避免地存在降雨輸入、模型結(jié)構(gòu)以及參數(shù)的不確定性問(wèn)題，前述不確定性的存在必將導(dǎo)致洪水預(yù)報(bào)結(jié)果的不確定性，因此探索一種強(qiáng)魯棒性、高精度的洪水預(yù)報(bào)模式已成為亟待解決的問(wèn)題。

自19世紀(jì)40年代起，眾多水文工作者已開(kāi)展關(guān)于水文不確定性對(duì)洪水預(yù)報(bào)的影響研究，其中，考慮降雨輸入、參數(shù)不確定性影響的研究聚焦于對(duì)誤差概率分布特征的定量刻畫(huà)；考慮模型結(jié)構(gòu)不確定性影響的研究聚焦于模型產(chǎn)匯流機(jī)理的改進(jìn)以及預(yù)報(bào)模型優(yōu)選策略、模型耦合預(yù)報(bào)等方面。KRZYSZTO‐FOWICZ［2］提出貝葉斯洪水預(yù)報(bào)理論，應(yīng)用降雨不確定性處理機(jī)（Precipitation Uncertainty Processor， PUP）和水文不確定性處理機(jī)（Hydrologic Uncertainty Processor， HUP）分別處理降雨輸入不確定性和降雨以外的其他不確定性，從而明確洪水預(yù)報(bào)的總不確定性；KAVETSKI等［3］采用額外隱變量降低降雨輸入的不確定性，提出了貝葉斯總偏差分析（BayesianTotal Error Analy‐sis， BTEA）方法；AJAMI等［4］通過(guò)改用折算系數(shù)映射降雨輸入的不確定性，并結(jié)合貝葉斯模型平均（Bayesian Model Averag‐ing， BMA）方法考慮模型結(jié)構(gòu)不確定性，提出了貝葉斯綜合不確定性估計(jì)方法（the Integrated Bayesian Uncertainty Estimator，IBUNE）；謝小燕［5］將多元門(mén)限回歸模型和（Artificial Neural Net‐work， ANN）模型進(jìn)行耦合預(yù)報(bào)，完成了小山水庫(kù)的中長(zhǎng)期水文預(yù)報(bào)；馮鈞等［6］將（Back Propagation， BP）網(wǎng)絡(luò)和（Long Short-Term Memory， LSTM）模型在子午河流域進(jìn)行耦合預(yù)報(bào)，發(fā)現(xiàn)預(yù)報(bào)結(jié)果優(yōu)于任一單模型的預(yù)報(bào)結(jié)果；丁武等［7］采用極端梯度提升樹(shù)法（eXtreme Gradient Boosting， XGBoost）進(jìn)行多元水文時(shí)間序列趨勢(shì)相似性挖掘，達(dá)到了預(yù)測(cè)水文趨勢(shì)的目的。

為降低模型結(jié)構(gòu)不確定性對(duì)洪水預(yù)報(bào)帶來(lái)的負(fù)面影響，擬探明各水文模型的預(yù)報(bào)特征，采用多祌水文模型的不同耦合策略構(gòu)建洪水耦合預(yù)報(bào)系統(tǒng)，以探尋研究流域產(chǎn)匯流機(jī)理的精細(xì)化表達(dá)，降低極端降水事件所帶來(lái)的影響。

1 多模型耦合方法

1.1 多模型耦合預(yù)報(bào)概述

水文預(yù)報(bào)是對(duì)未知水文情勢(shì)的預(yù)測(cè)，無(wú)論選用什么水文模型都會(huì)有預(yù)報(bào)誤差。但考慮到各個(gè)水文模型建模機(jī)制不同，在同一研究流域的預(yù)報(bào)表現(xiàn)也各不相同，擬綜合多個(gè)模型的預(yù)報(bào)特征對(duì)研究流域的徑流序列進(jìn)行耦合預(yù)報(bào)。耦合預(yù)報(bào)定義如下：

式中：F為最終耦合預(yù)報(bào)徑流預(yù)測(cè)值；wi為各模型被分配的權(quán)重，可以是顯式的也可以是隱式的；fi是第i個(gè)水文模型預(yù)測(cè)值；h為水文模型個(gè)數(shù)。

1.2 單個(gè)預(yù)報(bào)模型的建立

為探明研究流域的產(chǎn)匯流機(jī)制，綜合考慮影響預(yù)報(bào)結(jié)果的各種可能因素，本研究選擇基于蓄滿(mǎn)產(chǎn)流理念的新安江模型［8］、適用性較強(qiáng)的水箱模型［9］以及基于變動(dòng)產(chǎn)流面積原理的TOP‐MODEL模型［10］，將3個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果作為耦合模型的輸入，經(jīng)各耦合方法確定模型權(quán)重后，可由式（1）確定耦合預(yù)報(bào)的徑流預(yù)測(cè)序列。由于（Particle Swarm Optimization， PSO）［11］算法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于水文模型的參數(shù)率定中［12-14］，故本研究各模型的參數(shù)以確定性系數(shù)（Determination Coefficient， DC）為目標(biāo)函數(shù)，由PSO算法率定得到。確定性系數(shù)的計(jì)算如下所示：

式中：Q代表實(shí)測(cè)徑流序列，代表實(shí)測(cè)徑流序列的平均值代表預(yù)報(bào)徑流序列；n代表序列長(zhǎng)度。

1.3 最小二乘法

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)方法，它通過(guò)尋求最小誤差平方和的方式找到一組數(shù)據(jù)的最優(yōu)函數(shù)形式，已經(jīng)在參數(shù)估計(jì)、系統(tǒng)辨識(shí)以及預(yù)測(cè)等專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。周建中等［15］提供了最小二乘法在水文模型耦合預(yù)報(bào)中的應(yīng)用細(xì)節(jié)。

1.4 嶺回歸法

由于前述最小二乘法在處理本文的耦合預(yù)報(bào)時(shí)容易出現(xiàn)結(jié)果不穩(wěn)定的缺陷，故引入嶺回歸法［16］進(jìn)行耦合預(yù)報(bào)。嶺回歸法是一種適用于多重共線(xiàn)性數(shù)據(jù)分析的有偏估計(jì)回歸方法，可視為改進(jìn)的最小二乘法。該方法放棄最小二乘估計(jì)的無(wú)偏性，以損失部分信息、降低一定精度的代價(jià)獲得更符合現(xiàn)實(shí)的回歸系數(shù)［17］。本文的多模型耦合預(yù)報(bào)研究可歸類(lèi)為多重共線(xiàn)性問(wèn)題，采用嶺回歸法可以更有力的挖掘多模型預(yù)報(bào)的優(yōu)勢(shì)，為研究流域的水文預(yù)報(bào)提供可靠保障。

1.5 極端梯度提升樹(shù)法

極端梯度提升樹(shù)，即XGBoost方法［18］在原始（Gradient Boosting Decision Tree， GBDT）模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改造，以二階泰勒展開(kāi)方式代替GBDT模型中損失函數(shù)的一階泰勒展開(kāi)方式，增加了模型的泛化能力和對(duì)多維度數(shù)據(jù)間復(fù)雜關(guān)聯(lián)的捕捉能力，該模型把正則化向的結(jié)構(gòu)損失函數(shù)加入目標(biāo)函數(shù)，以避免過(guò)擬合現(xiàn)象的發(fā)生，進(jìn)一步提升了模型適用能力。本文將XGBoost算法應(yīng)用于多模型耦合預(yù)報(bào)，有望精準(zhǔn)捕捉各模型的預(yù)報(bào)特征并據(jù)此對(duì)該流域的徑流序列做出符合實(shí)際的預(yù)報(bào)方案。XGBoost方法的基本原理如下：

已知某樣本集

式中：xi為樣本輸入值；Xti、Yti、Zti分別為新安江模型、水箱模型和TOPMODEL模型在時(shí)刻i的預(yù)測(cè)值；n為徑流序列長(zhǎng)度；yi是樣本輸入值xi對(duì)應(yīng)的輸出值。

綜合Mulligan的研究，我們探討出許多問(wèn)題。其一，對(duì)于Mulligan技術(shù)操作方便，效果顯著，但是機(jī)制不明確；其二，研究探討某種疾病或功能障礙時(shí)，無(wú)法給出明確納入標(biāo)準(zhǔn)，禁忌癥與適應(yīng)證無(wú)明確的指南，只是通過(guò)疾病的適應(yīng)癥與禁忌癥大體估量；其三，樣本量和局限性的問(wèn)題仍不能解決。目前國(guó)內(nèi)與國(guó)外的差距明顯。從研究?jī)?nèi)容上，國(guó)外Folk[47]的研究已經(jīng)進(jìn)展到手指關(guān)節(jié)，國(guó)內(nèi)還沒(méi)有研究到小關(guān)節(jié)；從研究文獻(xiàn)的數(shù)量上，國(guó)外的研究也是領(lǐng)先于國(guó)內(nèi)；從研究領(lǐng)域上，Kim[48]對(duì)腦卒中患者步態(tài)功能的恢復(fù)，應(yīng)用動(dòng)態(tài)松動(dòng)術(shù)進(jìn)行研究。

那么XGBoost模型的目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

式中：Fm代表模型在第m次迭代學(xué)習(xí)中的目標(biāo)函數(shù)；式中第一項(xiàng)為損失函數(shù)項(xiàng)為第i個(gè)樣本在第m-1次迭代學(xué)習(xí)中的預(yù)測(cè)值，fm(xi)為第m輪迭代學(xué)習(xí)中新加入的樹(shù)基于輸入值xi和上一次迭代學(xué)習(xí)誤差做出的預(yù)測(cè)值；式中為正則化項(xiàng)，是對(duì)于模型復(fù)雜度的懲罰函數(shù)，T為葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，ω為葉子權(quán)重向量，γ和λ為權(quán)重系數(shù)。

為使目標(biāo)函數(shù)值最小，XGBoost方法需要評(píng)估所有葉子節(jié)點(diǎn)，挑選能使目標(biāo)函數(shù)值最小的葉子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分裂，評(píng)估函數(shù)如下：

最終葉子節(jié)點(diǎn)分裂完成且所有決策樹(shù)的添加也完成時(shí)，各模型預(yù)測(cè)結(jié)果與耦合預(yù)報(bào)結(jié)果的隱特征關(guān)系就存儲(chǔ)在XGBoost模型的結(jié)構(gòu)中，再次調(diào)用訓(xùn)練過(guò)的XGBoost模型就可計(jì)算耦合預(yù)報(bào)結(jié)果。

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 研究區(qū)域概況及數(shù)據(jù)集構(gòu)造

雅礱江流域位于青藏高原東側(cè)，四川西部，全長(zhǎng)1 571 km，流域面積13.6萬(wàn)km2，干流狹長(zhǎng)，支流呈樹(shù)枝狀均勻分布于干流兩岸；河源至河口天然落差3 830 m，上游呈高山及高原景觀(guān)，徑流補(bǔ)給以冰雪為主，中下游為高原、高山峽谷河流，徑流補(bǔ)給以降水為主，地勢(shì)自西北向東南漸趨平緩；流域干濕季節(jié)明顯，暴雨一般出現(xiàn)在6-9月，呈連續(xù)性、大范圍、高強(qiáng)度的特點(diǎn)；全年徑流量豐沛穩(wěn)定，且空間異質(zhì)性明顯。

因雅江～吉居區(qū)間處于雅礱江流域中游和下游的分界處，徑流受融雪、降水、地形各因素的影響程度不明確，故本文將其作為研究區(qū)域。研究中耦合預(yù)報(bào)采用的數(shù)據(jù)集由3 h尺度的新安江模型、水箱模型、TOPMODEL模型徑流預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)以及雅礱江流域雅江、吉居站點(diǎn)實(shí)測(cè)徑流序列構(gòu)成。其中各模型徑流預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)是本文基于雅礱江流域水電開(kāi)發(fā)有限公司提供的雅江～吉居區(qū)間各氣象站點(diǎn)3 h尺度的降水、蒸發(fā)、徑流資料，以2005-2010年為率定期、2011-2013年為檢驗(yàn)期，采用PSO算法確定模型參數(shù)后計(jì)算得到。研究流域圖及水文、氣象站點(diǎn)的空間分布信息見(jiàn)圖1。

圖1 研究區(qū)域氣象站、流量站分布圖Fig.1 Distribution diagram of meteorological stations and flow stations in the study area

2.2 模型性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了從多個(gè)角度全面、準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)本文采用的各種耦合預(yù)報(bào)方法，本文引入確定性系數(shù)DC、均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error，MAE）3個(gè)指標(biāo)對(duì)模型的預(yù)報(bào)性能、預(yù)報(bào)穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中DC的計(jì)算由式（2）給出，RMSE和MAE的計(jì)算公式如下：

式中：Q代表實(shí)測(cè)徑流序列?代表預(yù)報(bào)徑流序列；n代表序列長(zhǎng)度。

2.3 應(yīng)用實(shí)例結(jié)果分析

3個(gè)獨(dú)立模型在3種耦合方法下的權(quán)重如表1、圖2所示。

表1 各模型在兩種回歸方法中被賦予的權(quán)重Tab.1 The weights assigned to each model in two regression methods

圖2 各獨(dú)立模型在XGBoost中的特征重要性Fig.2 Feature importance of each independent model in XGBoost

由表1可知，最小二乘法在賦予模型權(quán)重時(shí)，易受到模型間共線(xiàn)性的影響，從而賦予某個(gè)預(yù)報(bào)效果較好的模型過(guò)多的權(quán)重，這導(dǎo)致耦合預(yù)報(bào)失去了原本的意義；相較于最小二乘法，嶺回歸方法能提供一組更穩(wěn)定、可解釋性更強(qiáng)的模型權(quán)重；但以上兩種回歸方法都是直接將權(quán)重與預(yù)測(cè)序列相乘之后得到最終預(yù)測(cè)序列，這與綜合考慮各模型預(yù)報(bào)特征進(jìn)行耦合預(yù)報(bào)的初衷仍有出入。在XGBoost中，特征重要性是指節(jié)點(diǎn)分裂時(shí)該特征帶來(lái)信息增益（目標(biāo)函數(shù)）優(yōu)化的平均值，特征對(duì)信息增益影響程度的大小決定了重要性的大小，且由圖2可知各模型的預(yù)報(bào)特征在XGBoost的建模過(guò)程中得到了充分考慮，特征重要性并未出現(xiàn)過(guò)大的差距。結(jié)合圖2中各模型的特征重要性以及各模型的建模原理（新安江模型側(cè)重于蓄滿(mǎn)產(chǎn)流，即土壤類(lèi)型；水箱模型側(cè)重于冰雪融水；TOPMODEL側(cè)重于地形條件），可以認(rèn)為對(duì)研究流域產(chǎn)匯流特征影響最大的因素是冰雪融水，其次是土壤類(lèi)型和地形特征，這也與雅江～吉居區(qū)間地處青藏高原的地理位置相符合。

3個(gè)水文模型的預(yù)測(cè)表現(xiàn)以及3種耦合預(yù)報(bào)方法的預(yù)測(cè)表現(xiàn)如表2所示（加粗指標(biāo)對(duì)應(yīng)的模型為該評(píng)價(jià)指標(biāo)下的最優(yōu)模型）。

表2 模型輸出結(jié)果Tab.2 Performances of all models

由表2、圖3可知，獨(dú)立模型的預(yù)報(bào)中，不同評(píng)價(jià)指標(biāo)下的最優(yōu)單個(gè)水文模型也是不同的，例如新安江模型在確定性系數(shù)、均方根誤差這兩個(gè)指標(biāo)上的表現(xiàn)比其余兩個(gè)水文模型好，但在檢驗(yàn)期平均絕對(duì)誤差的表現(xiàn)上不如水箱模型。所以沒(méi)有任何一個(gè)水文模型能在所有評(píng)價(jià)指標(biāo)上同時(shí)表現(xiàn)出最優(yōu)。與此同時(shí)，在同一研究流域的不同預(yù)報(bào)階段，同一水文模型的表現(xiàn)也會(huì)出現(xiàn)差異性，例如新安江模型在洪峰階段的擬合效果較好，但在退水階段，新安江模型就失去了擬合優(yōu)勢(shì)。這是因?yàn)樘烊凰倪^(guò)程自身具有極大的隨機(jī)性和非線(xiàn)性特征，而各模型都是在某個(gè)側(cè)重點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)對(duì)水文過(guò)程的概化模擬，無(wú)法完全準(zhǔn)確的模擬水文過(guò)程，所以單個(gè)模型的預(yù)測(cè)能力是有限的，目前不存在一個(gè)最優(yōu)水文模型。

圖3 獨(dú)立模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.3 Prediction results of independent model

圖4 耦合模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.4 Prediction results of coupled model

由表2、圖3、4可知，多模型耦合預(yù)報(bào)的預(yù)測(cè)表現(xiàn)普遍優(yōu)于單模型預(yù)報(bào)，但基于最小二乘法的傳統(tǒng)耦合預(yù)報(bào)在處理此類(lèi)多重共線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)，效果劣于最優(yōu)獨(dú)立模型。針對(duì)此缺陷做出改進(jìn)的嶺回歸法在預(yù)測(cè)表現(xiàn)以及適用性上都要強(qiáng)于最小二乘法，但在多數(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)上的表現(xiàn)劣于XGBoost方法。多模型耦合預(yù)報(bào)中，在率定期的擬合效果方面，XGBoost方法相較于最小二乘法、嶺回歸法分別提升了1.69%、1.58%；在預(yù)測(cè)誤差方面，以RMSE為指標(biāo)，XGBoost方法相較于最小二乘法、嶺回歸法分別降低了29.66%、28.96%；以MAE為指標(biāo)，XGBoost方法相較于最小二乘法、嶺回歸法分別降低了27.72%、28.90%。檢驗(yàn)期內(nèi)，在擬合效果方面，XGBoost方法相較于最小二乘法、嶺回歸法分別提升了0.65%、0.02%；在預(yù)測(cè)誤差方面，以RMSE為指標(biāo)，XGBoost方法相較于最小二乘法降低了4.45%、相較于嶺回歸法提升了1.99%；以MAE為指標(biāo)，XGBoost方法相較于最小二乘法、嶺回歸法分別降低了13.09%、6.07%。

整體來(lái)看，3種耦合預(yù)報(bào)方法中，XGBoost方法預(yù)報(bào)效果最優(yōu)、嶺回歸法次之、最小二乘法最差，且不同時(shí)期內(nèi)XGBoost方法的預(yù)報(bào)效果未出現(xiàn)較大差異。充分證明XGBoost方法較其他方法能更深入地挖掘各模型在研究流域表現(xiàn)出的不同預(yù)報(bào)特征并據(jù)此進(jìn)行耦合預(yù)報(bào)，同時(shí)展現(xiàn)出XGBoost方法良好的穩(wěn)健性和強(qiáng)大的泛化能力。

3 結(jié) 論

以雅礱江流域雅江～吉居區(qū)間為研究對(duì)象，將新安江模型、水箱模型和TOPMODEL模型作為備選模型，采用最小二乘法、嶺回歸法和XGBoost模型進(jìn)行多模型耦合徑流預(yù)報(bào)研究，經(jīng)數(shù)據(jù)對(duì)比分析得出如下結(jié)論。

（1） 從預(yù)測(cè)精度上看，基于隱式特征挖掘的XGBoost模型預(yù)測(cè)表現(xiàn)要明顯優(yōu)于服從線(xiàn)性假定的最小二乘法、嶺回歸法預(yù)測(cè)表現(xiàn)，將其應(yīng)用于研究流域能更好的指導(dǎo)水庫(kù)防洪調(diào)度工作，增加社會(huì)效益。

（2） 從預(yù)測(cè)穩(wěn)定性上看，不同時(shí)期內(nèi)各方法的預(yù)報(bào)效果差距較小，均未出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象，但XGBoost模型與嶺回歸法在應(yīng)用上的泛化能力、合理性均強(qiáng)于傳統(tǒng)最小二乘法，有望在其余流域推廣使用。

（3） 本研究有尚待改進(jìn)的地方，例如可以在單個(gè)水文模型的預(yù)報(bào)中加入洪峰識(shí)別功能，進(jìn)一步增強(qiáng)洪峰部分的預(yù)報(bào)準(zhǔn)確度；還可以在數(shù)據(jù)集中加入臨近數(shù)時(shí)段的預(yù)報(bào)誤差，預(yù)報(bào)時(shí)考慮實(shí)時(shí)誤差的影響，這些都將在以后的研究中逐步落實(shí)。